2019年秋九年级数学复习课件：第五讲 第1课时 二次函数与三角形的综合

限内抛物线上的一个动点，点 P 的横坐标
为 m，过点 P 作 PM⊥x 轴，垂足为点 M， PM 交 BC 于点 Q，过点 P 作 PE∥AC 交 x
图5－1－4
轴于点 E，交 BC 于点 F.
• (1)求A，B，C三点的坐标； • (2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样
的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等 腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的 坐标；若不存在，请说明理由； • (3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求 解：出(1m)当为y何＝0值，13时x2－Q13Fx有－最4＝大0，值解．得 x1＝－3，x2＝4，
解得 n＝0，即 P1－32，0；
当 AC＝CP 时，AC2＝CP2，94＋(2－n)2＝5，
解得 n1＝2＋ 211，n2＝2－ 211，
则 P2－32，2＋
211，P3－32，2－
11
2
.

综上所述，使得以 A，C，P 为顶点的三角形是等腰三角形的点
P 的坐标为－32，0，－32，2＋ 211或－32，2－ 211.
轴于A，B两点，
y＝－12x2－32x＋2
• 交y轴于点C，则平移后的函数表达式为
_______________；
• (2)判断△ABC的形状，并说明理由；
• (3)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使
得以A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说
图5－1－3 解：(2)△ABC 是直角三角形．理由：
∵∠FGP＝∠AOC＝90°，∴△FGP∽△AOC，
∴FOGA＝CPGO，即F3G＝P4G，
∴PG＝43FG＝43·22FQ＝2 3 2FQ，
∴PQ＝PG＋GQ＝232FQ＋ 22FQ＝762FQ，
∴FQ＝3
7
2 PQ.
设 Pm，13m2－13m－4(0＜m＜4)，则 Q(m，m－4)， ∴PQ＝m－4－13m2－13m－4＝－13m2＋43m， ∴FQ＝372－13m2＋43m＝－ 72(m－2)2＋472， ∵－ 72＜0，∴QF 有最大值， ∴当 m＝2 时，QF 有最大值．
– 思维升华 解有关二次函数的综合问题时，首先要根据已知 条件求出二次函数的表达式，再结合图象，运用几何知识解 决问题．
• 跟踪训练 [2018·山西]综合与探究
如图 5－1－4，抛物线 y＝13x2－13x－4 与 x
轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与
y 轴交于点 C，连结 AC，BC.点 P 是第四象
(3)y＝－12x2－32x＋2 的对称轴是 x＝－32，
设 P－32，n，
AP2＝1＋322＋n2＝245＋n2，
CP2＝94＋(2－n)2，AC2＝12＋22＝5.
当 AP＝AC 时，AP2＝AC2，245＋n2＝5，方程无解；
当 AP＝CP 时，AP2＝CP2，245＋n2＝94＋(2－n)2，
• 跟踪训练 如图5－1－2，抛物 线y＝x2－mx－3(m＞0)交y轴于 点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A ，点B在抛物线上，且在第一象 限内，BE⊥y轴，交y轴于点E， 交AO的延长线于点D，BE＝2AC. 图5－1－2
•(2)(；当1)m用＝含3m时的，判代断数点式D 是表否示落B在E抛的物长线上，并说明理由；
– y＝－3时，－3＝x2－mx－3，解得x＝0或m， – ∴点A坐标为(m，－3)，∴AC＝m， – ∴BE＝2AC＝2m； – (2)点D落在抛物线上，理由：
∵m＝ 3，∴点 A 坐标为( 3，－3)，
∴直线 OA 的表达式为 y＝－ 3x，
∴抛物线的表达式为 y＝x2－ 3x－3，
∴点 B 坐标为(2 3，3)，∴点 D 纵坐标为 3，

典例一答图
∴E45，251，F(0，1)．
∵点 M 在△AOB 内，1＜4b＋1＜251，∴0＜b＜45.
当点 C，D 关于抛物线的对称轴对称时， b－14＝34－b，∴b＝12， 且二次函数图象开口向下，顶点 M 在直线 y＝4x＋1 上． 综上，①当 0＜b＜12时，y1＞y2； ②当 b＝12时，y1＝y2； ③当12＜b＜45时，y1＜y2.
– ∴EO＝2FG，
∵12DE·EO＝12GB·GF， ∴BG＝2DE，∵DE∥AC，
∴DACE＝EOOC＝12， ∵点 B 坐标为(2m，2m2－3)，OC＝2OE，∴3＝2(2m2－3)，∵m
＞0，∴m＝32；
– ②如答图，∵A(m，－3)，B(2m，2m2－3)，E(0 ∴直线，A2Em表2－达3式)，为 y＝－2mx＋2m2－3，直线 OB 表达式为 y
2
2－4或(1，－3)；

