第2讲 实数--提高班 (1)

第2讲实数
知识点1 平方根
平方根:如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．
也就是说，若2x a
=，则x就叫做a的平方根．
一个非负数a的平方根可用符号表示为“”．
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【典例】
1.一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为____
【方法总结】
本题主要考察：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，另外还需注意：0的平方根是0；负数没有平方根.
2.下列说法正确的是（）
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.﹣10是100的一个平方根
D.﹣1的平方根是﹣1
【方法总结】
本题主要考察平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【随堂练习】
1．（2020春•思明区校级期末）若实数a﹣2有平方根，那么a可以取的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2
2．（2019秋•萧山区期末）下列计算正确的是（）
A．6÷（﹣3﹣2）＝﹣5B．
C．D．
3．（2019秋•莱州市期末）下列各数：49，，0，﹣4，﹣（﹣3），﹣|﹣3|，﹣（﹣5）4，其中有平方根的有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个4．（2020•合肥二模）的平方根是（）
A．B．﹣C．±D．±
知识点2 算术平方根
算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，
可用符号表示为；
0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．
【典例】
1.的算术平方根为____
【方法总结】
此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
1．（2019秋•万州区期末）的算术平方根是（ ） A ．±
B ．
C ．±
D ．5
2．（2020•滨城区一模）化简的结果是（ ）
A ．2
B ．﹣4
C ．4
D ．±4
3．（2020春•鹿城区校级期中）若x ＝﹣1，则的值为 ．
4．（2020•襄城区校级模拟）的算术平方根是 ．
知识点3 立方根
立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根.
一个数a 的立方根可用符号表示，其中“3”叫做根指数，不能省略．
前面学习的其实省略了根指数“2” 任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．
【典例】
1.计算的结果是（ ）
【方法总结】
此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．若3
,x a =则x 就叫做a 的立方
根.
2如果m 2=36，n 3=﹣64，=5，则m+n ﹣x 的值有____个．
【方法总结】
此题主要考查平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单．做题时，关键是掌握它们的定义.
1．（2020春•魏县期末）下列说法不正确的是（）
A．﹣＝3B．＝9
C．0.04的平方根是±0.2D．9的立方根是3
2．（2020春•番禺区期末）下列说法正确的是（）
A．±5是25的算术平方根B．±4是64的立方根
C．﹣2是﹣8的立方根D．（﹣4）2的平方根是﹣4
3．（2020春•船营区期末）下列结论正确的是（）
A．64的立方根是±4
B．﹣8没有立方根
C．立方根等于本身的数是0
D．
4．（2019秋•灯塔市期末）下列叙述中，错误的是（）
①﹣27立方根是3；
②49的平方根为±7；
③0的立方根为0；
④的算术平方根为．
A．①②B．②③C．③④D．①④5．（2020春•浦东新区期末）方程x3﹣8＝0的根是．
6．（2020春•武鸣区校级期中）解方程：
（1）9x2﹣16＝0
（2）（x+1）3+27＝0．
知识点4 实数
1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．
2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a -b 是无理数；
3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数． 实数的分类：
0⎧⎧⎫
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪
⎪⎪⎪
⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪
⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩
正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 4 实数与数轴上的点一一对应：
即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．
【典例】
1.下列各数中：，
，
，﹣π，
，﹣0.1010010001，无理数有_____个
【方法总结】
本题主要考察无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 常见的无理数形式有四种：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数和无理数的结合，例如：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a -b 是无理数；
2.把下列各数填入相应的集合： ﹣1、
、π、﹣3.14、
、﹣
、
、0、0.131331333、﹣
（1）有理数集合{ }； （2）无理数集合{ } （3）整数集合{ } （4）负实数集合{ }
【方法总结】
本题主要考察了实数的分类：
0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪
⎪⎪⎪
⎧⎨⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩
正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3.与
最接近的整数是______
【方法总结】
2
a 前后两个完全平方数的算数平方根之间.
3.计算：
﹣12+（﹣2）3×﹣×（
）
【方法总结】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【随堂练习】
1．（2020春•大兴区校级期中）2﹣的相反数是 ，3﹣π的绝对值是 ．
2．（2020春•自贡期末）计算：．
3．（2019秋•温岭市期末）定义一种新运算“*”满足下列条件：
①对于任意的实数a，b，a*b总有意义；
②对于任意的实数a，均有a*a＝0；
③对于任意的实数a，b，c，均有a*（b*c）＝a*b+c．
（1）填空：1*（1*1）＝，2*（2*2）＝，3*0＝；
（2）猜想a*0＝，并说明理由；
（3）a*b＝（用含a、b的式子直接表示）．
4．（2020春•西城区校级期中）已知|x|＝，y是3的平方根，且|y﹣x|＝x﹣y，求x+y的值．
综合运用
1.的平方根是．
2.（﹣4）2的算术平方根是．
3.计算：= ．
4.已知一个正数的两个平方根分别为2m﹣6和3+m，则（﹣m）2018的值为．
5.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根为±4，则a+2b的平方根是．
6.在，2π，﹣2，0，0.454454445…，﹣，中，无理数的有个．
7.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为．
8.比大且比小的整数是．
9.将下列各数填入相应的集合内．﹣3.14，，﹣，﹣，0，，π，1010010001…
①有理数集合{ …}
②无理数集合{ …}
③负实数集合{ …}．
10.计算：﹣2+|﹣2|．
11.计算：
﹣﹣（﹣2）2．
12.一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时．输出的y值是；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值：．。