2017-2018学年四川省泸州市老窖天府中学高一(上)期中数学试卷(a卷)

2017-2018学年四川省泸州市老窖天府中学高一（上）期中数学
试卷（A卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知N表示自然数集，则下列说法正确的是（）
A．∈N B．0∈N C．2∉N D．1∉N
2．（5分）平面直角坐标系中，已知角α=361°，则角α的终边落于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）下面给出的几个函数中，是幂函数的为（）
A．y=B．y=10x C．y=2x﹣3 D．y=
4．（5分）已知全集U为整数集，集合P={﹣2，﹣1，1，2}，集合Q={1，2}，
则图中阴影部分表示的集合为（）
A．{﹣1，﹣2}B．{1，2}C．{﹣2，1}D．{﹣1，2}
5．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（2））=（）
A．3 B．1 C．﹣1 D．0
6．（5分）函数f（x）=3x+x3﹣2的零点所在区间是（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
7．（5分）平面直角坐标系中，已知角α是第三象限角，则=（）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
8．（5分）函数f（x）=3+log a x（其中a＞0且a≠1）的图象恒过定点（）A．（1，0） B．（0，4） C．（1，3） D．（4，0）
9．（5分）设a=（）3，b=3，c=log3，则a，b，c的大小关系应该是（）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c
10．（5分）已知函数f（x）=，则此函数的图象大致是（）
A．B．C．
D．
11．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（≈1.73）
A．6平方米B．9平方米C．12平方米D．15平方米
12．（5分）已知m∈R，函数f（x）=g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．C． D．（1，3）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα=．
14．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，做出如下规定：每位职工每月用水不
超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米5元收费；现已知某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水量为立方米．
15．（5分）函数y=log（﹣x2+2x+3）的单调递减区间为．
16．（5分）已知e=2.718，对于函数f（x）=e x定义域中任意的x1，x2（其中x1≠x2），有如下四个结论：
①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；
③；④f（）．上述结论中正确的有．（写出所有你认为正确的结论番号）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，5 }，集合B={3，4，5 }．（1）求∁U（A∪B）；
（2）写出集合A的所有子集．
18．（12分）（1）计算：sin30﹣tan45°；
（2）计算：（lg﹣lg25）•log25•log54．
19．（12分）判定并证明下列函数的奇偶性．
（1）f（x）=2x+2﹣x；
（2）f（x）=log2，其中x∈（﹣1，1）．
20．（12分）已知函数f（x）=ln（1﹣x）的定义域为M，函数g（x）=x2﹣3x+2，（其中1≤x≤3）的值域为N．
（1）求M∩N；（结果请用区间表示）
（2）设集合S={x|x≤a}，若S⊇（M∪N），求a的取值范围．（结果请用区间表示）
21．（12分）已知函数，其中x∈[2，5]．
（1）判定并证明函数f（x）的单调性；
（2）求函数f（x）的最大值与最小值．
22．（12分）已知函数（k∈R），且满足f（﹣1）=f（1）．（1）求k的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线没有交点，求a的取值范围；
（3）若函数，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h （x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
2017-2018学年四川省泸州市老窖天府中学高一（上）期
中数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知N表示自然数集，则下列说法正确的是（）
A．∈N B．0∈N C．2∉N D．1∉N
【分析】利用自然数元素的性质直接求解．
【解答】解：在A中，N，故A错误；
在B中，0∈N，故B正确；
在C中，2∈N，故C错误；
在D中，1∈N，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．（5分）平面直角坐标系中，已知角α=361°，则角α的终边落于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由终边相同的角的集合即可得解．
