2010年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.把答案填在横线上.1.函数f (x )=√x −5−√24−3x 的值域是.
2.已知函数y =(a cos 2x −3)sin x 的最小值为−3，则实数a 的取值范围是
.
3.双曲线x 2−y 2=1的右半支与直线x =100围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是.
4.已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1=3,b 1=1,a 2=b 2,3a 5=b 3，且存在常数α,β使得对每一个正整数n 都有a n =log αb n +β，则α+β=.
5.函数f (x )=a 2x +3a x −2(a >0,a =1)在区间x ∈[−1,1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是.
6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.
7.正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的9条棱长都相等，P 是CC 1的中点，二面角B −A 1P −B 1=α，则sin α=.
8.方程x +y +z =2010满足x ⩽y ⩽z 的正整数解(x,y,z )的个数是
.二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a =0)，当0⩽x ⩽1时，|f ′(x )|⩽1，试求a 的最大值.
10.已知抛物线y 2=6x 上的两个动点A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)，其中x 1=x 2且x 1+x 2=4.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求△ABC 面积的最大值.
11.数列{a n }满足a 1=13,a n +1=a 2n a 2n −a n +1
(n =1,2,···)
.2010年全国高中数学联合竞赛试题(B 卷)
求证：1
2
−1
32n−1
<a1+a2+···+a n<
1
2
−1
32n
.。