福建省泉州市永春县永春第一中学2020-2021学年高二下学期期末数学(理)试题

福建省泉州市永春县永春第一中学2020-2021学年高二下学
期期末数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知i 为虚数单位，复数z 满足()11z i +=，则z 的共轭复数z =( )
A ．1122i +
B ．1122i -
C ．1122-+i
D ．1122i -- 2．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝
13，k ＝1，2，3，则D (3ξ＋5)＝( ) A ．6
B ．9
C ．3
D ．4
3．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n x y +能被x y +整除”，第二步归纳假 设应该写成（ ）
A ．假设当()n k k N *=∈时，k k x y +能被x y +整除
B ．假设当2()n k k N *=∈时，k k x y +能被x y +整除
C ．假设当21()n k k N *=+∈时，k k x y +能被x y +整除
D ．假设当21()n k k N *=-∈时，2121k k x y --+能被x y +整除
4．曲线2sin (0)y x x π=≤≤与直线1y =围成的封闭图形的面积为( )
A ．43π
B ．23
π C ．43π D ．23π 5．随机变量a 服从正态分布()21,N σ
，且()010.3000P a <<=.已知0,1a a >≠，
则函数1x y a a =+-图象不经过第二象限的概率为( ) A ．0.3750 B ．0.3000
C ．0.2500
D ．0.2000 6．有6 名学生，其中有3 名会唱歌，2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为( ) A ．18 B ．15 C ．16 D ．25
7．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用22⨯列联表，由计算可得28.806K ≈
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A ．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B ．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C ．在犯错误的概率不超过0．05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．在犯错误的概率不超过0．05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
8．某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )
A ．2000元
B ．3200 元
C ．1800元
D ．2100元 9
．若()323012354x a a x a x a x +=+++，则()()0213a a a a +-+=（ ）
A ．1- B
．1 C ．2 D ．2-
10．将三枚骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不相同”，事件B 为“至少出现
一个6点”，则概率(A |B)P 的值为（ ）
A ．6091 B
．12 C ．518 D ．91216
11．在
ABC △中，若AC BC ⊥，AC b =，BC a =，则ABC △的外接圆半径
2
r =，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA 、SB 、SC 两两互相垂直，SA a =，SB b =，SC c =，则四面体S ABC -的外接球半径R =（ ）
A B C D 12．已知函数()2
ln x f x x x =++.正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=，则下
述结论中正确的一项是( )
A
．12x x +≥B
．12x x +< C
．12x x +≥
D
．12x x +<
二、填空题
13．设()
22521545a z a a i a a -=++-+-为实数时，实数a 的值是__________． 14．4 名学生被中大、华工、华师录取，若每所大学至少要录取1名，则共有不同的录取方法__________．
15．面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：
元)的资料进行线性回归分析,得到结果如下：72x =,71y =,621
79i i x ==∑,611481i
i i x y ==∑,则销量每增加1千箱，单位成本约下降________元(结果保留5位有效数
字)．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：1
221ˆn i i i n i
i x y nx y
b x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-． 16．将集合{22|0,,}t s s t s t Z +≤<∈且中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写
成如下的三角形表:
则该数表中，从小到大第50个数为__________．
三、解答题
17．在数列{}n a 中，11a =，()1121n n n a ca c n ++=++()n *∈N ，其中实数0c ≠．
(1)求23,a a ，并由此归纳出{}n a 的通项公式；
(2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．
18．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：
(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关，并说明理由．
19．在6的展开式中,求： (1)第3项的二项式系数及系数；
(2)奇数项的二项式系数和；
(3)求系数绝对值最大的项.