【解答】解：已知角α=361°，则1°是与角α终边相同的角，
则角α的终边落于第一象限．
故选：A．
【点评】本题主要考查了象限角的概念及应用，属于基础题．
3．（5分）下面给出的几个函数中，是幂函数的为（）
A．y=B．y=10x C．y=2x﹣3 D．y=
【分析】根据幂函数的定义判断即可．
【解答】解：幂函数的解析式是：y=xα，
故选：D．
【点评】本题考查了幂函数的定义，是一道基础题．
4．（5分）已知全集U为整数集，集合P={﹣2，﹣1，1，2}，集合Q={1，2}，
则图中阴影部分表示的集合为（）
A．{﹣1，﹣2}B．{1，2}C．{﹣2，1}D．{﹣1，2}
【分析】先求出C U Q={x∈Z|x≠1且x≠2}，图中阴影部分表示的集合为：P∩（C U Q），由此能求出结果．
【解答】解：∵全集U为整数集，集合P={﹣2，﹣1，1，2}，
集合Q={1，2}，
∴C U Q={x∈Z|x≠1且x≠2}，
∴图中阴影部分表示的集合为：
P∩（C U Q）={﹣2，﹣1}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的求法，考查交集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（2））=（）
A．3 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】推导出f（2）=﹣2，从而f（f（2））=f（﹣2），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（2）=﹣2，
f（f（2））=f（﹣2）=﹣2+1=﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
6．（5分）函数f（x）=3x+x3﹣2的零点所在区间是（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【分析】由题意易知函数f（x）=3x+x3﹣2在定义域上是增函数，再由函数零点的判定定理求解．
【解答】解：易知函数f（x）=3x+x3﹣2在定义域上是增函数，也是连续函数，f（0）=1+0﹣2＜0，
f（1）=3+1﹣2＞0；
故函数f（x）=3x+x3﹣2的零点所在的区间为（0，1）；
故选：A．
【点评】本题考查了函数的零点的判断，属于基础题．
7．（5分）平面直角坐标系中，已知角α是第三象限角，则=（）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
【分析】由角α是第三象限角，可判断三角函数值的符号，从而计算可得答案．【解答】解：∵角α是第三象限角，
∴==0．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数值的符号，是基础题．
8．（5分）函数f（x）=3+log a x（其中a＞0且a≠1）的图象恒过定点（）
A．（1，0） B．（0，4） C．（1，3） D．（4，0）
【分析】根据log a1=0，求出函数的图象恒过定点的坐标即可．
【解答】解：令x=1，解得：f（1）=3，
故函数恒过（1，3），
故选：C．
【点评】本题考查了对数函数的性质，是一道基础题．
9．（5分）设a=（）3，b=3，c=log3，则a，b，c的大小关系应该是（）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a∈（0，1），b＞1，c＜0．
∴b＞a＞c．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（5分）已知函数f（x）=，则此函数的图象大致是（）
A．B．C．
D．
【分析】利用函数的定义域排除选项，x小于0时，函数的值域，再排除选项，特殊点点的位置判断选项即可．
【解答】解：函数f（x）=的定义域为：{x|x∈R，x≠0}．排除选项A；
当x＜0时，3x﹣1＜0，函数f（x）=＞0，排除选项B；
当x=4时，函数f（4）==，选项D不满足题意，
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的定义域、值域、特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．
11．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（≈1.73）
A．6平方米B．9平方米C．12平方米D．15平方米
【分析】在Rt△AOD中，由题意OA=4，∠DAO=，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．
【解答】解：如图，由题意可得：∠AOB=，OA=4，
在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=，
可得：矢=4﹣2=2，
由AD=AO•sin=4×=2，
可得：弦=2AD=2×2=4，
所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（4×2+22）=4≈9平方米．
故选：B．
【点评】本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知m∈R，函数f（x）=g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．C． D．（1，3）
