重庆市高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测(答案解析)

一、选择题
1．复平面内，复数122i
i
-+的虚部为（ ） A ．i
B ．i -
C ．1
D ．1-
2．如果复数z 满足21z i -=，i 为虚数单位，那么1z i ++的最小值是（ ） A
1
B
1
C
1 D
1
3．i 为虚数单位，则2015
1+1i i ⎛⎫ ⎪-⎝⎭
=( )
A ．i
B ．-1
C ．-i
D ．1
4．(1)两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数
(,)a bi a b R +∈是某一元二次方程的根，则a bi -是也一定是这个方程的根；（4）若z 为
虚数，则z 的平方根为虚数，其中正确的个数为 （ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
5．当复数2(32)()z x x x i x =-+-∈R 的实部与虚部的差最小时，1
z
i =-（ ） A ．33i -+
B ．33i +
C ．13i -
D ．13i --
6．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆
C ．椭圆
D ．线段
7．已知复数3
3i
z i --=，则z 的虚部为（ ） A ．3-
B ．3
C ．3i
D ．3i -
8．已知复数z 满足21i
z i
=+，那么z 的虚部为（ ） A ．1
B ．-i
C ．1-
D ．i
9．复数4
11-i ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值是( )． A ．－4i
B ．4i
C ．－4
D ．4
10．已知复数2(1)(1)z m m i =--+,其中m R ∈.若z 是纯虚数，则m = A ．1
B ．1-
C ．1或1-
D ．0
11．已知a ∈R ，复数12i z a =+，212i z =-，若12z z 为纯虚数，则复数1
2
z z 的虚部为( ) A ．1
B ．i
C ．
25
D ．0
12．已知复数2
1i
z =
-+，则（ ）
A ．2z =
B ．z 的实部为1
C ．z 的虚部为1-
D ．z 的共轭复数为
1i +
二、填空题
13．已知复数z 满足|2|1z i +-=，则|21|z -的取值范围是________.
14．已知实数x 和复数m 满足2(43)430i x mx i +++-=，则m 的最小值是________. 15．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_____（米）． 16．已知复数5
13z i
=
-（i 是虚数单位），则|z |=______ 17．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-
+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭__________.
18．设复数z 满足()1i 2i z -=,则z =__________. 19．已知i 是虚数单位，则复数
1
1i
+所对应的点位于复平面内的第__________象限． 20．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是__________
三、解答题
21．复数z 满足()()12123z z i z i z ⋅+-++=，求z 的最大值． 22．已知z 是复数，121z z ==，123z z +=，求12z z -. 23．复数2(21)(1),z a a a i a R =--+-∈. （1）若z 为实数，求a 的值； （2）若z 为纯虚数，求a 的值； （3）若93z i =-，求a 的值.
24．证明：在复数范围内，方程()()2
55112i
z i z i z i
-+--+=+（为虚数单位）无解． 25．设实部为正数的复数，满足，且复数
在复平面上对应的点在第
一、三象限的角平分线上． （1）求复数； （2）若()1m i
z m R i
-+
∈+为纯虚数， 求实数的值．
26．已知2
3||()2i
z z z i i
-++=
+ (i 为虚数单位)，求复数z ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
由复数的除法运算法则，化简求得122i
i i
-=-+，再结合复数的概念，即可求解. 【详解】
由复数的除法运算法则，可得()()()()1221252225
i i i i
i i i i ----===-++-， 所以复数的虚部为1-. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．A
解析：A 【分析】
由模的几何意义可转化为以(0,2)为圆心，1为半径的圆上一点与点(1,1)--距离的最小值,根据圆的性质即可求解. 【详解】 因为21z i -=，
所以复数z 对应的点Z 在以(0,2)为圆心，1为半径的圆上， 因为1z i ++表示Z 点与定点(1,1)--的距离，
所以Z 点与定点(1,1)--的距离的最小值等于圆心(0,2)与(1,1)--的距离减去圆的半径，
即min 111z i ++==， 故选：A 【点睛】
本题主要考查了复数及复数模的几何意义，圆的性质，属于中档题.
3．C
解析：C 【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数
1+i
1i
-为
i ，根据2015
4503331+i i i 1i ⨯+⎛⎫== ⎪-⎝⎭
，从而可得结果.
