2009_06_带限信号的离散时间采样

X 0 ( f ) x0 (n)e i 2nf n ei 2 ( t n ) f 0 ei 2 ( t n ) F 1 x (t ) x0 (n) 0 i 2 t n n
( f [ f0 , f0 ( t )
离散信号的普遍性
到目前为止，我们讲解的主要是连续信号及其频谱。
学习离散信号的必要性： 1、DSP分析对象主要是离散信号； 2、自然界多数信号是离散的； （自然数、时间和空间的纪录方式等） 3、连续谱抽样定理描述了连续和离散之间的关系式。
离散时间采样
前面介绍傅里叶级数与傅里叶积分之间的关系时 就用到了（对连续频谱进行的）离散取值方法；这种 对连续信号的等间隔均匀取值过程，在数值信号处理 中我们称其为对连续信号的采样（Sampling）。（在 地球物理中，有时又称其为抽样） 以一定的时间间隔Δ对无限区间上的连续信号 x(t) 进行均匀采样得到的一个离散序列 x(n)(n 0,1,2,) 由于时间间隔Δ是固定的，因此，又可将离散序列 x(n)写成xn
其中f0、F均为实数且F>0，则称信号x0(t)是 （频域）带限的（或说信号x0(t)是带限信号） 切记：根据CFST定理，有限范围内分布的任何 函数均可表示成Fourier级数的形式！（当然也适用 于上面的带限信号）
带限频谱的CFST展开
在有限区间[f0(t),f0+F]上对频谱X0(f)进行CFST展开 可以得到（注意其中的符号是相反的）
课前分析
已知
0 t [( m 0.5)T , (m 0.5)T ] (m为整 x(t ) x(t ) t [( m 0.5)T , (m 0.5)T ] 型常数)
1、在其非零范围内计算其离散频谱； 2、不同m值对应的连续频谱是否相同？ 3、离散频谱是否与m有关？


1 ])
提出问题（1）
若m为任意整数(m=0即为前面的情况)
0, m X m ( f ) X 0 ( f ), 0, m f f0
m m 1 f0 f f0 m 1 f0 f
问题1：恢复得到的连续信号是否与m有关？ 问题2：其对应的无限离散序列 x0 (n)(n 0,1,) 是否与m有关？
X0( f ) 1 dn F
n f0 F i 2 n f F
d e
n
,
n f F
( f [ f 0 , f 0 F ]) df , (n 0,1,2,)

X 0 ( f )e
i 2
f0
进一步地，可以对上式做变换得到
1 X0( f ) F cn
结论： 1、不同m对应的连续信号xm(t)是不同的； 2、在离散点
t n n(n 0,1,2,)
上所有信号的取值却是相同的。
反问题
问题：对于无限离散序列 x(n)(n 0,1,) 怎样选择其对应的频谱？（没有频谱背景） 更直接一点，在下面的表达式中，选择哪一组值最 合适？
( t ) ( f0 f f0 F)
cn x0 (n) (n 0,1,2,)
( f [ f 0 , f 0 F ]) df , (n 0,1,2,)
记Δ=F-1，比较两式后可得
1 X0( f ) F cn
问题的提出
已知：根据有限区间上的连续信号，可以得到一个 无限离散频谱及连续频谱！（CFST、CFT）
利用对偶性质，可以得到什么样的另一种表达式？
利用有限范围内分布的连续频谱，可以得到一个无 限离散序列及连续信号！（CFST、CFT）
带限信号
若连续信 号x0(t)的频 谱X0(f)满足
0, X 0 ( f ) X ( f ), 0, f f0 f0 f f0 F f0 F f
n f0 F
c e
n

i 2
n f F
,
n f F
( f [ f 0 , f 0 F ]) df , (n 0,1,2,)

X 0 ( f )e
i 2
f0
带限信号的CFT与CFST
f0 F x0 (t ) X 0 ( f )e i 2ft df f0 X ( f ) x (t )e i 2ft dt 0 0
( f [ f 0 , f 0 F ]) ( t )


这就是带限信号的时间域抽样定理！(推 导过程与频率域抽样定理完全相同：略)
带限信号采样定理
f f0 0, 1 x0 (t ) X 0 ( f ) X ( f ), f0 f f0 f0 F f 0, 对于满足上式的带限信号x0(t)及其X0(f)，若以Δ为 x0 (n)(n 0,1,) 间隔对x0(t)进行离散采样得到 则可由这些离散值完全恢复出在有限区间[f0(t),f0+Δ-1]上 的频谱X0(f)，进而完全恢复出信号x0(t)。
i 2
x0 (t )
显然，不同m所对应的无限离散取值是完全相等的， 即在离散点 t n n(n 0,1,2,) 上有
x1 (n) x0 (n) x1 (n) (n 0,1,2,)
解答问题（2）：图例
解答问题（2）：图例
解答问题（3）：结论
n f0 F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c e
n

i 2
n f F
,
n f F

X 0 ( f )e
i 2
f0
带限信号的离散时间采样
进一步地，可以得到：
X 0 ( f ) x0 (n)e i 2nf n i 2 ( t n ) f 0 i 2 ( t n ) F e 1 x (t ) x (n) e 0 0 i 2 t n n
0, m X m ( f ) X 0 ( f ), 0, m f f0
m m 1 f0 f f0 m 1 f0 f
解答问题（1）
f0
x m (t )
m f0 f0 1
X m ( f )e i 2ft df
m t
m 1
e

f0
X 0 ( f )e
m t
i 2ft i 2
这就是前面所讲的 连续傅里叶积分变换 的频移性质。
df ( t ; n 0,1,2, )