第四章几何图形初步必解题(含详解)

第四章几何图形初步必解题（含详解）
一．选择题（共8小题）
1．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥
2．一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是（）
A．中B．考C．顺D．利
3．由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较从三个不同方向看到的平面图形的面积，则（）
A．从三个不同方向看到的平面图形的面积一样大
B．从正面看到的平面图形面积最小
C．从左面看到的平面图形的面积最小
D．从上面看到的平面图形的面积最小
4．如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（）
A．9B．8C．7D．6
5．一条直线上有n个点，则以这n个点为端点的射线共有（）
A．n条B．（n+1）条C．（n+2）条D．2n条
6．如图，将一张长方形纸片折叠，使折痕成为一个直角的平分线，正确的折法是（）
A．B．
C．D．
7．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD的度数等于（）
A．30°B．35°C．20°D．40°
8．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α＝∠β的图形个数共有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二．填空题（共5小题）
9．如图，把一个正方体截去一个角后得到的几何体有个面，有个顶点，有条棱．
10．如图，点A，B，C，D，E是直线l上的点，点P是直线l外一点，则以P为端点且经
过A，B，C，D，E中的一点的射线有条；以A为一个端点且以B，C，D，E，P中的一点为另一个端点的线段共有条；经过P，A，B，C，D，E中的两点的不同直线共有条．
11．如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为．
12．85°30′18″＝度．
13．把一张长方形纸按图所示折叠后，如果∠AOB′＝20°，那么∠BOG的度数是．
三．解答题（共22小题）
14．如图是一个食品包装盒的表面展开图，其底面为正六边形．
（1）请写出这个包装盒的几何体的名称；
（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积．
15．如图，是一个棱柱的平面展开图，每个面上都标上了字母，请根据要求回答下列问题．（1）如果面A在棱柱的下面，那么上面是哪个面？
（2）如果从前面看是面F，从左面看是面B，那么从上面看是哪个面？
（3）如果从后面看是面D，从右面看是面C，那么从上面看是哪个面？
16．往返甲、乙两地的客运火车中途停靠三个站，分别为A、B、C（假设该车只们硬座，且是各站距离不相等）．
（1）有多少种不同的票价？
（2）要准备多少种车票？
17．如图，点C在线段AB上，点M、N分别为AC、BC的中点．
（1）若AC＝6cm，AB＝10cm，求线段BC的长；求线段MN的长；
（2）若AB＝acm，求线段MN的长；
18．如图，点C在数轴上，且AC：BC＝1：5，求点C对应的数．
19．如图所示，已知BC＝AB＝CD，点E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝60厘米，求AB，CD的长．
20．（1）如图，已知点C在线段AB上，线段AC＝12，BC＝8，点M，N分别是AC、BC 的中点，求线段MN的长度．
（2）根据（1）的计算过程与结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？并说明理由．
21．已知线段AB＝14，在AB上有四个点C，D，M，N，且AC：CD：DB＝1：2：4，AM ＝AC，DN＝DB，计算线段MN的长．
22．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速
度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）当0＜t＜5时，用含t的式子填空：BP＝，AQ＝；
（2）当t＝2时，求PQ的值；
（3）当PQ＝AB时，求t的值．
23．已知时钟在5点到6点之间，分析时钟的时针与分针成直角时的时间可能是几点几分？24．观察下图，回答下列问题：
（1）在图①中有几个角？
（2）在图②中有几个角？
（3）在图③中有几个角？
（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？
25．如图，∠AOD＝120°，∠2＝2∠1＝60°，求：
