学案7：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
问题导学
一、向量数乘的基本运算
活动与探究1
计算：(1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭
⎫a ＋13b ； (2)12⎣
⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a ．
迁移与应用
化简：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )；
(2)16
[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]．
名师点津
向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
二、向量的共线问题
活动与探究2
已知向量e 1和e 2不共线．
(1)若AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1＋8e 2，CD ＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．
迁移与应用
1．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝k e1＋e2．若a与b是共线向量，求实数k的值．
2．如图，已知AD＝3AB，DE＝3BC，试判断AC与AE是否共线．
名师点津
共线向量定理是判断两个向量是否共线的依据，即对于非零向量a，b，a∥b是否成立，关键是能否确定唯一的实数λ，使b＝λa．而对于三点共线问题可转化为两个向量共线问题，再依据定理进行解决：
要证A，B，C三点共线，只需证AB＝λAC(λ∈R)或AB＝λBC(λ∈R)；要证AB∥CD，只需证AB＝λCD(λ∈R)．
三、向量的线性运算
活动与探究3
如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC =BA ，在OB 上取点D ，使DB =
13
OB ，DC 与OA 交点为E ，设OA =a ，OB =b ，用a ，b 表示向量OC ，DC ．
迁移与应用
在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF 等于( )
A.14a ＋12
b B.23a ＋13b C.12a ＋14
b D.13a ＋23
b 名师点津
用已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解．
当堂检测
1．下列计算正确的有( )
①(－7)×6a ＝－42a ；
②a －2b ＋ (2a ＋2b )＝3a ；
③a ＋b －(a ＋b )＝0．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2．已知λ，μ∈R ，则下面关系正确的是( )
A ．λa 与a 同向
B ．0·a ＝0
C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μ a
D ．若b ＝λa ，则|b |＝λ|a |
3．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
4．已知e是任一向量，a＝－2e，b＝5e，用a表示b，其结果是__________．
5．点C在直线AB上，且AC＝3AB，则BC＝__________AB．
参考答案
问题导学
活动与探究1思路分析：可综合运用向量数乘的运算律求解．
解：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a；
(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34
b ＝0； (3)原式＝10a －8b ＋2
c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c ．
迁移与应用
解：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b ； (2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16
(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b ． 活动与探究2 思路分析：对于(1)，欲证明A ，B ，D 三点共线，只需证明存在λ，使BD ＝λAB 即可．对于(2)，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则一定存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)． 解：(1)∵AB ＝e 1＋e 2，BD ＝BC ＋CD ＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB ， ∴AB ，BD 共线，且有公共点B ，
∴A ，B ，D 共线．
(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，
∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，
则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2．由于e 1与e 2不共线，
只能有0,10,k k λλ-=⎧⎨-=⎩
则k ＝±1． 迁移与应用
1．解：∵ a 与b 是共线向量，
∴a ＝λb ，∴ 2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2，
∴2,1,k λλ=⎧⎨=-⎩
∴k ＝－2． 2．解：∵AE ＝AD ＋DE ＝3AB ＋3BC
＝3(AB ＋BC )＝3AC ，
∴AC 与AE 共线．
活动与探究3 思路分析：解题的关键是建立OC ，DC 与a ，b 的联系，为此需要利用向量加、减、数乘运算．
解：∵AC ＝BA ，∴A 是BC 的中点，
∴OA ＝12
(OB ＋OC )，∴OC ＝2OA －OB ＝2a －b ． ∴DC ＝OC －OD ＝OC －23OB ＝2a －b －23b ＝2a －53
b ． 迁移与应用
【答案】B
【解析】易知△DFE ∽△BAE ，
又∵E 是OD 中点，
∴DF ＝13
DC ，AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13DC ＝(AO ＋OD )＋13
(OC －OD ) ＝12AC ＋12BD ＋131122AC BD ⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝23AC ＋13BD ＝23a ＋13
b ． 当堂检测
1．【答案】C
【解析】a ＋b －(a ＋b )＝0，故③错误，①②正确．
2．【答案】C
【解析】当a ≠0，λ＜0时，λa 与a 反向，且λ|a |＜0，则A ，D 错误．
又∵0·a 的结果为0，则B 错误．由运算律知C 正确．
3．【答案】A
【解析】∵BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋4b ＝2AB ，且有一个公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．
4．【答案】b ＝－52
a 【解析】由a ＝－2e ，得e ＝－12a ，代入
b ＝5e ，可得b ＝－52
a ． 5．【答案】2
【解析】BC ＝AC －AB ＝3AB －AB ＝2AB ．。