山东省济宁市泗水一中高二数学3月月考试题 理

一、选择题：(本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题列出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.) 1. 在等比数列
{}n a 中，200920128a a = ，则公比q 的值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8
2.“0>>b a ”是“ab b a 222>+”成立的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分且必要条件 D.不充分且不必要条件
3.命题：“对任意R x ∈,022≥+-x x ”的否定是( ) A.存在 x ∈R,022≥+-x x B.对任意x ∈R,022≥+-x x
C. 存在x ∈R,022<+-x x
D. 对任意x ∈R,022<+-x x 4.如图所示，已知ABCD
是平行四边形，点O 为空间任意一点，设
c
OC b OB a OA ===,,，则
用c b a ,,表示为（ ）
A.c
b a +- B.
c b a -- C. c b a +-- D. c b a -+-
5．已知f(x)＝x 3
＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ） A 、－1<a<2 B 、－3<a<6 C 、a<－1或a>2 D 、a<－3或a>6
6.设函数f(x)＝kx 3
＋3(k －1)x 2
2k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则的取值范围 （ ）
A.13k <
B.103k <≤
C.103k ≤≤
D.13
k ≤ 7．设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =的图像如图所示， 则y 图像最有可能的是 （ ）
8．若21n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中含x 的项为第6项，设n
n n x a x a x a a x ++++=- 2210)31(，则n a a a +++ 21的值为 ( )
A ．255
B ． 32
C ．－225
D ．－ 32
9．设=（1,-2），OB =（a,-1），OC =（-b ，0），a>0,b>0,O 为坐标原点，若A 、B 、C
三点共线，则b
a 2
1+的最小值是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
10.已知函数)2
,0(sin cos )(π
∈-=
x x x m x f 在单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）
O
A
B
C
D
C
D
'()f x =
A ．)0,(-∞
B ．]1,(-∞
C ．]0,(-∞
D ．)1,(-∞
11.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,
3()f x x x =-,则函数
()y f x =的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为（ ）
Ａ．6 Ｂ．7 Ｃ．8 Ｄ．9
12.已知二次函数
2()f x ax bx c =++的导数为
()f x '，(0)0f '>，对于任意实数，有
()0f x ≥，则
(1)
(0)
f f '的最小值为( ) Ａ．
Ｂ．
52
Ｃ． Ｄ．
32
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 14.曲线3cos (0)2
y x x π
=≤≤与坐标轴围成的面积是 15.曲线32y x x =
+-在点P 0
处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0
的坐标是________
16.已知函数3211()232f x x x ax =-
++在区间1
(,)4
+∞上存在单调递增区间，
则的取值范围是
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其他每小题12分，共70分.要求写出必要的解题步骤）
17．袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：
(1)随机变量ξ的概率分布； (2)随机变量ξ的数学期望. 18.设函数
32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．
（1）求a 、b 的值；
（2）当2c =-时，求函数()f x 在区间[03]，上的最大值．
19．已知圆O ：122
=+y x
，点O 为坐标原点,一条直线：)0(>+=b b kx y 与圆O 相切并与
椭圆12
22
=+y x 交于不同的两点A 、B （1）设)(k f b =,求)(k f 的表达式；
（2）若32
=⋅OB OA ，
求直线的方程；
（3）若)43
32(≤≤=⋅m m ，
求三角形OAB 面积的取值范围.
20.在直三棱柱111C B A ABC -中，10,90BB AB BAC
==∠，直线C B 1与平面ABC 成30°
角.
（I ）求证：平面⊥AC B 1平面11A ABB ；
（II ）求直线C A 1与平面AC B 1所成角的正弦值； （III ）求二面角A C B B --1的平面角的余弦值.
21. 已知函数()ln ,()(0)a
f x x
g x a x
==
>，设)()()(x g x f x F += （1）求()F x 的单调区间；
（2）若以(])3,0)((∈=x x F y 图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率2
1≤k 恒成立，求实数的最小值；
（3）是否存在实数m ，使得函数1)1
2(
2
-++=m x a
g y 的图象与)1(2x f y +=的图象恰
好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由。

