2021-2022学年辽宁省沈阳市法库县初三数学第一学期期末试卷及解析

2021-2022学年辽宁省沈阳市法库县初三数学第一学期期末试卷
一、选择题（下列各题备选答案中只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分） 1．（2分）图中三视图所对应的直观图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（2分）某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n 次，正面朝上有m 次，若正面朝上的频率是m
P n
=，则下列说法正确的是( ) A ．P 一定等于0.5 B ．多投一次，P 更接近0.5 C ．P 一定不等于0.5
D ．投掷次数逐渐增加，P 稳定在0.5附近
3．（2分）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是( ) A ．测量对角线是否相互平分
B ．测量其中三个角是否都为直角
C ．测量对角线是否相等
D ．测量两组对边是否分别相等
4．（2分）关于x 的一元二次方程2410kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A ．4k >
B ．4k
C ．4k <且0k ≠
D ．4k 且0k ≠
5．（2分）如图，已知点A 为反比例函数(0)k y x x =<的图象上一点，过点A 作AB y ⊥轴，垂足为B ，若
OAB ∆的面积为3，则k 的值为( )
A ．3
B ．3-
C ．6
D ．6-
6．（2分）如图，将长方形纸片折叠，使A 点落在BC 上的F 处，折痕为BE ，若沿EF 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )
A ．邻边相等的矩形是正方形
B ．对角线相等的菱形是正方形
C ．两个全等的直角三角形构成正方形
D ．轴对称图形是正方形
7．（2分）如图，在56⨯的方格纸中，画有格点EFG ∆，下列选项中的格点，与E ，G 两点构成的三角形中和EFG ∆相似的是( )
A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
8．（2分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点A 的坐标为(1,1)-，AB 平行于x 轴，则点C 的坐标为(
)
A ．(2,5)
B ．(3,1)
C ．(1,4)-
D ．(3,5)
9．（2分）已知反比例函数2
y x
=，下列结论中，不正确的是( ) A ．图象必经过点(1,2) B ．y 的值随x 值的增大而减小
C ．图象在第一、三象限内
D ．若1x >，则02y <<
10．（2分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，则下面所列的方程中正确的是( ) A ．2560(1)315x -= B ．2560(1)315x += C ．2560(12)315x -=
D ．2560(1)315x -=
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）方程290x -=的解是 ．
12．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是 ．
13．（3分）若菱形的两条对角线长分别是方程210240x x -+=的两实根，则菱形的面积为 ． 14．（3分）如图，有一块纸质直角三角形ABC ，90BAC ∠=︒，D 是AC 的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG ，其中E ，F 在BC 上，点G 在AB 上．若 4.5BF cm =，2CE cm =，则纸条GD 的长为 ．
15．（3分）如图所示，点A 是反比侧函数12
y x
=-图象上一点．过点A 作AB x ⊥轴于点B ．若5OA =，则AOB ∆的周长为 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD 中，5AB =，3AD =，动点P 满足1
3
PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B
两点距离之和PA PB +的最小值为 ．
三、解答题（17题6分，18题8分，19题8分，共22分） 17．（6分）解方程：2(21)(32)7x x x -=+-．
18．（8分）用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示在该位置小立方体的个数，请解答下列问题： （1）求a ，b ，c 的值；
（2）这个几何体最少有几个小立方体搭成，最多有几个小立方体搭成； （3）当2d =，1e =，2f =时画出这个几何体的左视图．
19．（8分）某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a ，b ，c ，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A ，B ，C ．
（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；
（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）:
A
B
C
a
400 100 100 b
30 240 30 c
20
20
60
试估计“厨余垃圾”投放正确的概率． 四、（20题、21题各8分，共16分）
20．（8分）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x 的方程260x x n -+=的两个根，求n 的值． 21．（8分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，DAC B ∠=∠．点E 在AD 边上，CD CE =． （1）求证：ABD CAE ∆∆∽；
