线性规划.st
线性规划模型
线性规划模型线性规划的英文全称为：Linear Programming ，可简称为LP ．一、线性规划所属学科线性规划是“运筹学”中应用最广泛、理论最成熟的一个分支．0-1⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩线性规划非线性规划静态规划整数规划规划论规划多目标规划动态规划运筹学对策论决策论排队论图论存储论模型论 二、线性规划发展简史早在19世纪法国数学家傅里叶关于线性不等式的研究表明，他对线性规划已有所了解，还提出了单纯形法求解线性逼近中的线性规划20世纪三是年代末，苏联数学家康托洛维奇开始研究生产组织中的线性规划问题，并写出了线性规划应用于工业生产问题的经典著作《生产组织与计划中的数学方法》．1947年美国数学家丹奇格提出了单纯形(Simplex)方法及有关理论，为线性规划奠定了理论基础．五十年代，线性规划成为经济学家分析经济问题的重要工具．随着计算机的迅猛发展，线性规划现被广泛应用于工业、农业、商业等各个领域．三、用线性规划方法解决实际问题的两大特点1、全局性——从全局出发，将全局目标作为追求目标；2、定量性——通过建立数学模型，对实际问题进行定量分析，而不是只做定性分析． 数学模型指：将实际问题用一系列数学表达式(函数、方程、不等式等)表示出来，称这一系列数学表达式为该实际问题的数学模型．四、线性规划方法解决的两类问题1、任务一定，如何安排，可使人、财、物最省；2、人、财、物一定，如何安排，可使任务完成量最多．五、线性规划可解决以下几方面的问题１、运输问题：某产品有若干个产地、若干个销地，如何运输，使总运费最省；2、生产组织问题：⎩⎨⎧产，使成本最低产值一定，如何安排生最高或利润产，使产值资源一定，如何安排生)(3、配料问题：如何搭配各种原料，既符合质量(营养)要求，又使成本最低；4、投资问题：资金一定，投向谁、投多少、期限多长，使若干年后本利和最高；5、库存问题：在仓库容量有限情况下，如何确定库存物资的品种、数量、期限，使库存效益最佳；6、合理播种问题：在土地资源有限的情况下，种什么、种多少，使效益最高；……第一节 线性规划模型的基本概念一、建立模型的方法1 根据影响所要达到的目的的因素找到决策变量2 由决策变量和所要到的目的之间的函数关系确定的目标函数3 由决策变量所受到的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件若模型满足：1 目标函数是线性函数 2 约束条件是线性等式或不等式；则称为线性规划模型二、常用模型例1： 生产计划莫工厂生产I II 两种产品需要A 、B 两种原料，问怎样生产获利最大？1） 决策变量：设12,x x 分别生产I II 的数量2） 目标函数：获利最大 12max 24x x +3） 约束条件：1228x x +≤ 设备约束12416,412x x ≤≤ 原料约束12,0x x ≥ 基本约束则我们可以建立模型12121212max 24.28416412,0z x x s t x x x x x x =++≤≤≤≥例2： 配料问题某养鸡场有一万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养，每天每只鸡平均吃混合饲料一斤，其中动物饲料不少于1/5，动物饲料每斤0.25元，谷物饲料每斤0.2元，饲料公司每周至多能供应谷物饲料5万斤，问怎样混合饲料才能使每周成本最低？解：1）决策变量 设动物饲料1x 斤，谷物饲料2x 斤。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学方法，用于在一定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。
线性规划常被应用于经济、生产、管理等领域，旨在优化资源的利用，实现目标的最大化或最小化。
本文将对线性规划的基本概念、问题建模、解决方法以及应用领域进行总结。
一、基本概念1.1 目标函数目标函数是线性规划的核心部分，通常用来衡量系统的效益。
它是一个关于决策变量的线性函数，其形式可以是最大化或最小化。
1.2 约束条件约束条件用来限制决策变量的取值范围，确保问题的解满足实际情况。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，也可以包含多个条件。
1.3 决策变量决策变量是问题中的未知数，决策者需要根据实际情况确定其取值范围，以达到最优解。
二、问题建模2.1 目标函数的确定根据实际问题确定目标函数，并明确最大化或最小化的目标。
2.2 约束条件的设定根据问题的实际情况，将约束条件转化为线性等式或不等式，并将其表示成一组数学表达式。
2.3 决策变量的确定根据问题的要求，确定决策变量的取值范围，可用数学符号表示。
三、解决方法3.1 图形法图形法是线性规划中最直观的解法，适用于二维或三维线性规划问题。
通过绘制等式或不等式的图形，找出目标函数的最优解。
3.2 单纯形法单纯形法是一种高效的解法，适用于多维线性规划问题。
通过构建初始可行解，通过迭代计算，逐步接近最优解。
3.3 整数规划整数规划是线性规划的扩展，要求决策变量取值为整数。
其求解方法包括分支定界法、割平面法等。
四、应用领域4.1 生产与运作管理线性规划可用于生产计划、物流优化、资源调度等问题，通过最优化资源利用，降低成本、提高效益。
4.2 金融领域线性规划被广泛应用于证券组合优化、资产配置、风险管理等领域，帮助投资者做出最佳投资决策。
4.3 能源与环境管理线性规划用于能源生产、污染物排放控制等问题，通过均衡能源利用，降低环境影响。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下最大化或最小化线性目标函数。
它在各个领域中都有广泛的应用，包括经济学、管理科学、工程等。
本文将对线性规划的基本概念、模型构建、解法以及应用进行详细总结。