（1）∠DOC的度数；
（2）∠BOD的度数．
26．（1）如图①，∠AOB＝80°，OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC、∠AOC，求∠DOE的度数；
（2）如图②，在（1）中，把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC是∠AOB内任意一射线”，其他任何条件都不变，试求∠DOE的度数；
（3）如图③，在（1）中，把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC是∠AOB外任意一射线”，其他任何条件都不变，请问：能否求出∠DOE的度数，并说明理由；
（4）在（2）、（3）中，若把“∠AOB＝80°”改为“∠AOB＝α”，其他条件不变，则∠DOE的度数是多少，请直接写出你的结论．
27．一个角的余角的2倍比这个角的补角还小40°．求这个角的余角及补角．
28．设∠α、∠β度数分别为（2n﹣1）°和（68﹣n）°，且∠α、∠β都是∠γ的补角，解答下列问题：
（1）试求n的值；
（2）∠α与∠β能否互余，为什么？
29．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O．
（1）若∠BOD＝32°，求∠AOE的度数．
（2）若OF平分∠AOC，写出与∠AOF的互补的角．
30．如图，已知∠1＝20°，∠AOE＝86°，OB平分∠AOC，OD平分∠COE （1）求∠3的度数；
（2）若以O为观察中心，OA为正东方向，则射线OD在什么方向﹖
（3）若以OA为钟表上的时针，OD为分针，且OA正好在“3”的下方不远，你知道此刻的时间吗（精确到分钟）﹖
31．如图，OE是直角∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，若∠EOD＝70°，求∠BOC 的度数．
32．如图，∠DOE：∠BOE＝1：2，∠DOC：∠COA＝1：2，如果∠AOB＝120°，那么∠EOC是多少度？
33．如图，若∠1：∠2：∠3＝1：3：5，∠4＝90°，求∠1，∠2，∠3的度数．
34．已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，求∠COF的度数．
35．已知：如图，OC是∠AOB的平分线．
（1）当∠AOB＝66°时，求∠AOC的度数；（2）在（1）的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；
（3）当∠AOB＝α时，∠EOC＝90°，直接写出∠AOE的度数．（用含α的代数式表示）
第四章几何图形初步必解题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（）A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥
【分析】根据四棱锥的特点，可得答案．
【解答】解：四棱锥的底面是四边形，侧面是四个三角形，
底面有四条棱，侧面有4条棱，
故选：D．
【点评】本题考查了认识立体图形，熟记常见几何体的特征是解题关键．
2．一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是（）
A．中B．考C．顺D．利
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“祝”与“考”是相对面，
“你”与“顺”是相对面，
“中”与“利”是相对面．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
3．由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较从三个不同方向看到的平面图形的面积，则（）
A．从三个不同方向看到的平面图形的面积一样大
B．从正面看到的平面图形面积最小
C．从左面看到的平面图形的面积最小
D．从上面看到的平面图形的面积最小
【分析】首先根据立体图形可得俯视图、主视图、左视图所看到的小正方形的个数，再根据所看到的小正方形的个数可得答案．
【解答】解：主视图有5个小正方形，左视图有3个小正方形，俯视图有4个小正方形，从左面看图形面积最小．
故选：C．
【点评】此题主要考查了组合体的三视图，关键是注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
4．如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（）
A．9B．8C．7D．6
【分析】如图：主视图底面共有4个小正方体，左视图底面有2个小正方体，共有3行，俯视图可知该几何体共有2行，由此可得出正方体个数．
