2019年上海市夏季高考数学试卷含答案

上海市2019届秋季高考数学考试卷一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. 已知集合()(),32,A B =-∞=+∞、，则=B A I ________.2. 已知C z ∈且满足i z=-51，求=z ________. 3. 已知向量)2,0,1(=，)0,1,2(=，则a r 与b r的夹角为________.4. 已知二项式()521x +，则展开式中含2x 项的系数为________.5. 已知x 、y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求23z x y =-的最小值为________.6. 已知函数()f x 周期为1，且当01x <≤，()2log f x x =-，则=)23(f ________.7. 若x y R +∈、，且123y x +=，则yx的最大值为________. 8. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S =______.9. 过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A B 、，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，OM OA λ=+()2OB λ-，则λ=______.10. 某三位数密码锁，每位数字在90-数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.11. 已知数列{}n a 满足1n n a a +<（*∈N n ），(),n n P n a 在双曲线12622=-y x 上，则1lim n n n P P +→∞=_______.12. 已知()()21,01f x a x a x =->>-，若0a a =，()f x 与x 轴交点为A ，()f x 为曲线L ，在L 上任意一点P ，总存在一点Q （P 异于A ）使得AP AQ ⊥且AP AQ =，则0a =__________.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知直线方程02=+-c y x 的一个方向向量d 可以是（ ）A. )1,2(-B. )1,2(C. )2,1(-D. )2,1(14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 815. 已知R ∈ω，函数()()()26sin f x x x ω=-⋅，存在常数R a ∈，使得()f x a +为偶函数，则ω可能的值为（ ）A.2π B. 3π C. 4π D. 5π16. 已知)tan(tan tan βαβα+=⋅.①存在α在第一象限，角β在第三象限； ②存在α在第二象限，角β在第四象限；A. ①②均正确；B. ①②均错误；C. ①对，②错；D. ①错，②对；三.解答题（本大题共5题，共76分）17. （本题满分14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，4AD =，3CD =，15AA =. （1）求直线1A C 与平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面1A MC 的距离.18.（本题满分14分）已知()11f x ax x =++)(R a ∈. （1）当1a =时，求不等式()()11f x f x +<+的解集；（2）若[]1,2x ∈时，()f x 有零点，求a 的范围.19.（本题满分14分）如图，A B C --为海岸线，AB 为线段，»BC为四分之一圆弧，39.2BD km =，22BDC ∠=o ，68CBD ∠=o ，58BDA ∠=o .（1）求»BC长度； （2）若40AB km =，求D 到海岸线A B C --的最短距离.（精确到0.001km ）20.（本题满分16分）已知椭圆22184x y +=，12,F F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A 、B 两点. （1）若AB 垂直于x 轴时，求AB ；（2）当190F AB ∠=o时，A 在x 轴上方时，求,A B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使MN F AB F S S 11△△=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 21.（本题满分18分）数列{}n a 有100项，1a a =，对任意[]2,100n ∈，存在[],1,1n i a a d i n =+∈-，若ka与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P . （1）若11a =，求4a 可能的值；（2）若{}n a 不为等差数列，求证：{}n a 中存在满足性质P ；（3）若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项和为C ，使用,,a d c 表示12100a a a +++L .上海市2019届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1.已知集合()(),32,A B =-∞=+∞、，则=B A I ________. 【思路分析】然后根据交集定义得结果． 【解析】：根据交集概念，得出：)3,2(.【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.已知C z ∈且满足i z=-51，求=z ________. 【思路分析】解复数方程即可求解结果．【解析】：i z+=51，i i i i i z 261265)5)(5(551-=-+-=+=. 【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．3.已知向量)2,0,1(=，)0,1,2(=，则a r 与b r的夹角为________.【思路分析】根据夹角运算公式ba ⋅=θcos 求解．【解析】：52552cos =⋅=⋅=ba θ. 