2023-2024学年上海市三校联考高二下学期5月联考数学模拟试题

2023-2024学年上海市三校联考高二下学期5月联考数学
模拟试题
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1.若集合
{}{}{}
0,,1,2,1A m B A B === ，则实数m =__________
【正确答案】1
【分析】
由{}1A B ⋂=可得1A ∈，即可得解.
【详解】由{}{}{}0,,1,2,1A m B A B === ，所以1A ∈，所以1m =.故1
本题考查了集合的交集概念，以及元素和集合的关系，属于基础题.
2.已知向量()1,a x = ，()4,2b = ，若//a b
，则实数x 的值为______.
【正确答案】
12
##0.5
【分析】根据向量的共线的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量()1,a x = ，()4,2b = ，因为//a b ，所以124x ⨯=⨯，解得1
2
x =.
故答案为.
12
3.函数()2
sin cos y x x =+的最小正周期是________
【正确答案】π
【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数sin 21y x =+，根据最小正周期等于2πω
求出结果.
【详解】函数()2
22sin cos sin cos 2sin cos sin 21y x x x x x x x =+=++=+，∴函数的最小正周期为
22
ππ=故答案为.π
4.已知复数z 满足()1i 4i z +=（i 为虚数单位），则z =______.
【正确答案】【分析】由复数的除法法则计算出复数z ，然后求模长即可.【详解】因为()1i 4i z +=，所以()()()
()4i 1i 4i 2i 1i 22i 1i 1i 1i z -===-=+++-，
所以z =
=.
故答案为.5.已知某圆锥的高为4，底面积为9π，则该圆锥的侧面积为___.【正确答案】15π
【分析】先求得圆锥的底面半径和母线长，进而求得该圆锥的侧面积.【详解】圆锥底面积为9π，则底面半径为3，又圆锥的高为4，则圆锥的母线长为5，则该圆锥的侧面积为35π=15π⨯故15π6.计算
11(3
i i ∞
+==∑_______.【正确答案】
1
2
【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接即可求出答案.
【详解】11
113(13213
i i ∞
+==
=-∑故答案为：1
27.已知函数()1f x x =，则0(2)(2)
lim
x f x f x
∆→+∆-=∆__________．【正确答案】1
4
-
【分析】首先计算
()()()
221
22f x f x x +∆-=-∆+∆，当0x ∆→时，即可求值.
【详解】()()()
11222222x
f x f x x -∆+∆-=
-=+∆+∆，
()()()
221
22f x f x x +∆-=-∆+∆，
()()
()0
02211lim
lim 224x x f x f x
x ∆→∆→⎛⎫+∆-=-=- ⎪ ⎪∆+∆⎝⎭
.故14
-
8.已知F 是双曲线()2212:10x C y a a
-=>与抛物线2
2:8C y x =的一个共同焦点，则双曲线1C 的离心率的
大小为______.【正确答案】
233
【分析】先求出抛物线22:8C y x =的焦点坐标，即为双曲线的焦点，然后求解即可.
【详解】抛物线2
2:8C y x =的焦点为()2,0F ，
()2,0F 也是双曲线()2212:10x C y a a
-=>的焦点，所以214a +=，所以23a =
，即a =所以双曲线1C
3=.故答案为.
23
3
9.若1x =是函数()()()3
221133
x a x f a x a x =++-+-的极值点，则a 的值为___________.【正确答案】3
【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可知()01f '=，据此可求出a ，然后针对a 的每一个值，进行讨论，看1x =是不是函数的极值点，综合即可得答案.【详解】解：根据题意，()()()3
221133
x a x f a x a x =++-+-，得()()()'
22213f
x a a x x a =++-+-，
由题意可知(
)
2
(1)12(1)30f a a a '
=++-+-=，解得3a =或2a =-，当3a =时，()'
289(9)(1)x x x x f
x =+-=+-，
当1,9x x ><-时，()0f x '>，函数单调递增；当91x -<<时，()0f x '<，函数单调递减，显然1x =是函数()f x 的极值点；
当2a =-时，()'
2221(1)0x x x f x =-=+-≥，所以函数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题
意，舍去，故3.