【解答】解：根据图形，主视图底面有4个小正方体，左视图有2个，俯视图得出该几何体共有2行，
可知底面有5个正方体，第2行有2个，第3行有1个，共计有8个小正方体．
故选：B．
【点评】本题难度简单，主要考查的是三视图的基本知识以及空间想象能力．
5．一条直线上有n个点，则以这n个点为端点的射线共有（）
A．n条B．（n+1）条C．（n+2）条D．2n条
【分析】一个点对应两个不同的射线，从而可得出n个点为端点的射线数量．
【解答】解：一条直线上有n个不同点，以这n个点为端点的射线共有2n条．
故选：D．
【点评】本题考查了射线的知识，注意一条直线上的一点对应两条射线．
6．如图，将一张长方形纸片折叠，使折痕成为一个直角的平分线，正确的折法是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据图形翻折变换的性质及角平分线的定义对各选项进行逐一判断．
【解答】解：A、当长方形如A所示对折时，其折痕在长方形中央，显然不和能经过各角的顶点，故本选项错误；
B、当如B所示折叠时，其重叠部分两角的和小于90°，故本选项错误；
C、当如C所示折叠时，折痕不经过长方形任何一角的顶点，所以不可能是角的平分线，
故本选项错误；
D、当如D所示折叠时，两角的和是90°，由折叠的性质可知其折痕必是其角的平分线，
正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的定义及图形折叠的性质，熟知图形折叠的性质是解答此题的关键．
7．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD的度数等于（）
A．30°B．35°C．20°D．40°
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOC＝∠EOC，然后根据对顶角相等解答即可．【解答】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，
∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
8．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α＝∠β的图形个数共有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据直角三角板可得第一个图形∠β＝45°，进而可得∠α＝45°；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第三个图形中∠α＝∠β，第四个图形∠α和∠β互补．【解答】解：根据角的和差关系可得第一个图形∠α＝∠β＝45°，
根据同角的余角相等可得第二个图形∠α＝∠β，
根据同角的补角相等可得第三个图形∠α＝∠β，
因此∠α＝∠β的图形个数共有3个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
二．填空题（共5小题）
9．如图，把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有10个顶点，有15条棱．
【分析】根据正方体原有的面数，顶点数，棱的条数，以及正方体截去一个角后，面、顶点、棱的变化情况，形数结合求解．
【解答】解：正方体原有6个面，8个顶点，12条棱，
把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有10个顶点，有15条棱．
故答案为：7，10，15．
【点评】本题考查了正方体的截面．关键是明确正方体的面数，顶点数，棱的条数，形数结合，求出截去一个角后得到的几何体的面数，顶点数，棱的条数．
10．如图，点A，B，C，D，E是直线l上的点，点P是直线l外一点，则以P为端点且经过A，B，C，D，E中的一点的射线有5条；以A为一个端点且以B，C，D，E，P 中的一点为另一个端点的线段共有5条；经过P，A，B，C，D，E中的两点的不同直线共有6条．
【分析】根据线段、射线、直线的定义及特点结合图形即可得出答案．
【解答】解：P为端点且经过A，B，C，D，E中的一点的射线有：射线：P A，PB，PC，PD，PE，共5条；
以A为一个端点且以B，C，D，E，P中的一点为另一个端点的线段有：AB，AC，AD，AE，共5条；
经过P，A，B，C，D，E中的两点的不同直线有：
直线P A，PB，PC，PD，PE，AB（A，B，C，D，E中任意两个点即可），共6条．故答案为：5，5，6．
【点评】本题考查直线、射线及线段的知识，属于基础题，难度不大，注意基本概念的掌握是解决此类题目的关键．
11．如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为10．