– (3)如答图，过点F作FG⊥PQ于点G，
– 则FG∥x轴．
– 由B(4，0)，C(0，－4)得△OBC为等腰直
– 角三角形，
– ∴∠OBC＝∠QFG＝45°， – ∴△FQG为等腰直角三角形，
跟踪训练答图
∴FG＝QG＝ 22FQ，
∵PE∥AC，PG∥CO，∴∠FPG＝∠ACO，
D34，y2都在二次函数图象上，试比较 y1 与 y2 的大小．
图5－1－1
– 【解析】 (1)的关键是把点的坐标代入函数解析 式检验；(2)的关键是利用函数与不等式的关系： 图象在上方的函数值大；(3)的关键是解方程组得 出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的 性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越 大．
当 y＝0 时，－12x2－32x＋2＝0，
– 解得x1＝－4，x2＝1，即B(－4，0)，A(1，0)．
– 当x＝0时，y＝2，即C(0，2)． – AB＝1－(－4)＝5，AB2＝25， – AC2＝12＋22＝5，BC2＝42＋22＝20， – ∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；
1， – ∴A(5，0)．由图象得当mx＋5＞－(x－b)2＋4b＋
1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；
– (3)如答图，∵直线y＝4x＋1与直线
AB交于点E，与y轴交于F，A(5，0)，
B(0，5)，
– ∴直线AB的解析式为y＝－x＋5，
yy＝＝–4－x联＋x＋立1，5，直解线得EFxy，＝＝A24551B，，，得
对于函数 y＝－ 3x，当 y＝3 时，x＝－ 3，
∴点 D 坐标为(－ 3，3)．
∵对于函数 y＝x2－ 3x－3，x＝－ 3时，y＝3，
– ∴点D落在抛物线上；
– (3)①如答图，∵∠ACE＝∠CEG＝∠EGA
– ＝90°，
– ∴四边形ECAG是矩形，
– ∴EG＝AC＝BG，
跟踪训练答图
– ∵FG∥OE，∴OF＝FB，
• 典例一 [2018·嘉兴]已知，点M为二次函数y＝ －(x－b)2＋4b＋1图象的顶点，直线y＝mx＋5 分别交x轴正半轴，y轴于点A，B.
• (1)判断顶点M是否在直线y＝4x＋1上，并 说明理由；
• (2)如图5－1－1①，若二次函数图象也经 过据(3点图)如象A图，②，，B点写，A出且坐xm标的x为＋取(55，值0＞)，范点－围M(x在；－△bA)2O＋B 内4b，若＋点1，C14根，y1，
高分作业
＝2m22m－3x，
y＝－2mx＋2m2－3，
由y＝2m22m－3x，
解得
x＝46mm3－2－63m，
∴点 M 横坐标为46mm3－2－63m，∵S△AMF＝S△BFG， ∴122m22－3＋3·m－46mm3－2－63m
＝12m·12(2m2－3)，
整理得到 2m4－9m2＝0，∵m＞0，∴m＝32 2.
∴A(－3，0)，B(4，0)，
当 x＝0，y＝13x2－13x－4＝－4，∴C(0，－4)
(2)AC＝ 32＋42＝5，
易得直线 BC 的解析式为 y＝x－4，
设 Q(m，m－4)(0＜m＜4)，
当 CQ＝CA 时，m2＋(m－4＋4)2＝52，解得 m1＝522，m2＝－522 (舍去)，
此时
第五讲 二次函数综合型问题
第1课时 二次函数与三角形的综合
特征 综合二次函数与其他常见几何图形性质的试题
(1)二次函数与三角形的综合；(2)二次函数与四 类型 边形的综合；(3)二次函数与相似三角形的综
合；(4)二次函数与圆的综合
解题 策略
充分运用数形结合思想，把“数”与“形”结 合，互相渗透，把数量关系与空间形式巧妙结 合起来寻找解题思路
– 思维升华 二次函数与几何结合问题涵盖了初中阶段所学的 知识和多种数学思想，应特别注意运用数形结合思想沟通几 何与代数知识之间的内在联系，运用通过数来解形或通过形 来观数的策略．
典例二 [2018·赤峰]已知抛物线 y＝－12x2－32x 的图象如图 5－1 －3 所示：
• (1)将该抛物线向上平移2个单位，分别交x
•①当(3△)若DOAEG与∥△yB轴GF，的交面积O相B于等时点，F求，m交的值；
BD于点G.
• ②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的 面积相等，则
32 2
• m的是_______．
– 解：(1)由抛物线y＝x2－mx－3可知点C坐标为(0 ，－3)，AC⊥OC，∴点A纵坐标为－3，
– 解：(1)点M为二次函数y＝－(x－b)2＋4b＋1图象 的顶点，
– ∴M的坐标是(b，4b＋1)， – 把x＝b代入y＝4x＋1，得y＝4b＋1， – ∴点M在直线y＝4x＋1上； – (2)∵直线y＝mx＋5交y轴于点B， – ∴B点坐标为(0，5)，又∵B在抛物线上， – ∴5＝－(0－b)2＋4b＋1，解得b＝2， – ∴二次函数的解析式为y＝－(x－2)2＋9， – 当y＝0时，－(x－2)2＋9＝0，解得x1＝5，x2＝－
Q
点坐标为5

2
2，5
2
2－4；

– 当AQ＝AC时，(m＋3)2＋(m－4)2＝52，解得m1＝ 1，m2＝0(舍去)，此时Q点坐标为(1，－3)；
当 QA＝QC 时，(m＋3)2＋(m－4)2＝m2＋(m－4＋4)2，解得 m
＝225(舍去)．
综上所述，满足条件的
Q
点坐标为5

2
2，5