本题考查利用导数分析函数的极值，本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.10.设1l 、2l 、3l 为空间中三条不同的直线，若1l 与2l 所成角为4
π，1l 与3l 所成角为12π
，则2l 与3l 所成角的
取值范围是______.【正确答案】,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
【分析】不妨设1l 、2l 、3l 相交于点S ，根据题意构造两个圆锥，结合轴截面可得2l 与3l 所成角的最小值与最大值即可.
【详解】不妨设1l 、2l 、3l 相交于点S ，如图，根据题意构造两个圆锥，
其中底面圆心为O ，轴SO 所在直线为1l ，小圆锥的母线所在直线为3l ，轴截面
SCD ；大圆锥的母线所在直线为2l ，轴截面SAB ，且,,,,A B C D O 在一条直线上.
由题意π12OSC OSD ∠=∠=
，π
4
OSA OSB ∠=∠=，由图可知，当3l 移动到SD ，2l 移动到SB 时，可得2l 与3l 所成角的最小，最小值为πππ4126
DSB ∠=
-=.当3l 移动到SC ，2l 移动到SB 时，可得2l 与3l 所成角的最大，最大值为πππ4123
CSB ∠=
+=.所以2l 与3l 所成角的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.故,63ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
11.已知正数x 、y 满足21x y +=，则
21
343x y x y
+++的最小值为___.
【正确答案】
85
【分析】将题给条件
21343x y x y +++转化为2
5
23
y y -++，再利用二次函数在给定区间上的值域即可求得
21
343x y x y
+++的最小值.
【详解】正数x 、y 满足21x y +=，则112(0)2
x y y =-<<
则2
2
21215
5
34332123
125248x y x y y y y y y +=+==++-+-++⎛
⎫--+
⎪⎝
⎭，又102y <<时，2
1252532488y ⎛⎫<--+≤ ⎪⎝⎭，则285553125248y ≤<⎛
⎫--+ ⎪⎝
⎭，则21343x y x y +++的最小值为8
5
.
故
85
12.在平面直角坐标系xOy 中，已知动点(),P a b 到两直线12:l y x =与21
:12
l y x =-+，则
5
b
a +的取值范围是______.【正确答案】39,1117⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦【分析】由题意可知(),P a b 满足2225a b a b -++-=为四边形的四边上任意一点，然后画图由5
b
a +几何意义求解即可.
【详解】将直线12:l y x =与21
:12
l y x =-
+的方程化为一般式为1:20l x y -=，
2:220l x y +-=，所以(),P a b =所以2225a b a b -++-=①.
当20220a b a b -≥⎧⎨+-≥⎩
时，①式变形为：37a b +=；
当20
220
a b a b -≥⎧⎨
+-<⎩时，①式变形为：33a b -=；
当20220a b a b -<⎧⎨+-≥⎩时，①式变形为：37a b -+=；当20220a b a b -<⎧⎨+-<⎩
时，①式变形为：33a b --=；
则动点(),P a b 为如图所示的四边形的边，
5
b
a +的几何意义为正方形边上任意一点与()5,0E -连线的斜率.36,55C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，89,55D ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，311CE k =-，917DE k =
.则
5b a +的取值范围是.39,1117⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
故答案为.39,1117⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦二、选择题（本大题共4题、满分20分）
13.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A.若//l α，l //β，则//αβ B.若l α⊥，l β⊥，则//αβC.若l α⊥，l //β，则//αβ D.若αβ⊥，//l α，则l β
⊥【正确答案】B
【详解】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系
14.在ABC 中，设三个内角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，则“60C =︒”是“222a b c ab +=+”成立的（
）条件
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
【正确答案】C
【分析】先利用222a b c ab +=+求得角A 的值，进而得到二者间的逻辑关系.【详解】由222a b c ab +=+，可得222a b c ab +-=，
则2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-===，又0180C << ，则60C = ，
以上步步可逆.