【分析】n条直线最多可将平面分成S＝1+1+2+3…+n＝n（n+1）+1，依此可得等量关系：n条直线最多可将平面分成56个部分，列出方程求解即可．
【解答】解：依题意有
n（n+1）+1＝56，
解得n1＝﹣11（不合题意舍去），n2＝10．
答：n的值为10．
故答案为：10．
【点评】考查了点、线、面、体，规律性问题及一元二次方程的应用；得到分成的最多平面数的规律是解决本题的难点．
12．85°30′18″＝85.505度．
【分析】根据小单位化大单位除以进率，可得答案．
【解答】解：85°30′18″＝85°30.3′＝85.505°，
故答案为：85.505．
【点评】本题考查了度分秒的换算，小单位化大单位除以进率60是解题关键．
13．把一张长方形纸按图所示折叠后，如果∠AOB′＝20°，那么∠BOG的度数是80°．
【分析】根据轴对称的性质可得∠B′OG＝∠BOG，再根据∠AOB′＝20°，可得出∠BOG的度数．
【解答】解：根据轴对称的性质得：∠B′OG＝∠BOG
又∠AOB′＝20°，可得∠B′OG+∠BOG＝160°
∴∠BOG＝×160°＝80°．
故答案为80°．
【点评】本题考查轴对称的性质，在解答此类问题时要注意数形结合的应用．
三．解答题（共22小题）
14．如图是一个食品包装盒的表面展开图，其底面为正六边形．
（1）请写出这个包装盒的几何体的名称；
（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积．
【分析】（1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答；
（2）侧面积为6个长方形的面积之和，即可解答．
【解答】解：（1）这个包装盒为直六棱柱．
（2）S侧＝6ab．
【点评】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图．
15．如图，是一个棱柱的平面展开图，每个面上都标上了字母，请根据要求回答下列问题．（1）如果面A在棱柱的下面，那么上面是哪个面？
（2）如果从前面看是面F，从左面看是面B，那么从上面看是哪个面？
（3）如果从后面看是面D，从右面看是面C，那么从上面看是哪个面？
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．这是一个长方体的平面展开图，共有六个面，其中面“A”与面“B”相对，面“F”与面“D”相对，“C”与面“E”相对．【解答】解：这是一个长方体的平面展开图，共有六个面，其中面“A”与面“B”相对，面“F”与面“D”相对，“C”与面“E”相对．
（1）如果面A在棱柱的下面，那么上面是B面；
（2）如果从前面看是面F，从左面看是面B，那么从上面看是E面；
（3）如果从后面看是面D，从右面看是面C，那么从上面看是A面．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入
手，分析及解答问题．
16．往返甲、乙两地的客运火车中途停靠三个站，分别为A、B、C（假设该车只们硬座，且是各站距离不相等）．
（1）有多少种不同的票价？
（2）要准备多少种车票？
【分析】先求出线段条数，一条线段就是一种票价，车票是要考虑顺序，求解即可．【解答】解：（1）此题相当于一条线段上有3个点，有多少种不同的票价即有多少条线段：4+3+2+1＝10；
答：有10种不同的票价；
（2）有多少种车票是要考虑顺序的，则有10×2＝20．
答：需准备20种车票．
【点评】本题主要考查运用数学知识解决生活中的问题；关键是需要掌握正确数线段的方法．
17．如图，点C在线段AB上，点M、N分别为AC、BC的中点．
（1）若AC＝6cm，AB＝10cm，求线段BC的长；求线段MN的长；
（2）若AB＝acm，求线段MN的长；
【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN即可求出MN的长度即可，
（2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则存在MN＝a，【解答】解：（1）∵AC＝6cm，AB＝10cm，
∴BC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4（cm）．
∵AC＝6cm，点M是AC的中点，
∴CM＝AC＝3cm，
∵BC＝4cm，点N是BC的中点，
∴CN＝BC＝2cm，
∴MN＝CM+CN＝5cm，
∴线段MN的长度为5cm，
（2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则存在MN＝a．【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．
18．如图，点C在数轴上，且AC：BC＝1：5，求点C对应的数．
