北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练

直角三角形的边角关系专题训练
专题一：锐角三角函数
类型一：正弦
1．在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC 如图放置，则sin ∠ABC 的值为（ ）
A B C D ．1
2．如图，在Rt ∆ABC 中，∠A CB =90，AB=10，AC=8，CD ⊥AB ，则sin ∠BCD 的值为（
）
A ．35
B ．3
10 C ．3
4 D 3．在直角坐标平面内有一点P （3，4），OP 与x 轴正半轴的夹角为α，则sin 的值（
）
A ．34
B ．43
C ．3
5 D ．4
5
4．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ）
A ．12
B
C D
5．在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23
，则边AC 的长是（ ） A
B ．3
C ．43 D
类型二：余弦 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =4，AC =3，则cos B =BC AB
=（ ） A ．35 B ．45 C
．4
D ．34 2．如图，△ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为（ ）
A ．12 B
C ．2 D
3．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos ACB 值为（ ）
A
．5 B
．5 C ．35 D ．45
4．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（ ）
A B C D ．23
5．在ABC 中，AB =，AC 13=，cos B ∠=，则BC 边长为（ ） A ．7
B ．8
C ．8或17
D ．7或17 类型三：正切 1．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =35
，则∠A 的正切值为（ ） A ．43 B ．45 C ．54 D ．34
2．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）
A ．2
B
C
D ．12 3．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，12sin 13
B =，则tan A 的值为（ ） A ．513 B ．1312
C ．125
D ．512
4．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB tan ∠B ＝2，则AC 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C
D ．
5．如图，在直角坐标平面内，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，如果OA tan 2α=，那么点A 的坐标是（ ）
A ．()1,2
B ．()2,1
C ．(
D ．(
类型四：特殊角的三角函数
1．锐角三角函数tan30°的值是（ ）
A ．1
B
C D
2．在ABC 中，(2sinA-1)2，则ABC 是（ ）
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．无法确定
3．若△ABC 的三个内角满足|tan A ﹣1|+（cos B ﹣2）2＝0，则△ABC 的形状是（
） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形
4．已知α为锐角，且sin 2α=，则α的度数为（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
5．已知α∠为锐角，且1
sin 22α
=，则α∠=（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
类型五：互余两角的三角函数值
1．在Rt ABC △中，90C =∠，如果1
cos 2B =，那么sin A 的值是（ ）
A ．1
B ．12
C D
2．在ABC ∆中，90C ∠=︒，4sin 5
A =，则cos
B 的值为( ) A ．43 B ．34
C ．35
D ．45
3．若sinA cosB =，下列结论正确的是（ ）
A ．A
B ∠=∠ B ．90A B ∠+∠=
C ． 180A B ∠+∠=
D ．以上结论均不正确
4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若，则cosB 的值为（ ）
A ．12
B ．2
C ．2
D ．1
5．已知锐角α，且0sin cos37α=，则α等于（ ）
A ．45°
B ．53°
C ．63°
D ．37°
专题二：解直角三角形及其应用
类型一：解直角三角形
1．△ABC 为等腰直角三角形，∠C=90°，D 为BC 上一点，且AD=2CD ，则∠DAB=（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．15°
2．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，对角线AC ，则菱形ABCD 的周长为（ ）
A ．
B ．20
C ．
D ．16
3．如图，矩形ABCD 中，点O 是对角线的交点，AE ⊥BD ，垂足为E ．若OD ＝2OE ，AE 则DE 的长为（ ）
A ．
B ．3
C ．4 D
4．如图，在Rt ABC △中，30A ∠=︒，90ABC ∠=︒，CD 平分ACB ∠，交AB 于点D ．若4AC =，则线段AD 的长为（ ）
A ．3
B
C ．3
D ．3
5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CE 平分∠ACB 交AB 于点E ．EF ⊥BC 于点F ，若EF ＝4，则线段AE 的长为（ ）
A ．
B
C ． 2