二、基本概念1. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
2. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
3. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
4. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性等式或不等式，称为约束条件。
三、模型构建1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1, x2, ..., xn表示。
2. 目标函数：根据问题的要求，构建一个线性函数作为目标函数。
3. 约束条件：根据问题的限制条件，构建一系列线性等式或不等式作为约束条件。
四、解法1. 图形法：适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的图形，找出目标函数的最优解。
2. 单纯形法：适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，找出最优解。
3. 整数规划法：适用于决策变量需要为整数的线性规划问题，通过限制变量的取值范围，找出最优解。
4. 网络流法：适用于网络优化问题，通过建立网络模型，找出最优解。
五、应用1. 生产计划：线性规划可以帮助企业制定最优的生产计划，以最小化成本或最大化利润。
2. 资源分配：线性规划可以帮助政府或组织合理分配资源，以满足各方面的需求。
3. 运输问题：线性规划可以帮助解决物流运输问题，以最小化运输成本。
4. 投资组合：线性规划可以帮助投资者选择最优的投资组合，以最大化收益或最小化风险。
六、案例分析以生产计划为例，假设某公司有两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为15元。
公司有两个工厂，分别生产产品A和产品B。
工厂1每天生产产品A需要耗费2小时，生产产品B需要耗费1小时；工厂2每天生产产品A需要耗费1小时，生产产品B需要耗费3小时。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将对线性规划的相关知识点进行总结。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用Z表示。
2. 约束条件：线性规划必须满足一系列线性约束条件，如不等式约束和等式约束。
约束条件用来限制决策变量的取值范围。
3. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值会影响目标函数的值。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过转换为标准形式来求解。
标准形式的线性规划问题具有以下特点：1. 目标函数为最小化问题。
2. 所有约束条件均为等式约束。
3. 决策变量为非负数。
四、线性规划的解法线性规划有多种求解方法，下面介绍两种常用的方法：1. 图形法：当问题只有两个决策变量时，可以使用图形法求解。
首先绘制出目标函数和约束条件所构成的图形，然后通过图形的分析找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种迭代求解方法，适用于多个决策变量的线性规划问题。
它通过不断迭代改善目标函数的值，直到找到最优解为止。
五、常见应用线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配，以达到最大化利润或最小化成本的目标。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决货物运输的最优路径和最优运输量的问题，以降低物流成本。
3. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最优分配，如人力资源、物资资源等，以提高资源利用效率。
4. 投资组合：线性规划可以用于确定投资组合中各项投资的最优权重，以最大化投资回报或最小化风险。
六、总结线性规划是一种常用的数学优化方法，通过最大化或最小化线性目标函数，在一系列线性约束条件下求解最优解。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结
1.线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x，y 的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.解线性规划实际问题的步骤：
（1）将数据列成表格；
（2）列出约束条件与目标函数；
（3）根据求最值方法：①画：画可行域；
②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；?
（4）验证.
4.两类主要的目标函数的几何意义:
（1）-----直线的截距；
（2）-----两点的距离或圆的半径；
（3）-----直线的斜率。
线性规划的求解算法
线性规划的求解算法 线性规划（linear programming ）是运筹学中的一个重要分支，在现代工业、农业、商业、交通运输、国防军事及经济管理等诸多领域都有着广泛重要的应用。
在数学系的竞赛数学建模中，也多次应用线性规划来建模从而解决实际问题。
在这里介绍单纯性法和对偶单纯形法两种求解线性规划的方法。
一、单纯形法算法主体思想标准线性规划简记如下：LP-max LP-mins.t {0Ax b x =≥ s.t {0Ax b x =≥ 这里只以LP-min 为例。
1、算法思想单纯形法是在已知一个可行基的前提下采用的解决线性规划的算法。
