2022年黑龙江省哈尔滨市第三十八中学高一数学理期末试卷含解析

2022年黑龙江省哈尔滨市第三十八中学高一数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中，若，则△是（）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形
参考答案：
B
略
2. =（）
A．B．C．1 D．3
参考答案：
C
【考点】GR：两角和与差的正切函数．
【分析】观察发现：12°+18°=30°，故利用两角和的正切函数公式表示出tan（12°+18°），利用特殊角的三角函数值化简，变形后即可得到所求式子的值．
【解答】解：由tan30°=tan（12°+18°）==，
得到tan12°+tan18°=1﹣tan12°?tan18°
则=tan12°+tan18°+tan12°?tan18°=1．故选：C．
3. 已知函数若函数有4个零点，则实数a的取值范围是
（）
A. B. C. D.
参考答案：B
【分析】
令g(x)=0得f(x)=a,再利用函数的图像分析解答得到a的取值范围.
【详解】令g(x)=0得f(x)=a,
函数f(x)的图像如图所示，
当直线y=a在x轴和直线x=1之间时，函数y=f(x)的图像与直线y=a有四个零点，
所以0＜a＜1.
故选：B
【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
4. 已知幂函数f（x）=xα的图象过点(2，)，则函数g（x）=（x﹣2）f（x）在区间[，1]上的最小值是（）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
参考答案：
C
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】求出幂函数f（x）的解析式，从而求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出g（x）在闭区间上的最小值即可．
【解答】解：∵幂函数f（x）=xα的图象过点，
∴2α=，解得：α=﹣1，
故g（x）==1﹣，
而g（x）在[，1]递增，
故g（x）min=g（）=﹣3，
故选：C．
5. 若函数= 的定义域为,则实数的取值范围是（）
A． B. C. D.
参考答案：
B
略
6. 设x、y满足约束条件，若目标函数（其中)的最大值为3,则的最小值为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
参考答案：
C
7. 甲、乙两种农作物品种连续5季的单位面积平均产量如下（单位：t/hm），根据这组
数据，下列说法正确的是_
(A)甲品种的样本平均数大于乙品种的样本平均数
( B）甲品种的样本平均数小于乙品种的样本平均数
(C)甲品种的样本方差大于乙品种的样本方差
(D)甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差参考答案：
D
8. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是
A. B. C. D.
参考答案：
C
试题分析：由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含
、、，又，，所以所事件的概率为
，故选C．
9. 两圆和的位置关系是（）
A 相离
B 相交
C 内切
D 外切
参考答案：
B
10. 下列函数是奇函数的是( )
A．y=x B．y=2x2 C．y=2x D．y=x2，x∈[0，1]
参考答案：
A
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】先求函数的定义域，再判定f（﹣x）与±f（x）的关系．
【解答】解：A．其定义域为R，关于原点对称，又f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），因此是奇函数；
B．其定义域为R，关于原点对称，又f（﹣x）=2x2=f（x），因此是偶函数；
C．非奇非偶函数；
D．其定义域关于原点不对称．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的奇偶性的判定方法、函数的定义域求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. sin1，sin2，sin3，sin4的大小顺序是__________．
参考答案：
sin2＞sin1＞sin3＞sin4
考点：正弦函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据正弦函数的图象和性质结合三角函数的诱导公式和函数的单调性即可得到结论．
解答：解：∵1是第一象限，2，3是第二象限，4是第三象限，
∴sin4＜0，sin2＞sin3＞0，
∵sin1=sin（π﹣1），
且2＜π﹣1＜3，
∴sin2＞sin（π﹣1）＞sin3，
即sin2＞sin1＞sin3＞sin4，
故答案为：sin2＞sin1＞sin3＞sin4
点评：本题主要考查三角函数值的大小比较，根据三角函数的诱导公式以及正弦函数的单调性是解决本题的关键
12. 设是由正数组成的等差数列，是其前n项和.
（1）若；
（2）已知互不相等的正整数，满足p＋q＝2m.证明：；
（3）是否存在常数和等差数列，使恒成立（n∈N*）？若存
在，试求出常数和数列的通项公式；若不存在，请说明理由.