则“60C =︒”是“222a b c ab +=+”成立的充要条件.故选：C
15.设,,,R a b c d ∈，若函数32y ax bx cx d =+++的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（
）
A.0,0b c >>
B.0,0b c ><
C.0,0b c <>
D.0,0
b c <<【正确答案】D
【分析】由已知中函数32y ax bx cx d =+++的部分图像，运用韦达定理结合图像判断b c 、的符号.【详解】解：∵32y ax bx cx d =+++，∴232y ax bx c '=++，由图知，两个极值点，设为12,x x ，则120,0x x <>，
由图知()()12,,x x -∞+∞,单调递增，()12,x x 单调递减，则0a >，则
03c
a
<，∴0c <，由图知12203b
x x a
+=->，∴0b <，故选：D ．
16.已知数列{}n a 满足12023
2022
a =，且对任意的正整数n ，都有111n n n a a a +-=-，若11
n
i i
k a =>
∑对任意的正整数n 成立，则正整数k 的最小值为（）
A.2021
B.2022
C.2023
D.2024
【正确答案】B
【分析】根据题意化简得到111111n n n a a a +=---，求得1120221120221n
i i
n a a =+-=<-∑，进而求得正整数k 的最小值，得到答案.【详解】由数列{}n a 满足12023
2022
a =，且对于任意的正整数n ，都有111n n n a a a +-=-，
可得1(1)1n n n a a a +-=-，
若110n a +-=时，即11n a +=，可得(1)0n n a a -=，解得0n a =或1n a =，不符合题意，舍去；若110n a +-<时，可得(1)0n n a a -<，解得01n a <<，因为12023
12022
a =
>，所以不符合题意，舍去；所以110n a +->，所以
11111
(1)11n n n n n a a a a a +==----，即为111111
n n n a a a +=---，
则
1122311
11111111
111202*********n
i i n n n a a a a a a a a =++=-+-++-=<--------∑ ，若正整数k 使得11
n
i i
k a =>
∑对任意正整数n 成立，则2022k ≥，所以正整数k 的最小值为2022.故选：B
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.已知数列{}n a 的前n 项和2
23n S n n =-+.
（1）求345a a a ++的值；（2）求{}n a 的通项公式.【正确答案】（1）15
（2）2,1
23,2
n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩【分析】（1）利用52S S -即可求得345a a a ++的值；
（2）利用数列前n 项和n S 与通项n a 间的关系即可求得数列{}n a 的通项公式.【小问1详解】
345a a a ++()()
22525253222315
S S ==-⨯+--⨯=-+【小问2详解】
当1n =时，2
1112132a S ==-⨯+=，
当2n ≥时，()
()()2
2
123121323n n n a S S n n n n n -⎡⎤==--+----+=-⎣⎦
，
综上，{}n a 的通项公式为2,1
23,2
n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩18.已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ，点M 为PD 中点，
1PA AD ==.
（1）求证：直线//PB 平面MAC ；（2）求点P 到平面MAC 的距离.【正确答案】（1）证明见解析（2）
3
3
【分析】（1）连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，进而根据PB MN ∥即可证明；（2）根据题意，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【小问1详解】
证明：连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，因为底面ABCD 为正方形，所以N 为BD 的中点，
所以，在PBD △中，M 为PD 的中点，N 为BD 的中点，所以PB MN ∥；
又因为MN ⊂面MAC ，PB ⊄面MAC ，所以//PB 平面MAC .
【小问2详解】
解：因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，,AB AD ⊂平面ABCD ，
所以，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，()0,0,0A ，()1,1,0C ，()0,0,1P ，110,
,22M ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，所以110,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()1,1,0AC =
，
设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =
，
所以，00n AM n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即110
22
y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1x =，则1y =-，1z =，即()1,1,1n =-
，()0,0,1PA =-
，
设点P 到平面MAC 的距离为d ，
所以3
3PA n d n
⋅=== ，所以，点P 到平面MAC 的距离为
3
3
.19.为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间[]50,100，将他们的成绩（满分100分）分成五组，依次为
[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100，制成如图所示的频率分布直方图
.