步骤如下：（1）输入初始矩阵：01020,111121,112,1n n m m m n a a a a a a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦K L M M O M K ，并化为典则形式。
用R （i ）记录单位矩阵I 中元素1的位置。
（2）求{}0min |0,1j j a j n t >≤≤@若t 不存在，则得到最优解；(i),1R i n x a += （i=1,2,...m ）.其他j x =0，停。
否则，转到（3）。
（3）求,1min{|0,1}i n it it a a i m a λ+>≤≤@。
若λ不存在，则LP-min 无下届，所以无最优解，停；否则，求,1min (i)|,0,1(s)i n it it a R a i m R a λ+⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭@，转到（4）。
（4）sjsj sta a a ⇐，（j=1，2....n+1） ij ij sj it a a a a ⇐-,(i=0,1,2...m;i ≠s;j=1,2,....,n+1), (s)t R ⇐,转到（2）.二、对偶单纯形法对偶单纯形法是在已知一个正则基的条件下的求解线性规划的方法。
步骤如下:(1)输入初始矩阵：01020,111121,112,1n n m m m n a a a a a a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦K L M M O M K ，并化为典则形式。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、物流管理等。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、求解方法和应用进行总结。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数的系数称为目标系数，代表了各个决策变量对目标的影响程度。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为等式或者不等式。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（最小）值的解称为最优解。
三、模型建立1. 决策变量：线性规划中，需要确定一组决策变量，代表问题中的可调整参数。
决策变量通常用符号x1, x2, ..., xn表示。
2. 目标函数：根据问题的具体要求，建立目标函数。
例如，最大化利润、最小化成本等。
3. 约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性约束条件。
约束条件通常表示为等式或者不等式。
4. 非负约束：决策变量通常需要满足非负约束条件，即x1, x2, ..., xn≥0。
四、求解方法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图解法进行求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行解区域，最后在可行解区域中找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过不断迭代，找到使目标函数取得最大（最小）值的最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划通常比线性规划更复杂，求解时间更长。
4. 网络流算法：对于某些特殊的线性规划问题，可以使用网络流算法进行求解。
网络流算法利用图论的方法，将问题转化为网络流问题进行求解。
五、应用领域1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳生产计划，使得生产成本最小化或者利润最大化。
2. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最佳分配方案，如人力资源、物资资源等。
高中线性规划
高中线性规划高中线性规划是高中数学课程中的一个重要内容，主要涉及到线性规划的概念、性质、解法以及在实际问题中的应用等方面。
下面将详细介绍高中线性规划的相关知识。
一、线性规划的概念和性质线性规划是数学规划的一种，它是在一组线性约束条件下，寻觅一个目标函数值最大或者最小的解的问题。
线性规划的基本形式可以表示为：Maximize（或者Minimize）目标函数Subject to 线性约束条件线性规划的性质包括可行域的闭性、目标函数的线性性质以及线性约束条件的可加性等。
可行域是指满足所有约束条件的解的集合，它是一个闭集。
目标函数是线性的，即目标函数的系数都是常数。
线性约束条件的可加性是指如果两个解都满足约束条件，那末它们的线性组合也满足约束条件。
二、线性规划的解法线性规划的求解方法主要有图解法、单纯形法和对偶理论等。
其中，图解法适合于二维或者三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的直线或者平面，找到目标函数在可行域上的最优解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断优化目标函数的值，逐步逼近最优解。
对偶理论则是通过线性规划的对偶问题来求解原问题，两者的最优解是相等的。
三、线性规划的应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，如生产计划、资源分配、投资组合等方面。
以下是几个典型的应用案例：1. 生产计划问题：某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，每单位所需生产时间为2小时；产品B每单位利润为150元，每单位所需生产时间为3小时。