22.在△PAB 中，已知(
)0
,6-
A 、(
)0
,6B ，动点P 满足4+=PB PA .
（1）求动点P 的轨迹方程；
B A
C
B 1
C 1
A 1
（2）设()0,2-M ，()0,2N ，过点N 作直线垂直于AB ，且与直线MP 交于点Q ，试
在轴上确定一点T ，使得QT PN ⊥；
（3）在（II ）的条件下，设点Q 关于轴的对称点为R ，求⋅的值.
参考答案：
1-5 ABCAD 6-10 DCADB 11-12 BC 13.8 14.3 15.(1,0) 16.1
8
a >-
17. (1)随机变量ξ可取的值为2,3,4,11123211
543
(2);5
C C C P C C ξ=== 212123*********(3);10P C P C P C C C ξ+===31
321111
54321
(4);10
P C P C C C C ξ=== 得随机变量ξ的概率分布律为：
………………9分 (2)随机变量ξ的数学期望为：2
510141033532=⋅+⋅+⋅=ξE ； 18.①解：
2()663f x x ax b '=++，
因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．
即6630241230a b a b ++=⎧⎨
++=⎩，
．
解得3a =-，4b =． ②由（1）可知，
32()29128f x x x x c =-++，
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．
当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．
所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈
，
时，()f x 的最大值为(3)987f c =+=-． 19．解 （1）(0)y kx b b =+>与圆22
1x y +=相切,
1=,即2
2
1(0)b k k =+≠,
所以.12+=
k b
（2）设1122(,),(,),A x y B x y 则由22
12
y kx b x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y 得:2
22(21)4220k
x kbx b +++-=
又2
80(0)k k ∆=>≠，所以212122
2422
,.2121kb b x x x x k k -+=-=++ 则1212OA OB x x y y ⋅=+=22
1.21k k ++由23
OA OB ⋅=, 所以2
1.k =所2
2.b
=0,b b >∴=
所以:l y x y x ∴=
=-
（3）由（2）知： 22
123.,2134k m m k +=≤≤+所以22213,3214
k k +≤≤
+ 21
1,
2
k ∴
≤≤由弦长公式得 ||
AB =所以1
||2
S AB ==
解得2
.3
S ≤≤
20. （1）证明：由直三棱柱性质，B 1B ⊥平面ABC ，
∴B 1B ⊥AC ，
又BA ⊥AC ，B 1B ∩BA=B ， ∴AC ⊥平面 ABB 1A 1， 又AC ⊂平面B 1AC ，
∴平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1.
（2）解：过A 1做A 1M ⊥B 1A 1，垂足为M ，连结CM ，
∵平面B 1AC ⊥平面ABB 1A ，且平面B 1AC ∩平面ABB 1A 1=B 1A ，
∴A 1M ⊥平面B 1AC.
∴∠A 1CM 为直线A 1C 与平面B 1AC 所成的角， ∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角， ∴∠B 1CB=30°.
设AB=BB 1=a ，可得B 1C=2a ，BC=
a AC a 2,3=，
.
6
6
sin ,2
2
,311111====C A M A CM A a M A a C A 又从而
∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.6
6 （3）解：过A 做AN ⊥BC ，垂足为N ，过N 做NO ⊥B 1C ，垂足为O ，连结AO ，
由AN ⊥BC ，可得AN ⊥平面BCC 1B 1，由三垂线定理，可知AO ⊥B 1C ， ∴∠AON 为二面角B —B 1C —A 的平面角，
.3
6
sin ,,3611==∴=⋅==⋅=
AO AN AON a C B AC AB AO a BC AC AB AN
21.（1）F 0(ln )()()(>+
=+=x x a x x g x f x ）)0(1)('22>-=-=x x
a
x x a x x F ）上单调递增。

在（由+∞∴+∞∈⇒>'>,)(),,(0)(,0a x F a x x F a 由）上单调递减在（a x F a x x F ,0)(),,0(0)(∴∈⇒<'。

）），单调递增区间为（的单调递减区间为（+∞∴,,0)(a a x F （2）恒成立)30(21)(),30()(02
002≤<≤-='=≤<-=
'x x a x x F k x x a
x x F min 020)21(x x a +-
≥ 当21
2110200取得最大值时，x x x +-= 2
1
,21=∴≥∴nmn a a
（3）若21
211)1
2(22-+=-++=m x m x a g y 的图象与
)1ln()1(22+=+=x x f y 的图象恰有四个不同交点，
A 1
B 1
C 1
A
B
C
D
E
即
)1ln(2
1
2122+=-+x m x 有四个不同的根，亦即 2
1
21)1ln(22+-+=x x m 有四个不同的根。

令2
1
21)1ln()(22+-+=x x x G ，
则1
)1)(1(1212)(22
32+-+-=+--=-+='x x x x x x x x x x x x G 。

当变化时)().(x G x G '的变化情况如下表：
由表格知：02ln )1()1()(,2
)0()(>=-===
=G G x G G x G 最大值最小值。

画出草图和验证212125ln )2()2(<+-=-=G G 可知，当)2ln ,2
1
(∈m 时，
恰有四个不同的交点，
与m y x G y ==)( 的图象与时，当21
211)1
2()2ln ,2
1(22-+=-++=∈∴m x m x a g
y m
交点。

的图象恰有四个不同的)1ln()1(22+=+=x
x f y
22. 解：（I ）
4PA PB AB -=<，∴ 动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支
除去其与x 轴的交点. …………………1分 设双曲线方程为22
221(0,0)x a a b a b -=>>.
由已知，得24,c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 解得2,
c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩
∴b =
.
∴动点P 的轨迹方程为
22
1(2)42
x a x -=>. 注：未去处点（2，0），扣1分 （I ）
由题意，直线MP 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程x =2.
设MP 的方程为(2)y k x =+. 5分 ∵点Q 是与直线MP 的交点，∴Q (2,4)k .设00(,)P x y
由22
1,42
(2)x y y k x ⎧-
=⎪⎨⎪=+⎩
整理得2222(12)8(84)0.k x k x k ---+=
则此方程必有两个不等实根1202,2x x x =-=>
2120.k ∴-≠，且20284
212k x k
+-=--.
∴002
4(2).12k y k x k
=+=- ∴2
22424(,)1212k k P k k +--. 设T (,0)t ，要使得QT PN ⊥，只需0.PN QT
⋅=
由(2,0)N ，222
84(,),(2,4)1212k k PN QT t k k k =-
-=----， ∴222
1
[8(2)16]0.12PN QT k t k k
⋅=-
--=- ∵0, 4.k t ≠∴=此时,PN QT ≠≠00∴所求T
的坐标为(4,0).
（III ）由（II ）知R (2,4)k -，∴OP =222424(
,)1212k k
k k +--，(2,4)OR k =-. ∴22
222
424482(4)4121212k k k OP OR k k k k
+-⋅=⨯+⨯-==---. ∴ 4.OP OR ⋅=。