20．将编号为1、2、3、4的四个小球随机的放入编号为1、2、3、4的四个纸箱中，每个纸箱有且只有一个小球，称此为一轮“放球”．设一轮“放球”后编号为
()1,2,3,4i i =的纸箱放入的小球编号为i a ，定义吻合度误差为1212X a a =-+-3434a a +-+-
(1) 写出吻合度误差X 的可能值集合；
(2) 假设1234,,,a a a a 等可能地为1，2，3，4的各种排列，求吻合度误差X 的分布列；
(3)某人连续进行了四轮“放球”，若都满足37X <<，试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮“放球”相互独立)；
21．已知函数f (x )＝a ln x ＋21
x + (a ∈R)． (1)当a ＝1时，求f (x )在x ∈[1，＋∞)内的最小值；
(2)若f (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；
(3)求证ln(n ＋1)>111135721
n +++++ (n ∈N *)． 22．在平面直角坐标系xOy 中，
以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 4πρθ⎛⎫-
= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程是4sin ρθ=． （1）求l 与C 交点的极坐标；
（2）设P 为C
的圆心，Q 为l 与C 交点连线的中点，已知直线
PQ 的参数方程是1x a y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
（t 为参数），求,a b 的值． 23．(1)求211x x -->-的解集M ；
(2)设,,a b c R +∈且a ＋b ＋c ＝1．求证：222222
2a c b a c b b c a +++++≥ ．
参考答案
1．A
【解析】
由()1i 1z +=，得()()11i 1111i,i 1i 1i 1i 2222
z z -=
==-∴=+++-，故选A. 2．A
【分析】
直接利用方差的性质()()2D a b a D ξξ+=⨯求解即可. 【详解】
由题意得()()112323
E ξ=⨯++=， ()()()()2221212223233D ξ⎡⎤∴=-+-+-=⎣
⎦， ()()23536D D ξξ+=⨯=，故选A.
【点睛】
本题主要考查方差的性质与应用，意在考查对基本性质掌握的熟练程度，属于中档题. 3．D
【解析】
注意n 为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．
解：根据数学归纳法的证明步骤，注意n 为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n=2k-1（k ∈N *）正确，再推n=2k+1正确；故选D ．
本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n=2k-1能取到1，是解好本题的关键． 4．B
【解析】
由()2sin 0y x x π=≤≤，直线1y =，令2sin 1x =,可得6x π
=或56
π，∴曲线()2sin 0y x x π=≤≤与直线1y =交于点,16A π⎛⎫
⎪⎝⎭或5,16B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此围成的封闭图形的面积(
)5566
6622sin 12cos |3
S x dx x x π
π
π
ππ=-=--=⎰，故选B. 5．C
【解析】
1x y a a =+-图象不经过第二象限，11,2a a ∴-≤-∴≥，随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，且
()()()()1010.3000,120.3000,210.60000.20002P a P a P a <<=∴<<=∴>=
-=，∴函数1x y a a =+-图象不经过第二象限的概率为
0.20.250010.2
=-，故选C. 6．B
【解析】 4名会唱歌的从中选出两个有246C =种,3名会跳舞的选出1名有3种选法,但其中一名既会唱歌又会跳舞的有一个,两组不能同时用他,∴共有36315⨯-=种，故选B.
7．B
【解析】
解：计算K 2≈8.806>7.879，
对照表中数据得出有0.005的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的，
即有1−0.005=99.5%的把握说明两个变量之间有关系，
本题选择B 选项.
8．D
【解析】
第1步从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步从30到36中选1个号有7种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有151071050⨯⨯=注,故至少要花105022100⨯=,故选D.
9．A
【解析】
()
323012354x a a x a x a x +=+++，令1x =-，则()()()30123021311a a a a a a a a -=-+-=+-+=-，故选A.
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命
题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项
的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 10．A
【解析】
考点：条件概率与独立事件．
分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P （AB ）÷P （B ），需要先求出AB 同时发
生的概率，除以B 发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．
解：∵P （A|B ）=P （AB ）÷P （B ），
P （AB ）=3606=60216
P （B ）=1-P （B ）=1-3
356=1-125216=91216 ∴P （A/B ）=P （AB ）÷P （B ）=60
21691216=6091
故选A ．
11．A
【解析】
【分析】
四面体S ABC -中，三条棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，长方体的外接球就是四面体的外接球，则半径易求.
【详解】
四面体S ABC -中，三条棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，
则可以把该四面体补成长方体，SA a =，SB b =，SC c =是一个顶点处的三条棱长.
所以外接球的直径就是长方体的体对角线，则半径R =. 故选A.
【点睛】
本题考查空间几何体的结构，多面体的外接球问题，合情推理.由平面类比到立体，结论不易直接得出时，需要从推理方法上进行类比，用平面类似的方法在空间中进行推理论证，才能避免直接类比得到错误结论.