假设产品A和B的生产量都是非负数，问如何安排生产才干使总利润最大化？2. 资源分配问题：某公司有两个项目，项目A和项目B，每一个项目需要的资源数量不同。
假设项目A需要2个工程师和3个技术人员，项目B需要3个工程师和2个技术人员。
公司现有10个工程师和12个技术人员，问如何分配资源才干使两个项目的需求都得到满足？3. 投资组合问题：某投资者有100万元可以投资于股票和债券两种资产。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下最大化或者最小化线性目标函数。
它在各种领域中都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。
本文将对线性规划的基本概念、模型构建、求解方法和应用进行详细阐述。
一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标函数是一个线性函数，用于表示需要最大化或者最小化的目标。
1.2 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性等式或者不等式，用于限制变量的取值范围。
1.3 可行解与最优解：线性规划问题存在无穷多个可行解，但惟独一个最优解，即使满足所有约束条件且使目标函数取得最大（或者最小）值的解。
二、线性规划模型构建2.1 决策变量：线性规划模型中的决策变量是需要优化的变量，可以是实数、整数或者二进制数。
2.2 目标函数的构建：根据问题的具体要求，将目标转化为线性函数的形式，并确定是最大化还是最小化。
2.3 约束条件的建立：根据问题的限制条件，将其转化为线性等式或者不等式的形式，并确定约束条件的数学表达式。
三、线性规划的求解方法3.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
通过绘制约束条件的直线或者曲线，找到目标函数的最优解点。
3.2 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过迭代计算，不断改变基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。
3.3 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划法进行求解。
该方法将线性规划问题转化为整数规划问题，并采用分支定界等算法求解最优解。
四、线性规划的应用4.1 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最大化产量或者最小化成本。
4.2 资源分配：线性规划可以用于优化资源的分配，如确定最佳的人力资源配置、物资采购策略等。
4.3 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，如确定最佳的货物运输路线和运输量，以降低运输成本。
4.4 金融投资：线性规划可以用于优化金融投资组合，以最大化收益或者最小化风险。
线性规划课件ppt
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
高中线性规划
高中线性规划高中线性规划是高中数学课程中的重要内容之一，它是线性代数的一个分支，主要研究如何在一定约束条件下，找到使目标函数达到最大或者最小值的最优解。
线性规划广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域，在实际生活中也有不少应用。
首先，我们来了解一下线性规划的基本概念。
线性规划的基本形式可以表示为：Maximize（或者Minimize）：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙSubject to：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中，Z表示目标函数值，c₁、c₂、...、cₙ为目标函数的系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为约束条件的系数，b₁、b₂、...、bₙ为约束条件的常数。
线性规划的求解过程普通分为以下几个步骤：1. 确定决策变量：根据实际问题，确定需要优化的变量，例如生产数量、销售数量等。
2. 建立目标函数：根据问题要求，将目标转化为数学形式，确定目标函数及其系数。
3. 建立约束条件：根据问题给出的限制条件，建立约束条件的不等式。
4. 确定可行解集：将约束条件转化为图形，确定可行解集，即满足所有约束条件的解的集合。
5. 确定最优解：在可行解集中寻觅使目标函数达到最大（或者最小）值的解。
6. 检验最优解：将最优解代入目标函数和约束条件，验证是否满足所有条件。
下面通过一个实例来说明线性规划的具体应用。
假设某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，产品B的利润为8元。
根据市场需求和生产能力，工厂每天最多能生产100个A产品和150个B产品。
此外，工厂生产这两种产品所需要的原材料和人工资源有限，每一个A产品需要2个单位的原材料和3个单位的人工资源，每一个B产品需要1个单位的原材料和4个单位的人工资源。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
线性规划广泛应用于经济学、工程学、管理学等领域，可以帮助优化资源分配和决策制定。
二、基本概念1. 变量：线性规划中的变量表示需要优化的决策变量，可以是实数或非负数。
2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。
3. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性等式或不等式，这些等式或不等式称为约束条件。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过标准形式来表示，其形式如下：最小化：C^T * X约束条件：A * X <= BX >= 0其中，C是目标函数的系数向量，X是变量向量，A是约束条件的系数矩阵，B是约束条件的常数向量。
四、常见解法1. 图形法：适用于二维或三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的图形，并找到最优解所在的顶点。
2. 单纯形法：适用于高维的线性规划问题，通过不断迭代改进当前解，直到找到最优解。
3. 整数线性规划：当变量需要取整数值时，可以使用整数线性规划方法求解，如分支定界法、割平面法等。
五、常见应用1. 生产计划：线性规划可以帮助确定最佳的生产计划，以最大化产量或最小化成本。
2. 运输问题：线性规划可以解决运输问题，如确定最佳的运输路径和运输量，以最小化总运输成本。
3. 资源分配：线性规划可以优化资源的分配，如确定最佳的人力、物力和财力分配方案。
4. 投资组合：线性规划可以帮助确定最佳的投资组合，以最大化收益或最小化风险。
六、注意事项1. 线性假设：线性规划只适用于目标函数和约束条件均为线性的问题，不适用于非线性问题。
2. 敏感性分析：线性规划的解对目标函数系数和约束条件右端常数的变化具有一定的敏感性，需要进行敏感性分析。
小学数学中的线性规划学习线性规划的基本概念和解法
小学数学中的线性规划学习线性规划的基本概念和解法小学数学中的线性规划——学习线性规划的基本概念和解法一、引言数学作为一门普适性的学科，存在于我们生活的方方面面。
而线性规划作为数学中的重要分支，也是小学数学学习中的一部分。
下面将介绍线性规划的基本概念和解法。
二、线性规划的基本概念线性规划是一种优化问题的数学方法，主要用于解决在一定条件下最大或最小化线性目标函数的问题。
1. 决策变量在线性规划中，我们需要确定决策变量，即参与决策的要素。
通常用x1，x2，x3......表示。
2. 目标函数线性规划的目标函数是我们需要最大化或最小化的函数。
常见的目标函数包括总利润、总成本等。
用f(x1, x2, x3......)表示。
3. 约束条件线性规划中的约束条件是对决策变量的限制条件。
例如，某个决策变量的取值范围、资源的限制等。
用g(x1, x2, x3......)≥(=) b来表示。
三、线性规划的解法线性规划常见的解法有几何法和单纯形法。
下面将介绍这两种解法。
1. 几何法几何法是通过绘制图形来解决线性规划问题的方法。
首先，将线性规划的约束条件绘制在坐标系中，得到一个可行域（feasible region）。
然后，绘制目标函数的等高线或等价几何图形。
最后，在可行域中找到使目标函数取得最大（最小）值的点。
2. 单纯形法单纯形法是一种基于线性规划的表格运算方法，通过迭代计算来找到最优解。
单纯形法的基本步骤如下：（1）确定初始基可行解：将决策变量初始化为零，通过约束条件得到初始基可行解。
（2）计算单位贡献：根据目标函数和初始基可行解，计算单位贡献。
（3）选择进基变量：选择单位贡献最大的非基变量作为进基变量。
（4）选择出基变量：根据线性规划的约束条件，选择出基变量。
（5）更新基可行解：通过计算更新基可行解。
（6）迭代计算：重复步骤（2）到步骤（5），直到找到最优解。
四、小学数学中的线性规划应用举例线性规划在小学数学中也有一些简单的应用。
线性规划的基本概念与形解法
线性规划的基本概念与形解法线性规划（Linear Programming）是运筹学中一种重要的数学方法，用于解决一类特定的优化问题。
它的基本思想是在一组线性约束条件下，找到一个目标函数值最优的决策变量取值。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数与约束条件线性规划的目标是要最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
同时，还存在一组线性等式或线性不等式的约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
2. 决策变量与决策向量决策变量是指我们需要做出决策的量，它们的具体取值将会影响目标函数的结果。
通常用x1, x2, ..., xn表示决策变量，构成一个决策向量x。
3. 线性约束条件与可行解集线性约束条件是对决策变量的约束，通常表示为一组线性等式或不等式。
所有满足线性约束条件的决策向量构成了可行解集。
4. 最优解与最优值线性规划的最优解是指在满足约束条件的前提下，使目标函数达到最大值或最小值的决策向量。
最优值则是目标函数在最优解处的取值。
二、线性规划的形解法1. 图解法对于二维或三维的线性规划问题，可以通过绘制约束条件的图形来解决。
首先将目标函数用等值线或平面表示出来，然后确定可行解集的范围，在可行解集内寻找目标函数的最优解。
2. 单纯形法单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
它通过在可行解空间内移动顶点来逐步逼近最优解。
单纯形法的基本步骤包括初始化、构造初始单纯形表、选取离基变量和入基变量、计算新的单纯形表等。
3. 对偶理论线性规划的对偶理论是一种与原问题相对应的新问题。
通过对原问题的约束条件进行转置，构建对偶问题，并通过对偶问题的求解求得原问题的最优解。
对偶理论在某些情况下可以更快地找到最优解。
4. 整数线性规划整数线性规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。
由于整数约束的引入，整数线性规划一般比普通线性规划更加困难，求解方法也更加复杂，常用的方法包括分支定界法和割平面法等。
三、线性规划的应用领域线性规划广泛应用于各个领域，包括生产计划、资源分配、供应链管理、投资组合、运输调度等。