【分析】分两种情况讨论，①点C在线段AB上，②点C在BA的延长线上，根据比例设出未知数，利用方程思想求解．
【解答】解：分两种情况：
①点C在线段AB上，
设AC＝x，BC＝5x，
则x+5x＝10+14，
解得：x＝4，
∴点C对应的数是﹣6．
②点C在BA的延长线上，
设AC＝x，BC＝5x，
则5x﹣x＝10+14，
解得：x＝6，
∴点C对应的数是﹣16．
【点评】本意考查了两点间的距离，解答本题的关键是分情况讨论，注意数形结合思想及方程思想的运用．
19．如图所示，已知BC＝AB＝CD，点E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝60厘米，求AB，CD的长．
【分析】设出BC＝x厘米，则有AB＝3x，CD＝4x，利用线段之间的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系而求解．
【解答】解：设BC＝x厘米，由题意得：AB＝3x，CD＝4x
∵E，F分别是AB，CD的中点
∴BE＝AB＝x，CF＝CD＝2x
∴EF＝BE+CF﹣BC＝x+2x﹣x
即x+2x﹣x＝60，解得x＝24
∴AB＝3x＝72（厘米），CD＝4x＝96（厘米）．
答：线段AB长为72厘米，线段CD长为96厘米．
【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
20．（1）如图，已知点C在线段AB上，线段AC＝12，BC＝8，点M，N分别是AC、BC 的中点，求线段MN的长度．
（2）根据（1）的计算过程与结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？并说明理由．
【分析】（1）根据线段的中点的性质，可得MC、NC的长，再根据线段的和差，可得答案；
（2）根据线段的中点的性质，可得MC、NC的长，再根据线段的和差，可得答案．【解答】解：（1）点M、N分别是AC、BC的中点，AC＝12，BC＝8，
MC＝AC÷2＝12÷2＝6，
NC＝CB÷2＝8÷2＝4，
由线段的和差，得
MN＝MC+NC
＝6+4
＝10．
答：线段MN的长是10；
（2）MN＝a，
理由：∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM＝AC，CN＝BC，
∴MN＝CM+CN＝（AC+BC）＝a．
【点评】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟记线段中点的定义是解题的关键．
21．已知线段AB＝14，在AB上有四个点C，D，M，N，且AC：CD：DB＝1：2：4，AM ＝AC，DN＝DB，计算线段MN的长．
【分析】根据题意画出图形，分别求得CM，CD，DN的值即可求得线段MN的长，即可解题．
【解答】解：①当N在D右侧时，
∵AC：CD：DB＝1：2：4，AC+CD+DB＝14，
∴AC＝2，CD＝4，BD＝8，
∵AM＝AC，∴CM＝1，
∵DN＝DB，∴DN＝＝，
∴MN＝CM+CD+DN＝1+4+＝．
②当N在D左边时，MN＝CM+（CD﹣DN）＝1+4﹣＝．
综上所述MN为或．
【点评】本题考查了线段长度的计算，分别求出CM，CD，DN的长是解题的关键．22．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）当0＜t＜5时，用含t的式子填空：BP＝5﹣t，AQ＝10﹣2t；
（2）当t＝2时，求PQ的值；
（3）当PQ＝AB时，求t的值．
【分析】（1）先求出当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为
2t＜10，再根据两点间的距离公式即可求出BP，AQ的长；
（2）先求出当t＝2时，P点对应的有理数为10+2＝12，Q点对应的有理数为2×2＝4，再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长；
（3）由于t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，根据两点间的距离公式得出PQ＝|2t﹣（10+t）|＝|t﹣10|，根据PQ＝AB列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，
∴BP＝15﹣（10+t）＝5﹣t，AQ＝10﹣2t．
（2）当t＝2时，P点对应的有理数为10+2＝12，Q点对应的有理数为2×2＝4，
所以PQ＝12﹣4＝8；
（3）∵t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，
∴PQ＝|2t﹣（10+t）|＝|t﹣10|，
∵PQ＝AB，
∴|t﹣10|＝5，
解得t＝15或5．
故t的值是15或5．