12．A
【解析】
由()()12120f x f x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=，从而
()()()2
12121212ln x x x x x x x x +++=-，令12t x x =，则由()ln h t t t =-得，()1't h t t
-=，可知()h t 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，
()()11h t h ∴≥=，()()212121x x x x ∴+++≥，可得1212x x +≤或
1212x x +≥，又120x x +>，因此1212
x x +≥成立，故选A. 【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，一元二次不等式的解法及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将方程问题转化为利用导数求最值进而通过解不等式解答.
13．3
【详解】 设()
22521545a z a a i a a -=++-+-为实数，22150a a ∴+-=，可得3a = 或5a =- 又因为2450,3a a a +-≠∴=，故答案为3.
14．36种
【解析】
先从4名学生中任意选2个人作为一组，方法2
46C = 种；再把这一组和其它2个人分配到3
所大学，方法有3
36A =种，再根据分步计数原理可得不同的录取方法6636⨯= 种，故答
案为36种. 故答案为 15．1.818 2 【分析】
根据所给的数据和公式可以求出回归直线方程,根据回归直线斜率的意义可以求出销量每增加1千箱，单位成本约下降多少元. 【详解】
由所给的数据和公式可求得：6
1
6
2
221
7
61481671
202ˆ711796()62
i i
i i i x y x y
b
x x
==--⨯⨯===--⨯-∑∑,
2078517111211ˆˆa
y bx =-=+⨯=,所以线性回归方程为：208511111
y x =-+, 所以销量每增加1千箱，单位成本约下降20
1.818211
≈元. 故答案为1.818 2 【点睛】
本题考查了求线性回归方程,考查了直线斜率的意义,考查了数学运算能力. 16．1040 【解析】
用(),t s 表示22t s +，下表的规律为：
()30,1 ()()50,2,61,2
()()()90,3,101,3,122,3
…
()501234...95=++++++，则50a 第10行的第5个数，
()410504,10221040a ∴==+=，故答案为1040.
【方法点睛】本题归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
17．(1) 21
(1)n n n a n c c -=-+()n *∈N (2)见解析
【解析】
试题分析：（1）(
)
2
10
1111a c c ==-+，(
)
2
2
221a c c =-+，(
)
2
32
331a c c =-+ 可归纳猜测(
)
2
1
1n n n a n c c
-=-+；（2）根据数学归纳法证明原理，01当1n =时，由
()
2111111a c c -==-+显然结论成立．02假设n k =时结论成立，即()
211k k k a k c c -=-+
只需证明当1n k =+时，()2
1
111k k k a k c
c ++⎡⎤=+-+⎣⎦
即可.
.
试题解析：(1) 由11a =，及()1
121n n n a ca c n ++=++ ()
*n N ∈
得(
)
2
2
2
21321a ca c c c =+⋅=-+，
()332221a ca c =+⨯+= ()()22
321221c c c c ⎡⎤-++⨯+⎣⎦
()23231c c =-+ 于是猜测: (
)
2
1
1n n n a n c c
-=-+ (
)*
n N
∈
(2)下面用数学归纳法予以证明:
01当1n =时，由()211
1111a c c -==-+显然结论成立． 02假设n k =时结论成立，即()21
1k k k a k c c -=-+
那么，当1n k =+时， 由()1
121k k k a ca c
k ++=++ ()21
1k k c k c c -⎡⎤=-+⎣⎦
()121k c k +++ ()
212k k k k c c +=++ ()2
111k k k c c +⎡⎤=+-+⎣⎦
显然结论成立．
由01、02知，对任何*n N ∈都有(
)
2
1
1n n n a n c c
-=-+ (
)*
n N
∈
18．(1)
1219
,2550
；(2)答案见解析. 【分析】
（1）结合表格根据古典概型的概率公式计算概率即可；（2）计算2K 的观测值，对照表中数据得出统计结论． 【详解】
(1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人， 所以抽到积极参加班级工作的学生的概率12412
5025
P =
=， 不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人， 所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生概率21925
P =. (2)由列联表知，2K 的观测值()2
501819-67k 25252426
⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝
≈11.538，由11.538＞10.828.所以在
犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系． 【点睛】
本题考查了古典概型的应用问题，也考查了两个变量线性相关的应用问题，准确计算2K 的观测值是解题的关键，是基础题目． 19．(1)240； (2)32；(3)240x . 【分析】
写出二项式的通项公式.