线性规划的基本概念与应用知识点总结
线性规划的基本概念与应用知识点总结线性规划（Linear Programming，简称LP）是运筹学中一种常见的数学优化方法，用于解决线性约束下的最优化问题。
它的基本概念和应用知识点涉及到数学模型的建立、目标函数的设定以及约束条件的制定等方面。
本文将对线性规划的基本概念和应用进行总结。
一、基本概念1. 数学模型的建立线性规划首先需要建立数学模型，将实际问题转化为数学形式。
一般情况下，线性规划模型可以表示为：Max/Min Z = C^T * XSubject to: A * X ≤ B; X ≥ 0其中，Z表示目标函数，C为目标函数系数向量，X是决策变量向量，A为约束条件的系数矩阵，B为约束条件的限制值。
2. 目标函数的设定线性规划的目标是通过优化目标函数来达到最佳解。
目标函数可以是最大化或最小化某个特定指标，如利润最大化、成本最小化等。
目标函数的设定需要根据具体问题来决定，优化目标必须是线性函数。
3. 约束条件的制定线性规划的约束条件可以是等式约束或不等式约束。
等式约束表示各种资源的使用总量必须等于某个固定值，而不等式约束表示各种资源的使用总量必须小于等于某个限制值。
约束条件的制定需要考虑问题的实际情况和限制条件，确保模型的可行性。
二、应用知识点1. 单目标线性规划单目标线性规划是指在一个目标函数下，满足一系列线性约束条件的优化问题。
求解单目标线性规划可以使用常见的线性规划求解方法，如单纯形法、内点法等。
2. 多目标线性规划多目标线性规划是指在多个目标函数下，满足一系列线性约束条件的优化问题。
多目标线性规划的求解方法包括权重法、边界法、Tschebyshev法等，可以通过确定权重系数或设定目标函数的权重范围来获得一组最优解。
3. 整数线性规划整数线性规划是指在线性规划的基础上，限制决策变量为整数的优化问题。
求解整数线性规划可以使用分支定界法、割平面法、混合整数线性规划解法等。
4. 网络流问题与线性规划的等价性网络流问题可以通过线性规划的方法进行求解。
线性规划学习线性规划的解法
线性规划学习线性规划的解法线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的最优化问题。
线性规划的主要目标是在给定的线性约束条件下，找到一个线性目标函数的最大值或最小值。
本文将介绍线性规划的基本概念和解法。
Ⅰ. 线性规划的基本概念线性规划问题通常可以表示为以下形式：给定一组线性约束条件和一个线性目标函数，求解目标函数的最大值或最小值。
其中，线性约束条件可以表示为一组形如ax1 + bx2 + … + c ≤ d的不等式，线性目标函数为z = cx1 + dx2 + … + e。
Ⅱ. 线性规划的解法线性规划问题的求解方法有多种，下面将介绍其中两种常用的解法：单纯形法和内点法。
1. 单纯形法单纯形法是一种逐步改进的方法，通过迭代寻找最优解。
具体步骤如下：（1）初始化：将线性规划问题转化为标准型，并找到一个可行基本解。
（2）选择进基变量：从非基变量中选择一个可以增大目标函数值的变量作为进基变量。
（3）选择出基变量：由于选择进基变量而产生的新的解是非可行解，需要选择一个基变量作为出基变量，并进行调整。
（4）迭代：重复进行步骤2和步骤3，直到找到满足条件的最优解。
2. 内点法内点法是一种基于迭代的方法，通过寻找线性规划问题的可行解来逼近最优解。
具体步骤如下：（1）初始化：将线性规划问题转化为标准型，并找到一个可行解。
（2）构造路径方程：引入一个路径参数，并构造路径方程，将线性规划问题转化为一系列等价的非线性问题。
（3）迭代：通过求解路径方程的解，逐步逼近最优解。
Ⅲ. 实例分析下面通过一个实例来说明线性规划问题的解法。
假设有一家制造公司生产两种产品A和B，分别需要通过机器X和机器Y进行加工。
机器X每小时可工作6小时，机器Y每小时可工作4小时。
产品A通过机器X加工需要1小时，产品B需要2小时；产品A通过机器Y加工需要2小时，产品B需要1小时。
产品A的利润为3万元，产品B的利润为2万元。
问该公司如何安排生产，才能使利润最大化？解：首先，设产品A的产量为x，产品B的产量为y，则目标函数为z = 3x + 2y。
线性规划.st
X1的系数列向量（1，1）T和X2的系数列向量（2，1） T线性无关，所以，该线性方程组可求解
用高斯消去法解得结果如下：
X1 = 4 –X3 X2 = 2 当X3=0时，得到一个特解X=（4，2，0）
(2)选X2、X3为变量、X1为参数，有：
2 x 2 x 3 8 x1 x 2 x 3 6 x1
图解法
X2
Max： Z = 4X1 + 6X2
2
5X1 + 10X2 ≤
40
1 Z*
2X1
≤ 8
6X2 ≤ 18
X1、X2 ≥0
3
(4,2)
X1
第二节 线性规划问题的求解思路
二、 线性规划问题的标准型
max z c1 x 1 c 2 x 2 c n x n a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x 1 , x 2 , , x n 0
1.化标准型2.列初始表
4）基向量与基变量：
基向量Pi：组成一个基的各个列向量
基变量Xi：与基向量对应的变量
非基变量Xj：其余的（n―m个）参数 变量
5）基解：假设基： B =（P1，P2，...，Pm），则约 束方程组可写成：
m n
Px
i 1 m i
i
j m 1
P x
j n
j
b
Px
i 1 i
（二）求最优解
目标函数 Z = f（x），表示为以 Z 为参数的一组 平行线，同一直线上的点有相同的目标函数值，故 称其为“等值线”。可采用平移“等值线”的方法 找出最优解点，步骤如下：
st-简单线性规划(2)
120
M
A
y1
C
O
x 2
1 2 , k AM 119 2
x 150 B 2x+y=300 x+2y=240
y1 x 2 119 2
且 k OM k MP k AM
1 2
变4.