故答案为：5﹣t，10﹣2t．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，（3）中解方程时要注意分两种情况进行讨论．
23．已知时钟在5点到6点之间，分析时钟的时针与分针成直角时的时间可能是几点几分？
【分析】根据时针每分钟走度，而分针每分钟就走6度，设时针在5点x分钟时，时针与分针成直角，然后分当时针在分针的后面和分针在时针的后面两种情况，分别列出方程，即可求出答案．
【解答】解：根据时针每分钟走度，而分针每分钟就走6度，5点钟时针与分针角度为150度，
设时针在5点x分钟时，时针与分针成直角，根据题意得：
（1）当分针在时针的后面，
150+x﹣6x＝90，
解得：x＝．
时钟的时针与分针在5时分时刻成直角；
（2）当时针在分针的后面，
6x﹣150﹣x＝90，
解得：x＝，
时钟的时针与分针在5时分时刻成直角；
综上可知，时钟的时针与分针在5时分或5时分时刻成直角．
故答案为5时分或5时分．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角，关键是根据时针与分针转动的度数关系即时针每分钟走度，而分针每分钟就走6度，列出方程，求出x的值，要注意分两种情况．
24．观察下图，回答下列问题：
（1）在图①中有几个角？
（2）在图②中有几个角？
（3）在图③中有几个角？
（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？
【分析】解答此题首先要弄清楚题目的规律：当图中有n条射线时，每条射线都与（n﹣1）条射线构成了（n﹣1）个角，则共有n（n﹣1）个角，由于两条射线构成一个角，因此角的总数为：，可根据这个规律，直接求出（1）（2）（3）的结论；
在解答（4）题时，首先要弄清图中共有多少条射线，已知角内共n条射线，那么图中共
有（n+2）条射线，代入上面的规律，即可得到所求的结论．
【解答】解：由分析知：
（1）①图中有2条射线，则角的个数为：＝1（个）；
（2）②图中有3条射线，则角的个数为：＝3（个）；
（3）③图中有4条射线，则角的个数为：＝6（个）；
（4）由前三问类推，角内有n条射线时，图中共有（n+2）条射线，则角的个数为个．
【点评】解答此类规律型问题，一定要弄清题目的规律，可以从简单的图形入手进行总结，然后得到一般化结论再进行求解．
25．如图，∠AOD＝120°，∠2＝2∠1＝60°，求：
（1）∠DOC的度数；
（2）∠BOD的度数．
【分析】（1）由∠DOC＝∠AOD﹣∠2，将∠AOD＝120°，∠2＝60°，代入即可；
（2）由∠2＝2∠1＝60°，先求出∠1＝30°，然后根据∠BOD＝∠AOD+∠1，将∠AOD ＝120°，∠1＝30°，代入即可．
【解答】解：（1）∵∠DOC＝∠AOD﹣∠2，∠AOD＝120°，∠2＝60°，
∴∠DOC＝120°﹣60°＝60°；
（2）∵∠2＝2∠1＝60°，
∴∠1＝×60°＝30°，
∵∠BOD＝∠AOD+∠1，
∴∠BOD＝120°+30°＝150°．
【点评】此题考查了角的计算，解题的关键是：将∠DOC化为∠AOD﹣∠2；将∠BOD 化为∠AOD+∠1．
26．（1）如图①，∠AOB＝80°，OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC、∠AOC，求∠DOE的度数；
（2）如图②，在（1）中，把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC是∠AOB内任意一射线”，其他任何条件都不变，试求∠DOE的度数；
（3）如图③，在（1）中，把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC是∠AOB外任意一射线”，其他任何条件都不变，请问：能否求出∠DOE的度数，并说明理由；
（4）在（2）、（3）中，若把“∠AOB＝80°”改为“∠AOB＝α”，其他条件不变，则∠DOE的度数是多少，请直接写出你的结论．
【分析】（1）根据角平分线定义求出∠BOC和∠AOC度数，即可得出答案；
（2）根据角平分线定义得出∠COD＝∠BOC，∠COE＝∠AOC，求出∠DOE＝∠COD+∠COE＝∠AOB，代入求出即可；
（3）根据角平分线定义得出∠COD＝∠BOC，∠COE＝∠AOC，求出∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝∠AOB，代入求出即可；
（4）根据角平分线定义得出∠COD＝∠BOC，∠COE＝∠AOC，求出答案即可．【解答】解：（1）∵∠AOB＝80°，OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOB＝40°，
∵OD、OE分别平分∠BOC、∠AOC，