【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础． 4.已知二项式()521x +，则展开式中含2x 项的系数为________.【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含2x 项的的项，再求系数．【解析】：r r rr r r r x C x C T ---+⋅⋅=⋅⋅=55555121)2(令25=-r ，则3=r ，2x 系数为402235=⋅C . 【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．5.已知x 、y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求23z x y =-的最小值为________.【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当0=x ，2=y 时，6min -=z .【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.已知函数()f x 周期为1，且当01x <≤，()2log f x x =-，则=)23(f ________. 【思路分析】直接利用函数周期为1，将转23到已知范围01x <≤内，代入函数解析式即可． 【解析】：121log )21()23(2=-==f f . 【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题． 7.若x y R +∈、，且123y x +=，则yx的最大值为________. 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有yx的式子求解 【解析】：法一：y x y x 212213⋅≥+=，∴892232=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤x y ；法二：由y x 231-=，y y y y x y 32)23(2+-=⋅-=（230<<y ），求二次最值89max =⎪⎭⎫⎝⎛x y . 【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题．8.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S =______.【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列.【解析】：由⎩⎨⎧≥=+=+--)2(2211n a S a S n n n n 得：121-=n n a a （2≥n ）∴ {}n a 为等比数列，且11=a ，21=q ，∴ 1631211])21(1[155=--⋅=S . 9.过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A B 、，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，OM OA λ=+()2OB λ-，则λ=______.【思路分析】根据等式建立坐标方程求解 【解析】：依题意求得：)2,1(A ，)2,1(-B ，设M 坐标),(y x M有：)4,22()2,1()2()2,1(),(-=-⋅-+=λλλy x ，代入x y 42=有：)22(416-⋅=λ 即：3=λ.【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10某三位数密码锁，每位数字在90-数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______. 【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.【解析】：法一：100271031923110=⋅⋅=C C C P （分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字） 法二：100271013310110=+-=P C P （分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同） 【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题．11.已知数列{}n a 满足1n n a a +<（*∈N n ），(),n n P n a 在双曲线12622=-yx 上，则1lim n n n P P +→∞=_______.【思路分析】利用点在曲线上得到1n n P P +关于n 的表达式，再求极限.【解析】：法一：由12822=-n a n 得：)16(22-=n a n ，∴))16(2,(2-n n P n ，))16)1((2,1(21-+++n n P n ，利用两点间距离公式求解极限。

1lim n n n P P +→∞=332法二（极限法）：当∞→n 时，n P 1+n P 与渐近线平行，1+n n P P 在x 轴投影为1，渐近线倾斜角θ满足：33tan =θ，所以3326cos 11==+πn n P P .【归纳与总结】本题考查数列极限的求解，是中档题．12.已知()()21,01f x a x a x =->>-，若0a a =，()f x 与x 轴交点为A ，()f x 为曲线L ，在L 上任意一点P ，总存在一点Q （P 异于A ）使得AP AQ ⊥且AP AQ =，则0a =__________.【思路分析】 【解析】：【归纳与总结】二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知直线方程02=+-c y x 的一个方向向量可以是（ ）B. )1,2(- B. )1,2(C. )2,1(-D. )2,1( 【思路分析】根据直线的斜率求解. 【解析】：依题意：)1,2(-为直线的一个法向量，∴ 方向向量为)2,1(，选D .【归纳与总结】本题考查直线方向向量的概念，是基础题． 14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）B. 1 B. 2C. 4D. 8 【思路分析】根据直线的斜率求解.