（2）若9AB =，6AC BD ==，求AE 的长．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，//AD BC ，ADC ABC ∠=∠，OA OB =． （1）如图1，求证：四边形ABCD 为矩形；
（2）如图2，P 是AD 边上任意一点，PE BD ⊥，PF AC ⊥，E 、F 分别是垂足，若12AD =，5AB =，
求PE PF +的值．
六、（本题10分）
23．（10分）据统计：某超市2020年1月10日梭子蟹价格比去年同一天上涨了40%，这天该超市每千克梭子蟹价格为56元．
（1）求2019年1月10日．该超市梭子蟹的价格为每千克多少元？
（2）现在某超市以每千克46元的价格购进梭子蟹，按2020年1月10日价格出售，平均一天能销售100千克．经调查表明：梭子蟹的售价每千克下降1元，平均每日销售量就增加20千克，超市为了实现销售梭子蟹平均每天有1120元的销售利润，在尽可能让利于顾客的前提下．每千克梭子蟹应该定价为多少元？
七、（本题12分）
24．（12分）如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，//AD BC ，2AD BC =，90ABD ∠=︒，E 为
AD 的中点，连接BE ．
（1）求证：四边形BCDE 为菱形；
（2）连接AC ，若AC 平分BAD ∠，2BC =，求AC 的长．
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，四边形ABCD 为正方形，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，且4OA =，2OB =，反比例函数(0)k
y k x
=≠在第一象限的图象经过正方形的顶点C ．
（1）求点C 的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将正方形ABCD 沿x 轴向右平移m 个单位长度得到正方形A B C D ''''，点A '恰好落在反比例函数的图象上，求m 值．
（3）在（2）的条件下，坐标系内是否存在点P ，使以点O ，A '，B '，P 为顶点的四边形为平行四边形，
若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题备选答案中只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．【解答】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的长方体的顶面的两边相切高度相同． 只有C 满足这两点． 故选：C ．
2．【解答】解：根据频率和概率的关系可知，投掷次数逐渐增加，P 稳定在0.5附近正确， 故选：D ．
3．【解答】解：A 、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B 、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形；
C 、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；
D 、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形．
故选：B ．
4．【解答】解：方程有两个实数根，
∴根的判别式△241640b ac k =-=-，
即4k ，且0k ≠． 故选：D ． 5．【解答】解： AB y ⊥轴， 1
||2
OAB S k ∆∴=
， ∴
1
||32k =， 0k <，
6k ∴=-．
故选：D ．
6．【解答】解：将长方形纸片折叠，A 落在BC 上的F 处，
BA BF ∴=，
折痕为BE ，沿EF 剪下，
∴四边形ABFE 为矩形，
∴四边形ABEF为正方形．
故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．故选：A．
7．【解答】解：观察图形可得EFG
∆中，直角边的比为
1
2 FG
EF
=，
观察各选项，
51
2
25
EG
DG
==，只有D选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故选：D．
8．【解答】解：如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为(1,1)
-，∴点C的横坐标为413
-=，
点C的纵坐标为415
+=，
∴点C的坐标为(3,5)．
故选：D．
9．【解答】解：A、反比例函数
2
y
x
=，所过的点的横纵坐标之积2
=，此结论正确，故此选项不符合题
意；
B、反比例函数
2
y
x
=，在每一象限内y随x的增大而减小，此结论错误，故此选项符合题意；
C、反比例函数
2
y
x
=，图象在第一、三象限内，此结论正确，故此选项不合题意；
D、反比例函数
2
y
x
=，当1
x>时图象在第一象限，y随x的增大而减小，故1
x>时02
y
<<；
故选：B．
10．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
2
560(1)315
x
-=，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．【解答】解：290
x-=即(3)(3)0
x x
+-=，所以3
x=或3
x=-．故答案为：3
x=±．
12．【解答】解：画树状图如下：
随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于5的占4种，
所有两次摸出的小球标号的和等于5的概率为
41 164
=，
故答案为：1
4
．
13．【解答】解：210240
x x
-+=，
解得6
x=或4
x=．
所以菱形的面积为：(64)212
⨯÷=．
故答案为：12．
14．【解答】解：四边形DEFG是矩形，//
GD EF
∴，GD FE
=，
AGD ABC
∴∆∆
∽，
∴GD AD
BC AC
=，
D是AC中点，
1
2
AD AC
∴=，
∴
1
2
GD
BF GD EC
=
++
，
∴
1 4.522
GD
GD
=
++
，
解得： 6.5
GD=．
故答案为：6.5．
