2018-2019学年辽宁省沈阳铁路实验中学高二数学10月月考(文科)试卷含答案

辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二数学10月月考试题文
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题
1．数列是等差数列，若，，构成公比为的等比数列，则 ( )
A． 1 B． 2 C． D． 3
2．等差数列的首项为，公差不为，若成等比数列，则前项的和为（）
A． B． C． D．
3．已知数列为等比数列，若，下列结论成立的是（）
A． B． C． D．
4．已知数列中，，则等
于
（
）
A． B． C． D．
5．各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则
（
）
A． 16 B． 8 C． 4 D． 2
6．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（）
A． B． C．或 D．或
7．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为（）
A． 10 B． 9 C． 8 D． 7
8．已知数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，且，则（）
A． B．
C． D．
9．设等差数列的前项和为，且满足，若对任意正整数，都有，
则的值为（）
A． 1008 B． 1009 C． 2018 D． 2019
10．数列{a n}的通项公式a n＝n cos，其前n项和为S n，则S2 012等于 ( )
A ． 1 006
B ． 2 012
C ． 503
D ． 0
11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且44a =， 515S =，则数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前100项和
为 （ ）
A ．
198100 B ． 202100 C ． 198101 D ． 200
101
12．在中，内角
的对边分别为.若的面积为，且
，
，
则外
接
圆
的
面
积
为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．等差数列满足，则_______
14．已知两个等差数列的前项之和为，且，则_______.
15．若{}n a ， {}n b 满足1n n a b =， 232n a n n =++，则{}n b 的前2018项和为__________．
16．△的内角
的对边分别为，已知，
，则△
的面积为________．
第Ⅱ卷(共90分)
三、解答题
17．已知数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18．已知数列满足.
（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
19．设数列{}n a 满足()123212n a a n a n +++-=.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列21n a n ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和.
20．在△ABC中，a=7，b=8，cos B= –．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
21．已知为数列的前n项和，且，，，．
求数列的通项公式；
若对，，求数列的前2n项的和．
22．已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，证明：
1．A
【解析】分析：利用等差数列的通项公式和等比数例的定义进行求解。

详解：由题可知
解得d=-1，
故答案为A.
点睛：本题主要考查等差数列的通项公式和等比数列的定义，属于基础题。

2．C
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式、等比数列的性质列出方程，求出公差，由此求出的前6项的和. 【详解】
因为等差数列的首项为1，公差不为0，且构成等比数列，
所以，所以，且，
解得，
所以的前6项的和，故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的前项和公式的应用，属于基础题，解题是要认真审题，主要等差数列、等比数列的性质的合理运用，着重考查了推理与计算能力.
【解析】分析:根据等比数列的通项性质即可得出结论.
详解：因为，故，故选A.
点睛：考查等比数列的通项性质，属于基础题.
4．A
【解析】分析：，故，令，再由等比数列求和公式求解
详解：设，由，解得
，，令故。