【解析】：依题意：ππ34123121=⋅⋅⋅=V ，ππ32213122=⋅⋅⋅=V ，选B.15.已知R ∈ω，函数()()()26sin f x x x ω=-⋅，存在常数R a ∈，使得()f x a +为偶函数，则ω可能的值为（ ） B.2π B. 3π C. 4π D. 5π 【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.【解析】：法一（推荐）：依次代入选项的值，检验()f x a +的奇偶性，选C ；法二：)](sin[)6()(2a x a x a x f +⋅-+=+ω，若)(a x f +为偶函数，则6=a ，且)]6(sin[+x w 也为偶函数（偶函数×偶函数=偶函数），∴ ππωk +=26，当1=k 时，4πω=，选C.16.已知)tan(tan tan βαβα+=⋅.①存在α在第一象限，角β在第三象限； ②存在α在第二象限，角β在第四象限；B. ①②均正确； B. ①②均错误；C. ①对，②错；D. ①错，②对； 【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.【解析】：法一：（推荐）取特殊值检验法：例如：令31tan =α和31tan -=α，求βtan 看是否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选D.法二：解：tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+⋅=-⋅……①设tan ,tan x y αβ==，则原式可化为1x y xy xy+=-，整理得()2210x y y x x +-+=，以y 为主元，则要使方程有解，需使()2332144210x x x x x ∆=--=-+-+≥有解， 令()32421f x x x x =-+-+，则()212220f x x x '=-+-<恒成立∴函数()32421f x x x x =-+-+在R 上单调递减，又∵()()010,140f f =>=-<∴存在()00,1x ∈使()00f x =，当0x x ≤时()0f x ∆=≥设方程()2210x y y x x +-+=的两根分别为12,y y，当0x <时，12122110,0x y y y y x x -+=<=<，故必有一负根，②对； 当00x x <≤时，12122110,0x y y y y x x-+=<=>，故两根均为负根，①错；选D. 三. 解答题（本大题共5题，共76分）17.（本题满分14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，4AD =，3CD =，15AA =.（1）求直线1A C 与平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面1A MC 的距离.【思路分析】根据几何图形作出线面角度求解；建立坐标系计算平面的法向量求解.. 【解析】：（1）依题意：ABCD A A 面⊥1，连接AC ，则C A 1与平面ABCD 所成夹角为CA A 1∠；∵ 51=A A ，54322=+=AC ，∴CA A 1△为等腰直角△，41π=∠CA A ；∴ 直线1A C 与平面ABCD 的夹角为4π. （2）法一（空间向量）：如图建立坐标系： 则：)0,0,0(A ，)0,4,3(C ，)5,0,0(1A ，)2,0,3(M)0,4,3(=，)5,4,3(1-=A ，)2,4,0(-=∴求平面MC A 1的法向量),,(z y x =：⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=-+=⋅02405431z y MC n z y x C A n ，得：)2,1,2(= A 到平面MC A 1的距离为：3102121423222=++⨯+⨯=⋅nn AC d 法二（等体积法）：利用AM A C MC A A V V 11--=求解，求MC A S 1△时，需要求出三边长（不是特殊三角形），利用C ab S sin 21=△求解. 【归纳与总结】本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.（本题满分14分）已知()11f x ax x =++)(R a ∈. （1）当1a =时，求不等式()()11f x f x +<+的解集；（2）若[]1,2x ∈时，()f x 有零点，求a 的范围.【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值与值域.【解析】：（1）当1=a 时，11)(++=x x x f ； 代入原不等式：211111+++<+++x x x x ；即：2111+<+x x 移项通分：0)2)(1(1<++x x ，得：12-<<-x ；（2）依题意：011)(=++=x ax x f 在]2,1[∈x 上有解 参编分离：)1(1+-=x x a ，即求)1(1)(+-=x x x g 在]2,1[∈x 值域，)1(+x x 在]2,1[∈x 单调递增，]6,2[)1(∈+x x ；]21,61[)1(1--∈+-x x ，故：]21,61[--∈a . 【归纳与总结】本题考查了分式不等式的解法、分式函数最值与值域的求解，也考查了转化与划归思想的应用．19.（本题满分14分）如图，A B C --为海岸线，AB 为线段，»BC为四分之一圆弧，39.2BD km =，22BDC ∠=o ，68CBD ∠=o ，58BDA ∠=o .（1）求»BC长度； （2）若40AB km =，求D 到海岸线A B C --的最短距离.（精确到0.001km ）【思路分析】根据弧长公式求解；利用正弦定理解三角形. 【解析】：（1）依题意：ο22sin ⋅=BD BC ，弧BC 所在圆的半径4sinπ⋅=BC R弧BC 长度为：310.1622sin 2.39141.3422222=⨯⨯⨯=⋅⋅=οBC R ππkm （2）根据正弦定理：ο58sin sin AB A BD =，求得：831.058sin 402.39sin =⨯=οA ，ο2.56=A ∴ο8.65582.56180=--=∠ABD752.35sin =∠⨯=ABD BD DH km<CD=36.346km ∴ D 到海岸线最短距离为35.752km.