15．【解答】解：设A的坐标是(,)
a b-，则12
ab=，5
OA=，
2225
a b
∴+=，
222
()2252449
a b a b ab
∴+=++=+=，
a b
+>，
7
a b
∴+=，
故AOB
∆的周长是：7512
+=．
故答案是：12．
16．【解答】解：设ABP
∆中AB边上的高是h．
1
3
PAB ABCD S S ∆=矩形，
∴
11
23AB h AB AD ⋅=⋅， 2
23
h AD ∴=
=， ∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连
接BE ，则BE 的长就是所求的最短距离． 在Rt ABE ∆中，
5AB =，224AE =+=，
22225441BE AB AE ∴=+=+=， 即PA PB +的最小值为41． 故答案为：41．
三、解答题（17题6分，18题8分，19题8分，共22分） 17．【解答】解：2(21)(32)7x x x -=+-， 22441327x x x x -+=+-， 268x x -=-，
2(3)1x -=， 31x -=±， 12x =，24x =．
18．【解答】解：（1）由主视图可得，俯视图中最右边一正方形处有3个小立方体，中间一列两个正方形处各有1个小立方体， 3a ∴=，1b =，1c =；
（2）若d ，e ，f 处，有一处为2个小立方体，其余两处各有1个小立方体，则该几何体最少有9个小立方体搭成；
若d ，e ，f 处，各有2个小立方体，则该几何体最多有11个小立方体搭成， （3）当2d =，1e =，2f =时，几何体的左视图为：
．
19．【解答】解：（1）画树状图得：
共有6种情况，其中投放正确的有1种情况
∴垃圾投放正确的概率16
=； （2）“厨余垃圾”投放正确的概率为
40024001001003=++． 四、（20题、21题各8分，共16分）
20．【解答】解：当4为腰长时，将4x =代入260x x n -+=，得：24640n -⨯+=， 解得：8n =，
当8n =时，原方程为2680x x -+=，
解得：12x =，24x =，
244+>，
8n ∴=符合题意；
当4为底边长时，关于x 的方程260x x n -+=有两个相等的实数根， ∴△2(6)410n =--⨯⨯=，
解得：9n =，
当9n =时，原方程为2690x x -+=，
解得：123x x ==，
334+>，
9n ∴=符合题意，
n ∴的值为8或9．
21．【解答】解：（1）证明：CD CE =，
CED CDE ∴∠=∠．
CED EAC ACE ∠=∠+∠，CDE BAD B ∠=∠+∠，
又DAC B ∠=∠，
ACE BAD ∴∠=∠，
DAC B ∠=∠．
ABD CAE ∴∆∆∽．
（2）ABD CAE ∆∆∽， ∴AB BD AC AE =， 即966AE =， 解得，4AE =．
五、（本题10分）
22．【解答】证明：（1）//AD BC ，
180ABC BAD ∴∠+∠=︒，180ADC BCD ∠+∠=︒，
ABC ADC ∠=∠，
BAD BCD ∴∠=∠，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
12OA OC AC ∴==，12
OB OD BD ==， OA OB =，
AC BD ∴=，
∴四边形ABCD 是矩形；
（2）如图，连接OP ，
12AD =，5AB =，
221442513BD AB AD ∴=+=+=，
132BO OD AO CO ∴====
，
111251544
AOD ABCD S S ∆==⨯⨯=矩形， 15AOP POD S S ∆∆∴+=， ∴113113152222
FP EP ⨯⨯+⨯⨯=， 6013PE PF ∴+=
． 六、（本题10分）
23．【解答】解：（1）设2019年1月10日．该超市梭子蟹的价格为每千克x 元， 根据题意，得：(140%)56x +=，
解得40x =，
答：2019年1月10日．该超市梭子蟹的价格为每千克40元；
（2）设每千克梭子蟹降价y 元，
根据题意，得：(5646)(10020)1120y y --+=，
解得2y =或3y =，
尽可能让利于顾客，
3y ∴=，
5653y ∴-=，
答：每千克梭子蟹应该定价为53元．
七、（本题12分）
24．【解答】（1）证明：
2AD BC =，E 为AD 的中点，
DE BC ∴=，
//AD BC ，
∴四边形BCDE 是平行四边形， 90ABD ∠=︒，AE DE =，
BE DE ∴=，
∴四边形BCDE 是菱形．
（2）解：连接AC ．
//AD BC ，AC 平分BAD ∠，
BAC DAC BCA ∴∠=∠=∠，
2AB BC ∴==，
24AD BC ==，
1sin 2
ADB ∴∠=， 30ADB ∴∠=︒，
30DAC ∴∠=︒，60ADC ∠=︒， 90ACD ∴∠=︒，
在Rt ACD ∆中，4AD =， 2CD ∴=，23AC =．
八、（本题12分）
25．【解答】解：（1）如图1，过点C 作CE x ⊥轴于点E ， 则90BEC ∠=︒，
四边形ABCD 为正方形， AB BC ∴=，90ABC ∠=︒， 90OBA EBC ∴∠+∠=︒，
90OBA OAB ∠+∠=︒，
OAB EBC ∴∠=∠，
在AOB ∆和BEC ∆中，
OAB EBC AOB BEC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AOB BEC AAS ∴∆≅∆， 4BE OA ∴==，2CE OB ==， 6OE OB BE ∴=+=，
∴点C 的坐标为(6,2)．
将点C 的坐标为(6,2)代入k y x
=，得12k =，
∴反比例函数的关系式为
12
y
x =；
（2）4
OA=，
∴点A'纵坐标为4，
∴点A'横坐标为12
3
4
=，
，3
m
∴=；
（3）如图2，当四边形POB A''为平行四边形时，点P的坐标为(2,4)
-，
当四边形AOB P
'''为平行四边形时，点P'的坐标为(2,4)
-，
当四边形AOP B
''''为平行四边形时，点P''的坐标为(2,4)
-，
综上所述：以点O，A'，B'，P为顶点的四边形为平行四边形时，点P坐标为(2,4)
-或(2,4)
-或(8,4)．。