详解：
()()()2
1+i 1+i 2i ==i 1i 1i 1i 2
=--+， 则2015
4503331+i i i i 1i ⨯+⎛⎫===- ⎪-⎝⎭
，故选C.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
4．C
解析：C 【分析】
直接利用复数的基本概念判断命题的真假即可． 【详解】
（1）两个共轭复数的差是纯虚数；如果两个复数是实数，差值也是实数，所以（1）不正确；
（2）两个共轭复数的和不一定是实数，不正确，和一定是实数；
（3）若复数(,)a bi a b R +∈是某一元二次方程的根，则a bi -是也一定是这个方程的根，不正确，因为实系数方程的虚根才是共轭复数，所以（3）不正确；
（4）若z 为虚数，则z 的平方根为虚数，设(,0)z x yi x y R y =+∈≠，，其平方根为
(,)a bi a b R +∈,设222(),2,20a bi x yi a b abi x yi ab y +=+∴-+=+∴=≠，
所以0,0a b ≠≠，所以z 的平方根为虚数．所以该命题正确. 故选：C ． 【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，复数的基本概念和计算的应用，考查计算能力．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
实部与虚部的差为242x x -+。

利用二次函数性质求得最值，再利用复数除法运算即可 【详解】
复数z 的实部与虚部的差为222(32)42(2)2x x x x x x ---=-+=--， 当2x =时，差值最小，此时24z i =+，∴241311
z i i i i +==---. 故选：C 【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，熟练求解二次函数最值是关键，是基础题．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
设复数z =x +yi ，结合复数模的定义可得z 对应点的轨迹. 【详解】
设复数z =x +yi ，则：()1z i x y i +=++=
()3z i x y i +=++=结合题意有：()()2
2
2
2
13x y x y ++=++，
整理可得：310--=x y . 即复数z 对应点的轨迹是直线. 故选A . 【点睛】
本题主要考查复数的模的计算公式，复数中的轨迹问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．B
解析：B 【分析】
直接由复数代数形式的乘除运算化简，求得z 后得到答案. 【详解】 由32
33(3)13i i i i
z i i i i
-+-+-+=
===----， 所以13z i =-+， 所以z 的虚部为3， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关复数的虚部的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数以及复数的虚部，属于简单题目.
8．A
解析：A 【分析】
根据复数除法的运算法则化简，即可求出复数虚部. 【详解】 因为22(1)
112
i i i z i i -=
==++，所以虚部为1，故选A.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则及复数的实部虚部的概念，属于中档题.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用复数的代数形式的乘除运算法则将4
11i ⎛⎫- ⎪⎝⎭
化简，即可求值. 【详解】
∵21111i
i i i
-=-
=+ ∴2(1)1212i i i +=+-=
∴()4
21124i i ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭
故选C. 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，利用i 的幂的性质是迅速化简的关键，属于基础题．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意得到关于m 的方程组，求解方程组即可求得实数m 的值. 【详解】
复数()
()2
11z m m i =--+是纯虚数，则：
()2
10
10m m ⎧-=⎪⎨
-+≠⎪⎩
，据此可得：1m =. 本题选择A 选项. 【点睛】
复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.
11．A
解析：A 【分析】
先化简12z z ，利用12z z 为纯虚数，实部为零，可求得a 的值，进而求得1
2
z z 的虚部.
【详解】
依题意可知()()()()()122i 12i 224i 2i 12i 12i 12i 5
a a a z a z ++-+++===--+为纯虚数，故220,1a a -==，故虚部为
41
15
+=. 【点睛】
本小题主要考查复数的运算，考查复数的除法，考查复数实部和虚部的概念及其应用.属于基础题.
12．C
解析：C 【解析】
分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()
()()
()21211112
i i z i i i ----==
=---+--，
则
z =，选项A 错误；
z 的实部为1-，选项B 错误； z 的虚部为1-，选项C 正确； z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误.