(1)根据二项式的通项公式可以求出此问；
(2)根据奇数项的二项式系数和公式可以直接求出此问题；
(3)设出系数绝对值最大的项为第（r +1）项,根据二项式的通项公式,列出不等式组,解这个不等式组即可求出此问题. 【详解】
二项式6
的通项公式为：663166(2(1)r r r r
r r r r T C C x ---+=⋅⋅=⋅⋅-⋅. (1)第3项的二项式系数为2615C =,第三项的系数为242
62(1)240C ⋅⋅-=； (2)奇数项的二项式系数和02465
6666232C C C C +++==；
(3)设系数绝对值最大的项为第（r +1）项,
则6176661566122247721
3322
61
r r r r r r r r
C C r r r C C r r ----+-⎧≥⎪⎧≥⎪-⇒⇒≤≤⎨⎨≥⎩⎪≥⎪-+⎩,
又r N ∈,所以r =2.
∴系数绝对值最大的项为24
362240T C x x =⋅=．
【点睛】
本题考查了二项式通项公式的应用,考查了奇数项的二项式系数和公式,考查了数学运算能力.
20．(1) {0,2,4,6,8}.(2) 见解析(3)1681
P = 【详解】
试题分析：（1）根据题意知1311a a -+-与2411a a -+-的奇偶性相同，误差X 只能是偶数，由此写出X 的可能取值；（2）用列举法求出基本事件数，利用古典概型概率公式计算对应的概率值，写出随机变量X 的分布列；（3）利用互斥事件的概率公式计算
()37P X <<= ()()46P X P X =+= 79224243
=
+=，再利用对立事件的概率公式求解.
试题解析：(1) 由于在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，所以24,a a 中的奇数的个数与13,a a 中偶数的个数相同．因此，1311a a -+-与2411a a -+-的奇偶性相同，从而吻合度误差
12341234X a a a a =-+-+-+-只能是偶数，又因为X 的值非负且值不大于8．因此，
吻合度误差X 的可能值集合{}0,2,4,6,8.
(2)用()1234,,,a a a a 表示编号为1、2、3、4的四个纸箱中放入的小球编号分别为1234,,,a a a a ，则所有可能的结果如下:
()()()1,2,3,41,2,4,31,3,2,4 ()()()1,3,4,21,4,3,21,4,2,3 ()()()2,1,3,42,1,4,32,3,1,4 ()()()2,3,4,12,4,3,12,4,1,3
()()()3,1,2,43,1,4,23,2,1,4 ()()()3,2,4,13,4,2,13,4,1,2 ()()()4,1,2,34,1,3,24,2,1,3 ()()()4,2,3,14,3,2,14,3,1,2
易得()1024P X ==
，()3224P X ==，()7424P X ==， ()9624P X ==，()4824
P X == 于是，吻合度误差X 的分布列如下:
(3)首先，()37P X <<= ()()46P X P X =+= 79224243
=
+= 由上述结果和独立性假设，可得出现这种现象的概率为4
216381
P ⎛⎫==
⎪⎝⎭
【方法点睛】
本题主要考查古典概型概率公式，以及随机变量的分布列，属于难题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)
A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
21．（1）最小值为f (1)＝1.（2）a <1
2
.（3）见解析 【解析】
试题分析：（1）可先求f′（x ），从而判断f （x ）在x ∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f （x ）在x ∈[1，+∞）最小值；
（2）求h′（x ），可得222
22(1)()(1)(1)a ax a x a
f x x x x x +-+'=-=++，若f （x ）存在单调递减
区间，需h′（x ）＜0有正数解．从而转化为：2
2(1)0ax a x a +-+<有x ＞0的解．通过对a 分a=0，a ＜0与当a ＞0三种情况讨论解得a 的取值范围；
（3）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln （n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒1
ln 23
>，即1n =时命题成立；设当n=k 时，命题成立，即111
ln(1)35
21
k k +>+++
+成立，再去证明n=k+1时，1111
ln(2)35
2123k k k +>
+++
+++成立即可（需用好归纳假设）． 试题解析：（1）2
()ln 1
f x x x =++，定义域为(0,)+∞．
222
121
'()0(1)(1)x f x x x x x +=-=>++ ()f x ∴在(0,)+∞上是增函数．
min ()(1)1f x f ==．
（2）因为222
22(1)()(1)(1)