【分析】由于函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1．可得当
g（x）=（x﹣1）2+2m﹣2＜1，即（x﹣1）2＜3﹣2m时，y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x﹣1）2+4m﹣3|．当g（x）=（x﹣1）2+2m﹣2＞1，即（x﹣1）2＞3﹣2m时，则y=f（g（x））=log2[（x﹣1）2+2m﹣3]．再对m分类讨论，利用直线y=m与函数
y=f（g（x））图象的交点必须是6个即可得出．
【解答】解：∵函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1．
∴当g（x）=（x﹣1）2+2m﹣2＜1时，即（x﹣1）2＜3﹣2m时，
则y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x﹣1）2+4m﹣3|．
当g（x）=（x﹣1）2+2m﹣2＞1时，即（x﹣1）2＞3﹣2m时，则y=f（g（x））=log2[（x﹣1）2+2m﹣3]．
①当3﹣2m≤0即m≥时，y=m只与y=f（g（x））=log2[（x﹣1）2+2m﹣3]的图象有两个交点，不满足题意，应该舍去．
②当m＜时，y=m与y=f（g（x））=log2[（x﹣1）2+2m﹣3]的图象有两个交点，需要直线y=m与函数
y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x﹣1）2+4m﹣3|的图象有四个交点时才满足题意．
∴0＜m＜3﹣4m，又m＜，解得0＜m＜．
综上可得：m的取值范围是0＜m＜．
故选：A．
【点评】本题考查了分段函数的图象与性质、含绝对值函数的图象、对数函数的图象、函数图象的交点的与函数零点的关系，考查了推理能力与计算能力、数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα=．
【分析】由三角函数的定义可直接求得sinα．
【解答】解：∵知角a的终边经过点P（﹣3，4），
∴sinα==．
故答案为：．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
14．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，做出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米5元收费；现已知某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水量为15立方米．
【分析】设该职工每个月实际用水x立方米，当0≤x≤10时，月缴水费y=3x，当x＞10时，月缴水费y=30+（x﹣10）×5=5x﹣20，由此根据某职工某月缴水费55元，能求出该职工这个月实际用水量．
【解答】解：设该职工每个月实际用水x立方米，
当0≤x≤10时，月缴水费y=3x，
当x＞10时，月缴水费y=30+（x﹣10）×5=5x﹣20，
∵某职工某月缴水费55元，∴55=5x﹣20，
解得x=15．
故答案为：15．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
15．（5分）函数y=log（﹣x2+2x+3）的单调递减区间为（﹣1，1] ．【分析】确定函数的定义域，设t（x）=﹣x2+2x+3，对称轴x=1，根据复合函数
的单调性判断即可．
【解答】解：∵y=log（﹣x2+2x+3），
∴﹣x2+2x+3＞0，
∴﹣1＜x＜3，
设t（x）=﹣x2+2x+3，对称轴x=1，
∵＜1
∴根据复合函数的单调性判断：
函数y=log（﹣x2+2x+3）单调增区间为（﹣1，1]．
故答案为（﹣1，1]．
【点评】本题考查了函数的性质，复合函数的单调性的求解，属于中档题，关键利用好定义域．
16．（5分）已知e=2.718，对于函数f（x）=e x定义域中任意的x1，x2（其中x1≠x2），有如下四个结论：
①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；
③；④f（）．
上述结论中正确的有①③④．（写出所有你认为正确的结论番号）
【分析】利用指数函数的性质、运算法则直接求解．
【解答】解：由e=2.718，对于函数f（x）=e x定义域中任意的x1，x2（其中x1
≠x2），知：
在①中，f（x1+x2）===f（x1）•f（x2），故①正确；
在②中，f（x1•x2）=≠=f（x1）+f（x2），故②错误；
在③中，∵函数f（x）=e x是增函数，∴，故③正确；
在④中，f（）=＜=，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数的性质、运算法则的合理运用．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，5 }，集合B={3，4，5 }．（1）求∁U（A∪B）；
（2）写出集合A的所有子集．
【分析】（1）由集合的并集和补集的定义，即可得到所求集合；
（2）由集合的子集的定义，即可得到所求集合．
【解答】解：（1）全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，5 }，集合B={3，4，5 }，可得∁U（A∪B）=∁U{2，3，4，5}={1}；
（2）集合A的所有子集为∅，{2 }，{ 5 }，{2，5 }，一共四个．
【点评】本题考查集合的混合运算，同时考查集合的子集，运用定义法解题是关键，属于基础题．