本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题
13．【分析】根据复数模的几何意义可知表示以为圆心为半径的圆将问题转化为圆上的点到距离的倍的求解问题；根据圆上点到的距离的范围为结合两点间距离公式可求得结果【详解】由知表示以为圆心为半径的圆表示圆上的点到
解析：2]
【分析】
根据复数模的几何意义可知z 表示以()2,1-为圆心，1为半径的圆，将问题转化为圆上的
点到1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
距离的2倍的求解问题；根据圆上点到P 的距离的范围为[],d r d r -+，结合两点间距离公式可求得结果. 【详解】
由21z i +-=知，z 表示以()2,1-为圆心，1为半径的圆
12122z z -=-
表示圆上的点到1,02P ⎛⎫
⎪⎝⎭
距离的2倍
圆心到P 的距离d =
∴圆上的点到P 的距离的范围为1⎤
-⎥⎣⎦
21z ∴-的取值范围为2⎤⎦
故答案为：2⎤⎦
【点睛】
本题考查圆上的点到定点距离的取值范围的求解问题，涉及到复数模的几何意义的应用；关键是能够通过所给模长得到z 所表示的图形，并将所求式子转化为距离的求解问题.
14．8【分析】设m ＝a+bi 得到（4x2+ax+4）+（3x2+bx ﹣3）i ＝0解出ab 的值从而求出|m|的最小值即可【详解】设m ＝a+bi ∵（4+3i ）x2+（a+bi ）x+4﹣3i ＝0∴（4x2+a
解析：8 【分析】
设m ＝a +bi ，得到（4x 2+ax +4）+（3x 2+bx ﹣3）i ＝0，解出a ，b 的值，从而求出|m |的最小值即可． 【详解】 设m ＝a +bi ，
∵（4+3i ）x 2+（a +bi ）x +4﹣3i ＝0， ∴（4x 2+ax +4）+（3x 2+bx ﹣3）i ＝0，
∴22440
330
x ax x bx ⎧++=⎨+-=⎩， ∴a 24(1)x x
+=-，b 23(1)
x x -=-，
∴|m |
==≥=8，
当且仅当x 2＝1时“＝”成立， 故答案为：8． 【点睛】
本题考查了复数的运算性质及基本不等式求最值，考查解方程组问题，是一道基础题．
15．2000【解析】把实际问题转化为数学模型然后列式转化为函数的最值问题（方法一）设树苗放在第个树坑旁边（如图）那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是所以当或时的值最小最小值是1000所以往返路程的最小值是
解析：2000 【解析】
把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题． （方法一）设树苗放在第i 个树坑旁边（如图），
那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是
(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10s i i i i i i i =-⨯+-⨯++-⨯++-⨯+
+-⨯
(1)(20)(120)
10[(20)]22
i i i i i i i i +-++=⨯⨯-
-⨯-+ 210(21210)i i =-+，所以当10i =或11时，s 的值最小，最小值是1000，所以往返路程
的最小值是2000米.
（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可．树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是19(119)
10(1219)210238002
+⨯++
+⨯=⨯
⨯=；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是
10(129)10(1210)2⨯++++⨯++
+⨯
9(19)10(110)
1021029001100200022
⨯+⨯+=⨯
⨯+⨯⨯=+=，所以路程总和最小为2000米.
16．【解析】分析：首先利用复数的除法运算将复数z 化简之后应用复数模的公式求得其结果详解：所以故答案是点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的求解问题在解题的过程中需要明确复数的除法运算法则以及复数模 解析：
102
【解析】
分析：首先利用复数的除法运算，将复数z 化简，之后应用复数模的公式求得其结果. 详解：55(13)51513
13(13)(13)1022
i i z i i i i ++=
===+--+， 所以1910442z =
+=
10
点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的求解问题，在解题的过程中，需要明确复数的除法运算法则，以及复数模的运算公式.
17．【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零虚部不为零从而可求利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求的值【详解】所以故答案为：【点
睛】本题考查复数的概念同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确理解 解析：7-
【分析】
利用复数为纯虚数可得实部为零，虚部不为零，从而可求43
cos 0,sin 055
θθ-=-≠，利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求tan 4πθ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
的值. 【详解】
4333cos 0,sin 0sin tan 5554
θθθθ-
=-≠⇒=-⇒=-, 所以tan 4πθ⎛⎫-=
⎪⎝⎭3
147314
--=--, 故答案为：7-. 【点睛】
本题考查复数的概念、同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确，理解纯虚数的概念是关键，本题为中档题.