D ．6．如图，已知Rt ABC ∆，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，AD 平分BAC ∠，则点B 到射线AD 的
距离是( )
A ．2
B
C
D ．3
类型二：解非直角三角形
1．在Rt ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，AC ＝3，则BC 的长为（ ）
A ．3sin40°
B ．3sin50°
C ．3tan40°
D ．3tan50°
2．如图，在等腰ABC 中，,AB AC BD AC =⊥于点3
5D cosA =,，则sin CBD ∠的值（
）
A ．1
2 B ．2 C D
3．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝，则AB 的长为( )
A ．
B ．
C ．4
D ．
4．如图，在△ABC 中，∠A=30°，AB 的长是（ ）
A．4 B．C．5 D．
5．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为( )
A．2 B．C 1 D 1
类型三：解直角三角形的实际应用
1．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面故置的标杆在地面的影长为2米，则树的高度为（）
A．(6米B．12米C．(4+米D．10米
2．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1，坝高BC＝3m，则AB的长度为（）
A．6m B．m C．9m D．
3．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（ ）
A ．3米 B
米 C ．2米 D ．1米
4．如图，小区内有一条南北方向的小路MN ，快递员从小路旁的A 处出发沿南偏东53°方向行走200m 将快递送至B 楼，又继续从B 楼沿南偏西30°方向行走120m 将快递送至C 楼，求此时快递员到小路MN 的距离．（计算结果精确到1m ．参考数据：sin530.80,cos530.60,tan53 1.33︒≈︒≈︒≈
）
5．如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB 、小刚在D 处用高1.5m 的测角仪CD ，测得教学楼顶端A 的仰角为30°，然后向教学楼前进40m 到达E ，又测得教学楼顶端A 的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB ．（结果带根号）
6．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60︒，沿坡
面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45︒，已知山坡AB
的坡度i=6
AB=米，广告牌CD
的高度为3米．
()1求点B距水平面AE的高度BH；
()2求楼房DE的高度.(测角器的高度忽略不计，结果保留根号)
参考答案
专题一：锐角三角函数
类型一：正弦
1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】A 类型二：余弦
1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】D
类型三：正切
1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】A
类型四：特殊角的三角函数
1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】C
类型五：互余两角的三角函数值
1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B
专题二：解直角三角形及其应用
类型一：解直角三角形
1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】C 类型二：解非直角三角形
1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】D
类型三：解直角三角形的实际应用
1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B
4．【详解】【答案】120m
如图，过B 作BD ⊥MN 于D ，过C 作CE ⊥MN 于E ，过B 作BF ⊥EC 于F ，
则四边形DEFB 是矩形，∴BD =EF ，
在Rt △ABD 中,ADB 90∠=︒ ,53DAB ∠=︒，AB =200m ，
∴sin532000.8160BD AB =︒=⨯=m ，
在Rt △BCF 中,90BFC ∠=︒ ,3CBF 0∠=︒，BC =120m ， ∴1602
CF BC ==m ，∴16060100CE EF CF =-=-=m ，答：快递员到小路MN 的距离是100m . 5．解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG ＝AG FG ，∴FG ＝tan AG AFG ∠
＝3AG ．
在Rt△ACG中，tan∠ACG＝AG
CG，∴CG＝tan
AG
ACG
∠
．又CG−FG＝40
−
AG
＝40，∴
AG＝
AB＝
＋1.5．
答：这幢教学楼的高度AB为（
1.5）米．
6．解：（1）Rt△ABH中，i=tan∠
3
=
，∴∠BAH=30°，∴BH=
1
2AB=3米；
（2）如图，过B作BG⊥DE于G，设AE=x米，∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，
∴四边形BHEG是矩形．∵由（1）得：BH=3，
AH=
∴BG=AH+AE=
（）米，EG= BH=3，Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴
CG=BG=，∴
CE=CG+EG=3+，∴
DE=CE-CD=3+
，
Rt△ADE中，∠DAE=60°，∴tan60
DE
AE
==
，
∴x=，∴
9
2
x
+
=
，∴DE ==
9
2
+
.
答：楼房DE的高度为（9
2
+
）米．。