18．（12分）（1）计算：sin30﹣tan45°；
（2）计算：（lg﹣lg25）•log25•log54．
【分析】（1）直接由特殊角的三角函数值计算得答案；
（2）直接由对数的运算性质计算得答案．
【解答】解：（1）sin30﹣tan45°=；
（2）（lg﹣lg25）•log25•log54=
=﹣（lg4+lg25）×2=﹣2×2=﹣4．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，考查了对数的运算性质，是基础题．
19．（12分）判定并证明下列函数的奇偶性．
（1）f（x）=2x+2﹣x；
（2）f（x）=log2，其中x∈（﹣1，1）．
【分析】（1）f（x）=2x+2﹣x为偶函数，运用定义法可得；
（2）f（x）=log2，x∈（﹣1，1）为奇函数，运用定义即可得到结论．
【解答】解：（1）f（x）=2x+2﹣x为偶函数，
证明：因为x∈R，定义域关于原点对称．
f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），
所以函数f（x）在R上是偶函数．
（2）f（x）=log2，x∈（﹣1，1）为奇函数，
证明：因为x∈（﹣1，1），定义域关于原点对称．
，
所以函数f（x）在（﹣1，1）上是奇函数．
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明，运用定义法解题是关键，属于基础题．
20．（12分）已知函数f（x）=ln（1﹣x）的定义域为M，函数g（x）=x2﹣3x+2，（其中1≤x≤3）的值域为N．
（1）求M∩N；（结果请用区间表示）
（2）设集合S={x|x≤a}，若S⊇（M∪N），求a的取值范围．（结果请用区间表示）
【分析】（1）由函数f（x）=ln（1﹣x）的定义域求出集合M，由函数g（x）=x2﹣3x+2，（其中1≤x≤3）的值域求出集合N．由此能求出M∩N．
（2）由集合S={x|x≤a}，S⊇（M∪N），M∪N=（﹣∞，2]，能求出a的取值范
【解答】解：（1）∵函数f（x）=ln（1﹣x）的定义域为M，函数g（x）=x2﹣3x+2，（其中1≤x≤3）的值域为N．
∴M={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，
N={y|y=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣，1≤x≤3}={y|﹣≤y≤2}，
∴M∩N={x|﹣＜1}=[﹣，1）．…6分
（2）∵集合S={x|x≤a}，若S⊇（M∪N），M∪N=（﹣∞，2]
∴a≥2，
∴a的取值范围a∈[2，+∞）．…12分．
【点评】本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、并集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
21．（12分）已知函数，其中x∈[2，5]．
（1）判定并证明函数f（x）的单调性；
（2）求函数f（x）的最大值与最小值．
【分析】（1）直接利用函数的单调性的定义证明即可．
（2）利用函数的单调性，直接求解函数的最值即可．
【解答】解：（1）函数f（x）是单调减函数，证明如下：在区间[2，5]内任意取变量x1＜x2
则
因为：2≤x1＜x2≤5
所以：，即f（x1）＞f（x2），
所以：函数f（x）是单调减函数．
（2）因为函数f（x）是单调减函数，
所以：，f（x）max=f（2）=2．
【点评】本题考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．
22．（12分）已知函数（k∈R），且满足f（﹣1）=f（1）．（1）求k的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线没有交点，求a的取值范围；
（3）若函数，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h （x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据f（﹣1）=f（1），求出k的值即可；
（2）令，问题转化为函数y=g（x）的图象与直线y=a无交点，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（3）根据二次函数的性质通过讨论m的范围，结合函数的最小值，求出m的值即可．
【解答】解：（1）∵f（﹣1）=f（1），
即∴…5分（2）由题意知方程即方程无解，
令，则函数y=g（x）的图象与直线y=a无交点
∵
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则，
∴．∴，
∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是单调减函数．
∵，∴．
∴a的取值范围是（﹣∞，0]．…9分
注意：如果从复合函数角度分析出单调性，给全分．…9分
（3）由题意h（x）=4x+m×2x，x∈[0，log23]，
令t=2x∈[1，3]，φ（t）=t2+mt，t∈[1，3]，
∵开口向上，对称轴．
当，，m=﹣1
当，，m=0（舍去）
当，即m＜﹣6，φ（t）min=φ（3）=9+3m=0，m=﹣3（舍去）
∴存在m=﹣1得h（x）最小值为0…12分
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想以及分类讨论思想，换元思想，是一道中档题．。