18．-1-i 【解析】因为所以则
解析：-1-i 【解析】
因为()1i 2i z -=,所以2i
1i 1i
z =
=-+-, 则1i z =--. 19．四【解析】复数该复数对应的点为在第四象限故答案为四
解析：四 【解析】
复数()1111 11(1)22i i i i i -==-++-，该复数对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限，故答案为四. 20．1【解析】复数z 满足|z+3i|+|z−3i|=6∴z 的几何意义是以A(03)B(0−3)为端点的线段AB 则|z+1+i|=|z−(−1−i)|的几何意义为AB 上的点到C(−1−1)的距离则由图象知
解析：1 【解析】
复数z 满足|z+3i|+|z−3i|=6，
∴z 的几何意义是以A(0,3),B(0,−3)为端点的线段AB ，
则|z+1+i|=|z−(−1−i)|的几何意义为AB 上的点到C(−1,−1)的距离， 则由图象知C 到线段AB 的距离的最小值为1，
三、解答题
21．522+ 【分析】 设z a bi =+(),a b ∈R ，则z a bi =-，代入()()12123z z i z i z ⋅+-++=，得()()22
128a b +++=，则z 在复平面内所对应点的轨迹为以()1,2--为圆心，以22为半径的圆，数形结合求z 的最大值.
【详解】
解：设z a bi =+(),a b ∈R ，则z a bi =-，
代入()()12123z z i z i z ⋅+-++=，
得()
()2224223a b a b b a b a i ++++--+=， 即22243a b a b +++=，化为()()22128a b +++=，
∴z 在复平面内所对应点的轨迹为以()1,2--为圆心，以22为半径的圆，
∴22z a b =+，
则z 的最大值为221222522++=+.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是中档题.
22．1
【分析】
画出12,z z 对应的图象，根据复数加法的几何意义确定12,OZ OZ 的夹角，由此确定12z z -的大小. 【详解】 由于121z z ==，故12,z z 对应的点12,Z Z 在单位圆上，根据123z z +=可知以12,OZ OZ 为邻边的平行四边形为菱形，对角线相互垂直平分，且一条对角线长3OA =，而111OZ AZ ==,所以11π6
Z OA Z AO ∠=∠=，根据菱形的性质可知12OZ Z ∆是等边三角形，故1212121z z Z Z OZ OZ -====.
【点睛】
本小题主要考查复数的几何意义，考查复数加法和减法的模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
23．（1）1a =；（2）2
1-
=a ；（3）2-=a . 【解析】
试题分析：（1）复数(,)z a bi a b R =+∈为实数的条件0b =；（2）复数z 为纯虚数的条件0,0a b =≠；（3）两复数相等的条件：实部、虚部分别对应相等.
试题
解：（1）若z 为实数，则01=-a ，得1=a ．
（2）若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧≠-=--0
10122a a a ，解得21-=a ． （3）若i 39-=z ，则⎩⎨⎧-=-=--3
19122a a a ，解得2-=a ．
考点：1.复数为实数、纯虚数的条件；2.两复数相等的条件.
24．见解析
【详解】
假设存在这样的复数， 则原方程化简为()()2
1113z i z i z i +--+=-
设z x yi =+代入上述方程得222213x y xi yi i +--=- 221
{223
x y x y +=∴+=方程组无实数解 ∴假设不成立，即原方程在复数范围内无解.
考点：反证法及复数运算
点评：当直接证明不易时考虑反证法，先假设所要证明的反面成立，借此来推出矛盾，从而肯定原结论成立
25．（1）3z i =-.（2）5m =-.
【详解】
（1）设z a bi =+，,,0a b R a ∈>，
由题意：2210a b +=.① (12)z (12)()2(2)i i i a bi a b a b +=++=-++，
得22a b a b -=+②
①②联立，解得3,1a b ==-
得3z i =-.
（2）()(1)1133(1)1222m i m i i m m z i i i ----++
=++=++-+ 所以1302m -+=且1102
m +-≠， 解得5m =-.
26．12z = 【分析】
设z x yi =+（,x y R ∈），则根据题意得到关于,x y 的复数方程，根据复数相等的判定规则得到方程组，求解得到,x y 即可.
【详解】
设z x yi =+（,x y R ∈），
则根据题意知22(3)(2)2(2)(2)
i i x y xi i i --+-=
+-， 即2221x y xi i +-=-， 所以22121
x y x ⎧+=⎨-=-⎩，
解得12x =，y =，
所以12z =
±. 【点睛】 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.。