参考答案：
(基本量法也可行) （也可用基本不等式直接证）.
略
13. 已知函数y=log （x 2
﹣ax+a ）在（3，+∞）上是减函数，则a 的取值范围是 ．
参考答案：
（﹣∞，]
【考点】复合函数的单调性．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】函数为复合函数，且外函数为减函数，只要内函数一元二次函数在（
3，+∞）上是增函数且在（3，+∞）上恒大于0即可，由此得到关于a 的不等式求解． 【解答】解：令t=x
2﹣ax+a ，
则原函数化为，此函数为定义域内的减函数．
要使函数y=log
（x 2
﹣ax+a ）在（3，+∞）上是减函数，
则内函数t=x 2﹣ax+a 在（3，+∞）上是增函数，
∴，解得：a ．
∴a 的取值范围是（﹣∞，]． 故答案为：（﹣∞，]．
【点评】本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题． 14. 若函数
的图象如右图，则不等式
的解集为 ▲ .
参考答案：
15. 已知函数是奇函数，则常数 。

参考答案：
16. 已知直线a ，b 和平面
，且
，则与
的位置关系是 .
参考答案：
或
17. 若曲线
与直线
有两个交点，则的取值范围是__________________.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （15分）若集合A={﹣1，3}，集合B={x|x 2
+ax+b=0}，且A=B ，求实数a 、b ．
参考答案：
考点： 集合的相等． 专题： 集合．
分析： 由集合A={﹣1，3}=B={x|x 2+ax+b=0}，故﹣1，3为方程x 2+ax+b=0两个根，由韦达定理可得实数a 、b 的值．
解答： ∵集合A={﹣1，3}，集合B={x|x 2+ax+b=0}，且A=B ， 故﹣1，3为方程x 2+ax+b=0两个根，
由韦达定理可得：﹣1+3=2=﹣a ，﹣1×3=﹣3=b ，
即a=﹣2，b=﹣3
点评： 本题考查的知识点是集合相等，其中根据已知得到﹣1，3为方程x 2+ax+b=0两个根，是解答的
关键．
19. 临近年终，郑州一蔬菜加工点分析市场发现：当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y（万元）可以看成月产量x（吨）的二次函数，当月产量为10吨时，月总成本为20万元，当月产量为15万吨时，月总成本最低且为17.5万元．
（1）写出月总成本y（万元）关于月产量x（吨）的函数关系；
（2）已知该产品销售价位每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润，并求出最大利润．
参考答案：
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）由题意可设：y=a（x﹣15）2+17.5（a∈R，a≠0），将x=10，y=20代入上式解出即可得出．
（2）设利润为Q（x），则，
（10≤x≤25），利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）由题意可设：y=a（x﹣15）2+17.5（a∈R，a≠0），
将x=10，y=20代入上式得：20=25a+17.5，
解得，
∴（10≤x≤25）．
（2）设利润为Q（x），
则，（10≤x≤25），因为x=23∈[10，25]，所以月产量为23吨时，可获得最大利润12.9万元．20. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.
(1)求角B的大小; (2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.
参考答案：略
21. 设为实常数，函数．
(1)当时，，试求实数的取值范围．
(2)当时，求在的最小值；当时，试写出的最小值（不必写出解答过程）．
(3)当时，求不等式的解集．
参考答案：
（1）因为当时，，故，
（2）当时，
故在的最小值为
当时，，
当时，，
综上，当时，
（3）时，由，得，
当时，；
当时，△>0,得：
讨论得：
当时，
解集为；
当时，
解集为；
当时，
解集为．
22. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
参考答案：
(1) ．(2)
【分析】
（1）先利用正弦定理角化边，然后根据余弦定理求角；（2）利用余弦定理以及基本不等式求解最值，注意取等号的条件. 【详解】解：（1）由正弦定理得，
由余弦定理得，
∴．又∵，∴．
（2）由余弦定理得，即，
化简得，
，
即，
当且仅当时，取等号．
∴．
【点睛】在三角形中，已知一角及其对边，求解周长或者面积的最值的方法：未给定三角形形状时，直接利用余弦定理和基本不等式求解最值；给定三角形形状时，先求解角的范围，然后根据正弦定理进行转化求解.。