【归纳与总结】本题考查了圆弧弧长求法、正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想的应用．20.（本题满分16分）已知椭圆22184x y +=，12,F F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A 、B 两点. （1）若AB 垂直于x 轴时，求AB ；（2）当190F AB ∠=o时，A 在x 轴上方时，求,A B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使MN F AB F S S 11△△=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【思路分析】直接求出A,B 坐标；利用三角形面积公式和点在曲线上建立方程；.根据面积关系MN F AB F S S 11△△=转化出关于点的坐标关系，再求解出关于点直线斜率的方程.【解析】：（1）依题意：)0,2(2F ，当AB ⊥x 轴，则坐标)2,2(A ，)2,2(-B ， ∴ 22=AB（2）法一（秒杀）：焦点三角形面积公式：44tan42tan 221=⨯=⋅=πθb S AF F △；又：4221==c F F ，4222121==⋅⋅=A A AF F y y c S △，即2=A y 所以A 在短轴端点，即)2,0(A直线AF l （即AB l ）方程为：2+-=x y ，联立：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=148222y x x y ，得)32,38(-B .法二（常规）：依题意：设坐标),(11y x A ，∵ 221π=∠AF F （注意：用点2F 更方便计算）则有：21211111214),2(),2(y x y x y x AF AF +-=-⋅+=⋅又A 在椭圆上，满足：1482121=+y x ，即：)81(42121x y -=∴ 0)81(44212121=-+-=⋅x x AF AF ，解出：01=x ，)2,0(AB 点坐标求解方法同法一，)32,38(-B .（3）设坐标),(11y x A ，),(22y x B ，),0(3y M ，),0(4y N ，直线l ：2+=my x （k 不存在时不满足题意） 则：2121212211y y y y F F S AB F -=-⋅=△； 43431211y y y y O F S MN F -=-⋅=△； 联立方程：⎪⎩⎪⎨⎧=++=148222yx my x ，044)2(22=-++my y m ，韦达定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+2424221221m y y m m y y 由直线1AF 方程：)2(211++=x x y y 得M 纵坐标：22113+=x y y ； 由直线1BF 方程：)2(222++=x x y y 得N 纵坐标：22224+=x y y ； 若MN F AB F S S 11△△=，即43212y y y y -=-21212122112211432)4)(4()(842422222y y my my y y my y my y x y x y y y -=++-=+-+=+-+=- ∴ 4)4)(4(21=++my my ，416)(421212=+++y y m y y m ，代入韦达定理：得：41624424222=++-⋅++-m m m m m ，解出：3±=m∴ 存在直线023=-+y x 或023=--y x 满足题意.【归纳与总结】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21.（本题满分18分）数列{}n a 有100项，1a a =，对任意[]2,100n ∈，存在[],1,1n i a a d i n =+∈-，若ka 与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P . （1）若11a =，求4a 可能的值；（2）若{}n a 不为等差数列，求证：{}n a 中存在满足性质P ；（3）若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项和为C ，使用,,a d c 表示12100a a a +++L . 【思路分析】根据定义式子代入即可求解4a ；通过证明逆否命题证明；去掉具有P 性质三项，求和 【解析】：（1）4a 可能的值为3,5,7； （2）要证明{}n a 中存在满足性质P ，即证明：若数列{}n a 中不存在满足性质P 的项，则n a 为等差数列（原命题的逆否命题） 显然123,,,(1,2)i a a a a d a a d i ==+=+=1i =时，312a a d a =+=，满足性质P ，不成立；2i =时，322a a d a d =+=+，4,1,2,3i a a d i =+=， 同理1i =时，42a a =不成立；2i =时，43a a = 所以433a a d a d =+=+以此类推,[1,1]n i a a d i n =+∈-，其中,[1,2]n i a a d i n =+∈-时不成立只有1i n =-，即1n n a a d -=+成立，即{}n a 为等差数列， 即得证明：{}n a 不为等差数列，{}n a 中存在满足性质P （3）将数列中具有性质P 的三项去掉，形成一个新数列{}n b11,[2,97]b a a n ==∈时，,[1,1]n i b a d i n =+∈-，且{}n b 中元素满足性质P 的项，根据（2）{}n b 为等差数列，所以129719796972b b b b d ⨯+++=+⨯L 即1297974656b b b a d +++=+L 又因为三项去掉和为c ，所以12100974656a a a a d c +++=++L【归纳与总结】本题考查新定义“性质P ”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．————————————————————————————————————《高中数学教研微信系列群》简介：目前有6个群，共2000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————。