2 x y 300 若x、y满足条件： x 2 y 240 , x 0, y 0
（4）答：作出答案。
求300x+200y 的最大值和最 小值，
y
即 y
3 2
x
Z 200
A(0, 120), B(150, 0) C(120, 60)
3x+2y=0
k AC
1 2
,
k BC 2
120
O
A C
k BC k
3 2
k AC
x 150 B 2x+y=300 x+2y=240
x-4y+3=0
B
O
x=1
3x+5y-25=0
x
问题1：x 有无最大（小）值？ 问题2：y 有无最大（小）值？
问题3：2x+y 有无最大（小）值？
Y
A(5, 2) B(1, 1) C(1, 4.4)
设Z=2x+y
C
A
X-4y+3=0
B
O
X=1
3x+5y-25=0 此时Z=12 此时Z=3 2x+y=1 2x+y=0
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线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是数学中的一个重要分支，在现实生活和各种领域中都有着广泛的应用。
它主要用于解决在一定的约束条件下，如何使目标函数达到最优值的问题。
接下来，咱们就一步步来了解线性规划的相关知识。
首先，咱们得明白什么是线性规划问题。
简单来说，就是给定一组线性的约束条件和一个线性的目标函数，然后找出满足所有约束条件并且使得目标函数取得最大值或最小值的解。
比如说，一家工厂生产两种产品 A 和 B，生产 A 产品每件需要消耗 2 个单位的原材料和 3 个单位的工时，生产 B 产品每件需要消耗 4个单位的原材料和 2 个单位的工时。
工厂现有 100 个单位的原材料和80 个单位的工时。
A 产品每件利润 5 元，B 产品每件利润 8 元。
那么，工厂要怎样安排生产才能获得最大利润呢？这就是一个典型的线性规划问题。
在这个问题中，约束条件就是原材料和工时的限制，目标函数就是总利润。
我们要做的就是在这些条件的限制下，找到生产 A 和 B 产品的数量，使得总利润最大。
那线性规划问题是怎么表示的呢？一般来说，它可以用数学式子来表达。
假设我们要决定生产 A 产品 x 件，生产 B 产品 y 件。
那么约束条件可以写成：2x ＋4y ≤ 100 （原材料限制）3x ＋2y ≤ 80 （工时限制）x ≥ 0，y ≥ 0 （非负限制，表示不能生产负数件产品）目标函数可以写成：Z ＝ 5x ＋ 8y （总利润）我们的任务就是在满足约束条件的情况下，找到 x 和 y 的值，使得Z 最大。
接下来，咱们说说怎么求解线性规划问题。
常见的方法有图解法和单纯形法。
图解法比较直观，适用于两个变量的线性规划问题。
我们把约束条件画在坐标系中，得到一个可行域，然后把目标函数也画在坐标系中，通过平移目标函数的直线，找到在可行域内使得目标函数达到最大值或最小值的点。
比如说上面那个工厂生产的例子，我们先画出约束条件对应的区域，然后画出目标函数 5x ＋ 8y ＝ C（C 为常数）的直线，通过平移这条直线，就能找到最优解。
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线性规划标准型的特征：
1）目标函数求极大值
2）所有资源约束均为“=”形式
3）资源量bi为非负
4）变量非负
不符合标准型的线性规划问题，均可通过一定
的方法化为标准型
m ax z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a x a m1 1 m 2 x2 a mn xn bm x1 , x2 , , xn 0
线性规划模型的特点
（1）线性（Linearity）：约束条件及目标函数均以决策变量 的线性的数学表达式来描述；
（2）确定性（Determinism）：数学模型的各个参数均取确定
性数值，不考虑随机因素； （3）目标单一性（Single Objective）：虽然决策者追求的目 标可能有多个，但线性规划模型只有一个目标函数，这种模 型的求解在本质上是一个求极值的问题。
5 10 1 0 0 A 2 0 0 1 0 0 6 0 0 1
Max： Z = 4X1 + 6X2 + 0X3 +0X4 +0X5
5X1 + 10X2 + X3 2X1 + X4 6X2 X1—X5 ≥0 = 40 = 8 + X5 = 18
单纯形表
C CB XB Cn+1 Xn+1 Cn+2 Xn+2 ……….. Cn+m Xn+m oj C1 X1 C2 …….Cn Cn+1 Cn+2…Cn+m X2………… Xn Xn+1 Xn+2……Xn+m b
XB
cj
4
6
0
0
0
x3 x4 x5 σj x3 x4 x2 σj x1 x4 x2 σj x1 x5 x2 σj
x1 5 2 0 4
(5)
★
2 0 4 1 0 0 0 1 0 0 0
x2 10 0 (6) ★ 6 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
x3 1 0 0 0 1 0 0 0 1/5 -2/5 0 -4/5 0 -3/5 1/10 -3/5
（一）、确定可性域（可行解集合）,步骤如下:
1. 建立直角坐标系(X1为横轴, X2为纵轴)
2. 各约束条件取“ =” 号化为直线方程 , 并将各直线 绘于坐标系中
3. 根据各约束方程原来的不等号方向确定各自代表 的半平面,其公共部分即为该问题的可行域，可行域 内（含边界）任何一点均为这一线性规划问题的可 行解
x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1/2 3/2 -1/4 -1/2
x5 0 0 1 0 -5/3 0 1/6 -1 -1/3 (2/3) ★ 1/6 1/3 0 1 0 0
b
θ
