一元二次不等式与分式不等式的解法

一元二次不等式与分式不
等式的解法
Last revision on 21 December 2020
第5讲 一元二次不等式与分式不等式的解法
【知识要点】
1、一元二次不等式的概念：我们把只含有一个未知数，并且未知数最高次数是
2的不等式，称为一元二次不式.
2、一元二次不等式的解法步骤：
一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：
设相应的一元二次方程()002>=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：
口诀：大于取两边，小于取中间
3、 解一元二次不等式的基本步骤：
（1） 整理系数，使最高次项的系数为正数；
（2） 尝试用“十字相乘法”分解因式；
（3） 计算ac b 42-=∆
（4） 结合二次函数的图象特征写出解集。

4、对于分式不等式：0)
()(>x g x f ，它等价于0)()(>⋅x g x f 0)
()(=x g x f ，它等价于0)(0)(≠=x g x f 且
0)()(<x g x f ，它等价于0)()(<⋅x g x f 【典型例题】
例1、 求下列不等式的解集
（1）01442>+-x x （2）0322>-+-x x
例2、已知032>++a x x 的解集是}12{->-<x x x 或，求不等式
012102<+-x ax 的解集.
例3、解不等式（1）032<+-x x （2）25
4≤-+x x 例4、自变量x 在什么取值范围时，下列函数的值等于0大于0小于0
（1）2632+-=x x y (2)225x y -=
例5、函数3222)(a b x a ax x f -++=，当
0)(),,6()2,(,0)(),6,2(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x 当，求)(x f 的解析式；
例6、集合}12
22{<-+=x x x A }054{2>-+=x x x B ，},11{R m m x m x C ∈+<<-=
（1）求B A （2）若B A C ⊆，求m 的取值范围.
例7、求不等式)12(2+-x x 0)532(2<--x x 的解集
例8、解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++>
【经典练习】
1、如果62--x x 有意义，那么x 的取值范围是 .
2、若012<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则a ＝________，b ＝________．
3、解下列一元二次不等式
(1) )3)(1(x x --＜x 25- (2) )11(+x x ≥2)1(3+x
(3)
031≥+-x x （4）31
15<++x x 4、已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32-,求220cx x a -+->的解集
5、不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围
【课后作业】
1、若10<<a ，那么不等式)1)((a
x a x --0<的解是 （ ） A ．a x a 1<< B ．a x a <<1 C ．a x a x 1<>或 D ．a x a
x <>或1 2、若关于x 的方程0)1(2=-+-m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是 .
3、不等式0)1)(2(22<+--x x x 的解集为___________________________
4、自变量x 在什么取值范围时，下列函数的值等于0大于0小于0
（1）1062++=x x y (2)121232-+-=x x y
5、已知集合}016{2<-=x x A ，集合}034{2>+-=x x x B ，求B A
6、已知=A }0145{2<--x x x ，求=B },2{A y y x x ∈-=，求B A ，B A ．。