∴∠COD＝∠BOC＝20°，∠COE＝∠AOC＝20°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝20°+20°＝40°；
（2）∵OD、OE分别平分∠BOC、∠AOC，
∴∠COD＝∠BOC，∠COE＝∠AOC，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠BOC+∠AOC）＝∠AOB＝×80°＝40°；
（3）∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝∠BOC﹣∠AOC＝（∠BOC﹣∠AOC）＝∠AOB＝×80°＝40°；
（4）图2中，∠DOE＝∠DOC+∠COE＝∠BOC+∠AOC＝（∠BOC+∠AOC）＝∠AOB＝×α＝，
图3中，∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝∠BOC﹣∠AOC＝（∠BOC﹣∠AOC）＝∠AOB＝×α＝，
即∠DOE＝α；
如图，
此时∠DOE＝∠DOC+∠COE＝BOC+AOC＝（360°﹣∠AOB）＝180°﹣，
所以∠DOE＝或180°﹣α．
【点评】本题考查了角的平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生的计算能力，用了分类讨论思想．
27．一个角的余角的2倍比这个角的补角还小40°．求这个角的余角及补角．【分析】这类题目要先设出这个角的度数．设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数．
【解答】解：设这个角为x°，则其余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°，依题意有
180﹣x﹣40＝2（90﹣x），
解得x＝40．
余角为：90°﹣40°＝50°，
补角：180°﹣40°＝140°，
答：这个角的余角度数是50度．补角度数为140°．
【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，列出方程是解题的关键．
28．设∠α、∠β度数分别为（2n﹣1）°和（68﹣n）°，且∠α、∠β都是∠γ的补角，解答下列问题：
（1）试求n的值；
（2）∠α与∠β能否互余，为什么？
【分析】（1）根据补角的性质，可得∠α、∠β，根据解方程，可得答案；
（2）根据余角的定义，可得答案．
【解答】解：（1）由∠α、∠β都是∠γ的补角，得
∠α＝∠β，即（2n﹣1）°＝（68﹣n）°．
解得n＝23；
（2）∠α与∠β互余，理由如下：
∠α＝（2n﹣1）°＝45°，∠β＝（68﹣n）°＝45°，
∵∠α+∠β＝90°，
∴∠α与∠β互为余角．
【点评】本题考查了余角和补角，利用了补角的性质，余角的定义．
29．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O．
（1）若∠BOD＝32°，求∠AOE的度数．
（2）若OF平分∠AOC，写出与∠AOF的互补的角．
【分析】（1）直接利用垂线的定义结合已知得出∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠BOD，求出答案；
（2）利用互补的定义得出与∠AOF的互补的角．
【解答】解：（1）因为OE⊥CD，
所以∠EOD＝90°；
因为∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，∠BOD＝32°，
所以∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠BOD＝180°﹣90°﹣32°＝58°．
（2）因为∠AOF+∠FOB＝180°，
所以∠AOF与∠FOB互补；
因为∠COF+∠FOD＝180°，
所以∠COF与∠FOD互补；
因为OF平分∠AOC，
所以，
所以∠AOF与∠FOD互补．
综上所述：与∠AOF的互补的角有：∠FOB，∠FOD．
【点评】此题主要考查了垂线以及角平分线的定义，正确掌握互补的定义是解题关键．30．如图，已知∠1＝20°，∠AOE＝86°，OB平分∠AOC，OD平分∠COE （1）求∠3的度数；
（2）若以O为观察中心，OA为正东方向，则射线OD在什么方向﹖
（3）若以OA为钟表上的时针，OD为分针，且OA正好在“3”的下方不远，你知道此刻的时间吗（精确到分钟）﹖
【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠AOC的度数，根据角的和差，可得∠COE，根据角平分线的性质，可得答案；
（2）根据角的和差，可得∠AOD的度数，根据方向角的表示方法，可得答案；
（3）根据时针旋转的度数减分针旋转的度数，可得答案．。