（1）求出a 的值，并用各区间的中间值估计这100人的竞赛成绩的平均数；
（2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在[]80,100（即第四、五组内）的学生中抽取了12人作为航天知识宣讲使者.现从这12名使者中随机抽取1人作为组长，求这名组长的竞赛成绩在[]90,100内的概率.
【正确答案】（1）0.02a =，73.5（2）
1
6
【分析】（1）由频率之和为解a ，由频率分布直方图中平均数的估计方法求解平均数即可；（2）先由分层抽样的方法确定每层的人数，然后由古典概率公式计算概率即可.【小问1详解】
由()0.0150.0350.0250.005101a ++++⨯=，解得0.02a =；这100人的竞赛成绩的平均数估计为：
550.15650.2750.35850.25950.0573.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
【小问2详解】
成绩在[]80,90的频率为0.25，成绩在[]90,100的频率为0.05，所以竞赛成绩在[]80,90，[]90,100两个组的人数之比为5:1，采用分层抽样的方法从中抽取12人，所以成绩在[]80,90抽得的人数为5
12106
⨯=人，成绩在[]90,100抽得的人数为1
1226
⨯
=人.现从这12名使者中随机抽取1人作为组长，则这名组长的竞赛成绩在[]90,100内的概率为
21126
=.20.把右半个椭圆()22
1:1043
x y C x +=≥和圆弧()()222:140C x y x -+=<合成的封闭曲线Γ称为“曲
圆”，“曲圆”与x 轴的左、右交点依次记为1A 、2A ，与y 轴的上、下交点依次记为1B 、2B ，过椭圆的右焦点F 的直线l 与“曲圆”交于P 、Q 两点.
（1）当点Q 与2B 重合时，求1A PQ △的周长；
（2）当P 、Q 两点都在半椭圆1C 时，是否存在以PQ 为直径的圆恰好经过点1A ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由；
（3）当点P 在第一象限时，求1A PQ △的面积的最大值.【正确答案】（1）8（2）不存在，理由见解析
（3）3
【分析】（1）由焦点三角形周长求解即可；
（2）假设存在，设出直线的方程联立方程组，由33,33t ⎡∈-
⎢⎣⎦
判断可知不存在；（3）分类讨论由1121211
222
S A F y y y y =-=⨯-求1A PQ △面积的最大值即可.【小问1详解】
因为圆弧()()2
22:140C x y x -+=<的左顶点()11,0A -，
刚好是半椭圆()22
1:1043
x y C x +=≥的左焦点，
所以点Q 与2B 重合时，1A PQ △的周长为48a =；【小问2详解】
假设存在直线1x ty =+，
因为P 、Q 两点都在半椭圆1C ，3PQ k ≥
或3PQ k ≤-所以33,33t ⎡∈-⎢⎣⎦，联立22
1431
x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得()22
34690t y ty ++-=，设()11,P x y 、()22,Q x y ，则()
2
2
Δ3636340t t =++>恒成立.
所以122634t y y t -+=
+，12
29
34
y y t -=+.
以PQ 为直径的圆恰好经过点1A ，
所以11
0A P AQ ⋅= ，即()()1212110x x y y +++=，即()()()
()2
12121212221240ty ty y y t y y t y y +++=++++=，
代入韦达定理得(
)
2
22
961
2403434
t
t t t t --+++=++，即2
2
2
991212160t t t ---++=，解得733333t ⎡=±
∉-⎢⎣⎦
，，所以不存在直线l ，满足题意.【小问3详解】
①由(2)知，当P 、Q 两点都在半椭圆1C 时，
设直线l 的方程为1x ty =+，当P
在第一象限时，0,
3t ⎡∈⎢⎣⎦
.且
122121123
134y y t -====≤+当且仅当得0=t 时等号成立，即1A PQ △的面积为
1121211
2322
A F y y y y -=⨯-≤，②当P 、Q 两点分别在半椭圆与圆弧上时，此时当Q 与2
B 重合时取得最大值，此时1121211
2322
S A F y y y y =
-=⨯-<.综上，1A PQ △的面积的最大值为3.