故选A
点睛：，一定要注意，当时要验证是否满足数列。

等比数列的平方还是等比数列，公比为原数列的平方。

5．A
【解析】分析：所以，利用等比中项求解
详解：在等差数列中，，由等差中项所以
，由等比中项.故选A
点睛：等差数列的性质：若，则。

等比数列的性质：若
，则。

【解析】分析：a1，a3，a2成等差数列得2a3=a1+a2，利用数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程，易求
详解：由题意2a3=a1+a2，∴2a1q2=a1q+a1，∴2q2=q+1，∴q=1或q=.
故选：D.
点睛：本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．
7．C
【解析】分析：由等比数列的前项和公式求出女子每天分别织布尺，由此利用等比数列前项和公式能求出要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天．
详解：设该女第一天织布尺，则，解得，
所以前织布的尺数为，
由，得，解得的最小值为．
点睛：本题主要考查了等比数列在生茶生活中的实际应用，试题比较基础属于基础题，解题
时要认真审题，熟记等比数列的通项公式和前项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
8．B
【解析】分析：先根据等比数列、等差数列的通项公式表示出、，然后表示出和
，然后二者作差比较即可．
详解：∵a n=a1q n﹣1，b n=b1+（n﹣1）d，
∵，∴a1q4=b1+5d，
=a1q2+a1q6
=2（b1+5d）=2b6=2a5
﹣2a5= a1q2+a1q6﹣2a1q4 =a1q2（q2﹣1）2≥0
所以≥
故选：B．
点睛：本题主要考查了等比数列的性质．比较两数大小一般采取做差的方法．属于基础题．9．B
【解析】由题意，知将问题转化为求的最小值时的值，
根据等差数列的前项和公式，由二次函数知识，当
时，有最小值，由，得，同理由，
得，则，即，又，所以，故正确答案为B.
点睛：此题主要考等差数列前项和公式、单调性在解含参数的不等式求参数值的应用，以及二次函数最值的应用等有关方面知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.本题解答中，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后结果，从中也体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.
10．A 【解析】 【分析】
先计算出a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，…，a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝2，再利用数列和的周期性求S 2 012. 【详解】
由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，…，a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝2，k∈N，故S 2 012＝503×2＝1006. 故答案为：A 【点睛】
（1）本题主要考查数列的求和，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题发现归纳出数列和的周期性是解题的关键. 11．D
【解析】2111341
{ { 5101512n a d a n n S a d d +==+∴∴=+==,2121121n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,所以数列
1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前100项和为120021101101⎛
⎫-= ⎪⎝⎭. 故选D. 12．D 【解析】 【分析】
由余弦定理与面积公式结合条件可得∠A 的值，然后利用正弦定理可得外接圆的直径，
进而得到外接圆的面积.
【详解】
在中，由余弦定理，得，既有
，又由面积公式，得，即有，又，
所以，所以.因为，所以，又由正弦定理，得
，其中为外接圆的半径，由及，得，所以外接圆的面积.
故选：.
【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
13．
【解析】分析：根据题意求出等差数列的首项和公差，然后根据等差数列的通项公式和前n 项和公式求解．
详解：设等差数列的公差为d，
∵，
∴，
即，
解得，
∴．
点睛：本题考查等差数列的基本量的计算，解题时求出等差数列的首项和公差是解题的关键和基础，然后根据相应公式求解可得结论．
14． 【解析】 【详解】
由题意，，
设,,
所以,
,
所以,
所以，从而问题可得解.
15．
1009
2020
【解析】∵1n n a b =，且232n a n n =++
∴()()21111
322112
n b n n n n n n =
==-++++++
∴
{}
n b 的前2018项和为
1111111111101011009
233445201920202202020202020
--+-+-+⋅⋅⋅+-=-==
. 故答案为
1009
2020
. 点睛：本题主要考查裂项相消法求数列的和，常见的裂项技巧：
（1）
()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
；
（21
k
=
；
（3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；
（4）
()()()()()1111
122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦
.
16．.
【解析】 【分析】
首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得
，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定A 为锐角，从
而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.
【详解】
因为，
结合正弦定理可得，
可得，因为，
结合余弦定理，
可得，
所以A为锐角，且，
从而求得，
所以△的面积为，故答案是.
【点睛】
本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）
；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，
在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
17．（1）；（2）
【解析】分析：（1）由得，解得
或，又数列{a n}的各项均为正数，可得a n．（2）利用错位相减法求解即可. 详解：
（1）由得，
所以或，又因为数列的各项均为正数，负值舍去
所以.
（2）由，
所以①
②
由①-②得：
所以.
点睛：考查数列通项的求法和利用错位相减法求和，能正确分解因式递推式求得通项是解题关键.
18．（1）；（2）.
【解析】分析：（1）两边取倒数可得，从而得到数列是等差数列，进而可得的通项公式；（2），利用错位相减法求和即可.
详解：（1）∵，∴，
∴是等差数列，
∴，
即；
（2）∵，
∴，
则，
两式相减得，
∴.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 19．（1）
221
n -；（2）221n
n +
【解析】试题分析：
(1)由题意结合递推公式可得数列的通项公式为()
2
21
n a n N n +=
∈-；
(2)裂项求和可得求数列21n a n ⎧⎫
⎨
⎬
+⎩⎭
的前n 项和是221n n + . 试题解析：
(1)当时, ,当时,由,①
,②
①②得,即,验证符合上式,所以
.
(2).,
.
20．(1) ∠A= (2) AC边上的高为
【解析】
分析：（1）先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得；（2）根据三角形面积公
式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得
边上的高．
详解：解：（1）在△ABC中，∵cos B=–，∴B∈（，π），∴sin B=．由正弦
定理得=，∴sin A=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．
（2）在△ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A==．
如图所示，在△ABC中，∵sin C=，∴h==，∴AC边上的高为．
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
21．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
，，时，
，化为：
，
，由，可得，时，，且，解得，利用等差数列的通项公式可得
，利用分组求和即可得出【详解】
，．
时，，化为：
，
，，
时，，且，解得．
数列是等差数列，首项为1，公差为3．
．
．
．
数列的前2n项的和．【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
22．（1）；（2）证明见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）由题意可求得等差数列的公差，从而可得
．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，然后根据裂项相消法得到
，由此可得结论成立．
详解：（Ⅰ）∵数列为等差数列，且，
．
∵成等比数列，
∴，
即，
又
∴，
∴，
∴.
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，
∴．
∴
．
∴．
点睛：对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点：
（1）列项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止；（2）消项的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性．。