40 8 18 0 10 8 3 18 2 4 3 26 4 6 2 28
4 3 2 4 6 18
单纯形法求解过程
a11 a12 ….. a1n 1 0 …. 0 a11 a12 ….. a1n 0 1 …. 0 . . . . A=. . . . am1 am2 ….. amn 0 0 …. 1 X1 X2 Xn…………Xn+m
第二节 线性规划问题的求解思路
三、线性规划标准型求解引例
例1-2
某线性规划问题标准型如下,试求解该
i
b
j m 1
P x
j
j
基解：令非基变量Xj等于零后，求出的上述方程组的 一个特解。 基解对应于图解中的交点。
6）基可行解：满足非负条件的基解称为基可行解。 基可行解对应于线性规划问题可行域的顶点（可行 域边界上的交点）
7）可行基： 对应于基可行解的基。
第三节 单纯形法
1947年，由美国数学家丹契克（George Dantzig）提出, 线性规划问题模型和单纯形法奠定了线性规划的基础,被
max z c1 x1 c2 x2 cn xn 0 xn 1 0 xn 2 ..... 0 xn m a11 x1 a12 x2 a1n xn xn 1 b1 a x a x a x x b 21 1 22 2 2n n n2 2 a x a x a x x m1 1 m2 2 mn n n m bm x1 , x2 , , xn ,..xn m 0
誉为“线性规划之父”,曾获冯•诺依曼理论奖。 1）如何作？ 计算/求解的过程和步骤等
2）为什么这样作？
求解方法的原理
一cBi aij
i 1
m
3.最优性检验
4.换基
a
' lj
i
bi aik aik 0
alj alk
线性规划模型经济含义
系统中包含若干种活动j（j=1 ～ n ）; 它们分享若干种有限的资源i(i= 1 ～ m); 为进行一个单位的第j种活动, 需用第i种资源的量为 aij; 在这样的条件下,一个单位的第j种活动可给系统带来的效益为Cj；
分析的目的在于：确定此系统中各种活动的量（ Xj），以便在系统
条件下,目标函数获得最佳(最大或最小)值, 其一般表达形
式为:
max z c1 x1 c2 x 2 cn x n a11 x1 a12 x 2 a1n x n ( , )b1 a x a x a x ( , ) b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x ( , )b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x 2 , , x n 0
有限的资源条件限制下，使全部活动总体为系统带来的“效益” 总和达到最优值： X1 、X2、…、Xn 为决策变量, C1 、C2、…、Cn 为价值系数, b1 、b2、…、bm 为资源量参数, aij ( i=1～m, j=1～n) 为技术系数。
第二节 线性规划问题的求解思路 一、 线性规划问题的图解法
⊙
a11 a12….. a1n 1 0……....0 a21 a22….. a2n 0 1………0 ……………………………………………. am1 am2….. amn 0 0………1 1 2 n n +1 n+2 n+m
b 1 ⊙1 b 2 ⊙2 bm
⊙m
CB 0 0 0 0 0 6 4 0 6 4 0 6
同理可以得到
x x
3 2
4 x1 2
当X1= 0时，得一个特解X=（0，2，4）。
(3)选X1、X3为变量、X2为参数，有
x1 x 3 8 2 x 2 x1 x 3 6 x 2
X1的系数列向量和X2的系数矩阵A如下：
1 1 A 1 1
（二）求最优解
目标函数 Z = f（x），表示为以 Z 为参数的一组 平行线，同一直线上的点有相同的目标函数值，故 称其为“等值线”。可采用平移“等值线”的方法 找出最优解点，步骤如下：
1.任意给定一个目标函数值 Z 并绘出其代表的直线
2. 将目标函数直线沿法线向着增值 ( 求最小化时为减 值)方向平移至可行域边界 ,则与目标函数直线相交 的边界点 ( 或线 ) 即为最优解 , 此时对应的目标函数 值即为最优值。
线性规划模型的建模过程
确定决策变量 根据提出的问题，一般选为决策者可控的、需要作出决策的变量 确定目标函数
确定衡量决策效果优劣的标准或指标；根据衡量指标与决策变
量之间的关系写出目标函数的表达式；确定求目标函数的最大值
或最小值
确定约束条件 根据系统活动（决策变量）与其所占用或消耗的资源量之间的关 系写出相应的等式或不等式；加上决策变量取值范围方面的限制 条件。
第一章 线性规划（LP）与单纯形法
主要内容：
线性规划模型 线性规划问题的求解思路 单纯形法 单纯作法的进一步讨论
经济管理中线性规划模型应用
单纯形法的矩阵描述 改进单纯形法
第一节 线性规划模型
问题的提出
(例1-1)
产品 设备 材料 A 材料 B 利润（千元）
产品甲 5 2 0 4
产品乙 10 0 6 6
枢纽元素:alk
, alj alk
bl b alk
' l ' aik aij alj aik
5.迭代运算
a aij
' ij ' i
bl b bi aik bi bl' aik alk
例1-3：线性规划问题单纯形解法 Max： Z = 4X1 + 6X2 5X1 + 10X2 ≤ 40 2X1 ≤ 8 6X2 ≤ 18 X1、X2 ≥0
不是满秩，两个列向量线性相关，不能求解出X1、X3
第二节 线性规划问题的求解思路
四、线性规划问题基解及相关概念
1）可行解
• 满足标准型线性规性问题的资源约束和非负约束的解
•
•
一般情况下 m < n，约束方程组可以有无限多个解
全部可行解的集合，称为可行域
2）最优解
• • 目标函数传达到最大值的可行解 最优解有时也有无限多个
方程组。
x1 2 x 2 x3 8 x1 x 2 x3 6
(1)选X1、X2为变量、X3为参数，得
x1 2 x 2 8 x 3 x1 x 2 6 x 3
X1、X2的系数矩阵A1是满秩的