a ax a x a
f x x x x x +-+'=-=++ 因为若()f x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有正数解． 即2
2(1)0ax a x a +-+<有0x >的解 当0a =时，明显成立 ．
②当0a <时，22(1)y ax a x a =+-+开口向下的抛物线，22(1)0ax a x a +-+<总有
0x >的解；
③当0a >时，22(1)y ax a x a =+-+开口向上的抛物线， 即方程2
2(1)0ax a x a +-+=有正根． 因为1210x x =>，
所以方程22(1)0ax a x a +-+=有两正根． 当1x ≥时，()(1)1f x f ≥=；
120{0x x ∆>+>，解得1
02
a <<． 综合①②③知：1
2
a <． 或：
22(1)0ax a x a +-+<有0x >的解
即2
(21)a x x x ++<有0x >的解， 即2(21)
x
a x x <
++有0x >的解，
2(21)x a x x <
++的最大值(0)x >，
1
2
a ∴< （3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当1x >时，2ln 11x x +
>+，即1
ln 1
x x x ->+． 令1
k x k +=，则有11ln 21k k k +>+，1
1
11
ln
21n
n
k k k k k ==+∴>+∑
∑． 1
1
ln(1)ln
n
k k n k
=++=∑， 11
1
ln(1)35
21
n n ∴+>++
+
+． (法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=．
3ln 2ln81=>，1
ln 23
∴>
，即1n =时命题成立． 设当n k =时，命题成立，即111
ln(1)3521
k k +>++++．
1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln
1k n k k k ++=+=+++1112
ln 35211
k k k +>++++++． 根据（Ⅰ）的结论，当1x >时，2ln 11x x +>+，即1ln 1
x x x ->+． 令2
1k x k +=+，则有21ln 123
k k k +>++，
则有1111
ln(2)352123
k k k +>++++++，即1n k =+时命题也成立．
因此，由数学归纳法可知不等式成立．
考点：
1．利用导数求闭区间上函数的最值；2．利用导数研究函数的单调性；3．数学归纳法． 22．(1) (4,)2
π
，或)4π
；(2) 1,2a b =-=．
【解析】
试题分析：（1）
联立极坐标方程，解得l 与C 交点的极坐标是4,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，
或4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
；（2）
直线PQ 的参数方程化为普通方程，把P ，Q 的直角坐标带入，解得1,2a b =-=.
试题解析：
（1）4sin ρθ=
代入cos 4πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
2
sin cos cos θθθ=．所以cos 0θ=或tan 1θ=，取2
π
θ=
，4
π
θ=
．再由4sin ρθ=得4ρ=
，或ρ=l 与C 交点的
极坐标是4,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，或4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
． （2）参数方程化为普通方程得()12
b
y x a =
-+．
由（Ⅰ）得P ，Q 的直角坐标分别是()0,2，()1,3，代入解得1,2a b =-=．
23．(1){|02}x x <<； (2)见解析. 【分析】
(1)利用零点分类法进行求解即可;
(2)对求证的式子中的每一项先应用重要不等式,最后应用基本不等式即可证明. 【详解】
(1)()1,012131,0211,2x x f x x x x x x x ⎧
⎪-≤⎪
⎪
=--=-<<⎨⎪
⎪
-+≥⎪⎩
,
由()1f x >-,得011x x ≤⎧⎨->-⎩或102311x x ⎧<<⎪⎨⎪->-⎩或12
11
x x ⎧
≥
⎪⎨⎪-+>-⎩解得02x <<， 故{|02}M x x =<<．
（2）因为222222222,,a c ac b a ab c b bc
b b
c c a a +++≥≥≥
,(当且仅当a b c ==时取等号) 所以222222()()()a c b a c b ac ab ab bc ac bc
b c a b c c a b a
+++++≥+++++
==时取等号). ≥=++=(当且仅当a b c
a b c
2()2
【点睛】
本题考查了解绝对值不等式,考查了应用重要不等式、基本不等式证明不等式.。