学海导航高三数学人教B版文科第一轮总复习训练3.15导数的概念及其运算(含答案详析)

第三单元 导数及其应用
第15讲 导数的概念及其运算
1.已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，函数f (x )从2到2＋Δx 的平均变化率为( )
A ．2－Δx
B ．－2－Δx
C ．2＋Δx
D ．(Δx )2－2·Δx
2.下列函数求导运算正确的个数为( )
①(3x )′＝3x log 3e; ②(log 2x )′＝1x ·ln 2
； ③(e x )′＝e x; ④(x ·e x )′＝e x ＋1.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后的位移为s ＝13t 3－32
t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )
A ．0 s 末
B ．1 s 末
C ．2 s 末
D ．1 s 末和2 s 末
4.曲线y ＝13x 3＋12x 2在点T (1，56
)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( ) A.4918 B.4936
C.4972
D.49144
5.已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )
6.曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x
＋2在x ＝0处的切线方程为________．
7.与直线2x －6y ＋1＝0垂直，且与曲线f (x )＝x 3＋3x 2－1相切的直线方程是__________．
8.求下列函数的导数：
(1)y ＝3－4x 2＋3x
； (2)y ＝(x 2－1)sin x ＋x cos x ；
(3)y ＝1＋sin x 1－cos x ；
(4)y ＝x ＋15x 2.
9.设函数f (x )＝ax －b x
，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
第三单元 导数及其应用
第15讲 导数的概念及其运算
1．B 2.B 3.D 4.D 5.B 6.y ＝2x ＋3 7.3x ＋y ＋2＝0
8．解析：(1)y ′＝(3－4x )′(2＋3x )－(3－4x )(2＋3x )′(2＋3x )2
＝－4(2＋3x )－3(3－4x )(2＋3x )2
＝－17(2＋3x )2
. (2)y ′＝[(x 2－1)sin x ]′＋(x cos x )′
＝(x 2－1)′sin x ＋(x 2－1)cos x ＋cos x －x sin x
＝2x sin x ＋(x 2－1)cos x －x sin x ＋cos x
＝x sin x ＋x 2cos x .
(3)y ′＝cos x (1－cos x )－(1＋sin x )sin x (1－cos x )2
＝cos x －sin x －1(1－cos x )2
. (4)因为y ＝x ＋1x 25
＝x 35＋x －25， 所以y ′＝(x 35)′＋(x －25)′＝35x －25－25x －75
. 9．解析：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74
x －3. 当x ＝2时，y ＝12
. 又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12a ＋b 4＝74
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
b ＝3. 故f (x )＝x －3x
. (2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任意一点．
由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20
)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20
)(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0
)． 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以曲线在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为12|－6x 0
||2x 0|＝6.
故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。