21.已知曲线()y f x =，x D ∈在点()()
00,A x f x 处的切线为0l ，若曲线()y f x =上存在异于A 的点
()()11,P x f x ，使曲线()y f x =在点P 处的切线1l 与0l 重合，则称P 为曲线()y f x =关于A 的“公切点”；
若曲线()y f x =上存在()()
22,Q x f x ，使曲线()y f x =在Q 处的切线2l 与0l 垂直，则称Q 为曲线
()y f x =关于A 的“正交点”.
（1）求曲线()2
12
f x x =
关于()2,2A 的“正交点”；（2）若()1
1
sin2cos 8
4
f x x x x =---，[]0,2πx ∈，已知曲线()y f x =上存在关于()()00,A x f x 的“正交点”，求0x 的取值集合；
（3）已知()ln ,0
e ,0x x x
f x a x >⎧=⎨+<⎩
，若对任意()01,e x ∈，曲线()y f x =上都存在关于()()00,A x f x 的“正
交点”，求实数a 的取值范围.
【正确答案】（1）11,28⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
（2）π3π,22⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
（3）∅
【分析】（1）根据切线2l 与0l 垂直，即可求解.
（2）设0l 的斜率为1k ，2l 的斜率为2k ，()()
00,A x f x 的“正交点”()11,Q x y ，利用121k k =-，得到
()()2
20
011sin 2sin 1sin 2sin 14x
x x x +-+-=-，又()022g x -≤≤，()122g x -≤≤，可得()02g x =±，
即可根据[]
00,2πx ∈求得结果.
（3）据已知可得()1
,0
e ,0
x x f x x x ⎧'>⎪=⎨⎪<⎩，通过分类讨论20x >和20x <可知不存在这样的点，即可知道a 的
范围.
【小问1详解】
()2
12
f x x =
，()f x x '=，则()22f '=，
设0l 的斜率为1k ，2l 的斜率为2k ，()2,2A 的“正交点”()00,Q x y ，则12k =，212k =-
，012x =-，018
y =，即()2,2A 的“正交点”为11,28Q ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.【小问2详解】
()11
sin2cos 84
f x x x x =---，
设0l 的斜率为1k ，2l 的斜率为2k ，()()
00,A x f x 的“正交点”()11,Q x y ，
()11
cos 2sin 4
4f x x x '=-+-，
()2100001111
cos 2sin 12sin sin 4444k x x x x -+-=-+-
=-()2001
sin 2sin 12
x x =
+-，同理，2k ()2111
sin 2sin 12
x x =
+-，
因为121k k =-，所以
()2
001sin 2sin 12x x +-()2111sin 2sin 112
x x ⨯+-=-，即()(
)
2
2
0011sin 2sin 1sin 2sin 14x x x x +-+-=-，设()()2
20000sin 2sin 1sin 12g x x x x =+-=+-，因[]
00,2πx ∈，则01sin 1x -≤≤，当0sin 1x =-，()0min 2g x =-，当0sin 1x =，()0max 2g x =，所以()022g x -≤≤，同理()122g x -≤≤，因为()()014g x g x =-，
所以()02g x =±，即0sin 1x =±，则0π
π,Z 2x k k =
+∈，又[]00,2πx ∈，所以0π3π,22
x =
.故0x 的取值集合为π3π,22⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
.
【小问3详解】
设0l 的斜率为1k ，2l 的斜率为2k ，
()()00,A x f x 的“正交点”()22,Q x y ，()ln ,0e ,0
x x x f x a x >⎧=⎨+<⎩，()01,e x ∈，
则()1
,0e ,0
x x f x x x ⎧'>⎪=⎨⎪<⎩，
当20x >时，
02
11
1x x ⋅=-，因为()01,e x ∈，20x >，所以不存在这样的点；当20x <时，
2
1e 1x x ⋅=-，
因为()01,e x ∈，2e 0x >，所以上式也不成立.故a 的取值范围为∅.。