【配套K12】2017_2018学年高中数学学业分层测评8含解析北师大版选修2_1

学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题 1．给出下列命题：
①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；
②已知向量a ∥b ，则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；
③A 、B 、M 、N 是空间四点，若BA →、BM →、BN →
不能构成空间的一个基底，那么A 、B 、M 、N 共面；
④已知向量组{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底．
其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
【解析】 空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底，故①正确；②中，a ∥b ，则a ，b 与其他任一向量共面，不能作为基底；③中，向量BA →，BM →，BN →
共面，则A 、B 、M 、N 共面；④中，a 与m ，b 不共面，可作为空间一个基底．故①②③④均正确．
【答案】 D
2．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝α a ＋β b ＋γ c ，则α、β、γ分别为( )
A.52，－1，－12 B ．52，1，1
2 C ．－52，1，－12
D ．52，1，－12
【解析】 d ＝α a ＋β b ＋γ c
＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3) ＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3 ＝e 1＋2e 2＋3e 3.
由向量基底表示唯一性得
⎩⎪⎨⎪
⎧
α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
α＝52
，
β＝－1，
γ＝－12.
【答案】 A
3．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为
( )
A ．1
B ．－1 C.14
D ．－14
【解析】 a·i ＝|a ||i |cos 〈a ，i 〉， ∴|a |cos 〈a ，i 〉＝a·i
|i |
＝(i ＋2j ＋3k )·i ＝1. 【答案】 A
4．如图2­3­9，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D 是面BB 1C 1C 的中心，且AA 1→
＝a ，AB →＝b ，AC →
＝c ，则A 1D →
＝(
)
图2­3­9
A.12a ＋12b ＋12c
B.12a －12b ＋12c
C.12a ＋12b －12c D ．－12a ＋12b ＋12
c
【解析】 A 1D →
＝A 1C 1→
＋C 1D →
＝AC →＋12(C 1C →＋C 1B 1→
)
＝c ＋1
2(－AA 1→＋CA →＋AB →)
＝c －12a ＋12(－c )＋12b
＝－12a ＋12b ＋12c .
【答案】 D
5．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为{8,6,4}，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为( )
A ．(12,14,10)
B ．(10,12,14)
C ．(14,10,12)
D ．(4,2,3)
【解析】 ∵点A 在基底{a ，b ，c }下坐标为(8,6,4)， ∴OA →
＝8a ＋6b ＋4c
＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i ) ＝12i ＋14j ＋10k ，
∴点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)． 【答案】 A 二、填空题
6．e 1，e 2，e 3是空间一组基底，a ＝e 1－2e 2＋e 3，b ＝－2e 1＋4e 2－2e 3，则a 与b 的关系为________．
【导学号：32550030】
【解析】 ∵b ＝－2a ，∴a ∥b . 【答案】 a ∥b
7．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．
【解析】 由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ，
∴点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)． 【答案】 (8,3,12)
8．已知长方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，点E ，F 分别是上底面A ′B ′C ′D ′和面CC ′D ′D 的中心，且AE →＝xAB →＋yBC →＋zCC ′→
，则2x －4y ＋6z ＝________.
【解析】 ∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→
)
＝12AB →＋12
BC →＋CC ′→，
又AE →＝xAB →＋yBC →＋zCC ′→， ∴x ＝12，y ＝1
2，z ＝1.
∴2x －4y ＋6z ＝5. 【答案】 5 三、解答题
9．已知在正四棱锥P ­ABCD 中，O 为底面中心，底面边长和高都是2，E ，F 分别是侧棱
PA ，PB 的中点，如图2­3­10，以O 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，OP 的指向为x 轴，y
轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A ，B ，C ，D ，P ，E ，F 的坐标．
图2­3­10
【解】 设i ，j ，k 分别是x 轴，y 轴，z 轴的正方向方向相同的单位向量．
(1)因为点B 在坐标平面xOy 内，且底面正方形的中心为O ，边长为2，所以OB →
＝i ＋j ， 所以向量OB →
的坐标为(1,1,0)，即点B 的坐标为(1,1,0)． 同理可得A (1，－1,0)，C (－1,1,0)，D (－1，－1,0)． 又点P 在z 轴上，所以OP →
＝2k .
所以向量OP →
的坐标为(0,0,2)，即点P 的坐标为(0,0,2)．
因为F 为侧棱PB 的中点，所以OF →＝12(OB →＋OP →)＝12(i ＋j ＋2k )＝12i ＋1
2
j ＋k ，所以点F
的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12，1.
同理点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，－12，1.
故所求各点的坐标分别为A (1，－1,0)，B (1,1,0)，C (－1，1,0)，D (－1，－1,0)，
P (0,0,2)，E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
，－12
，1，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12
，1.
10．如图2­3­11，在空间四边形OABC 中，|OA |＝8，|AB |＝6，|AC |＝4，|BC |＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA →在BC →
上的投影．
【导学号：32550031】
图2­3­11
【解】 ∵BC →＝AC →－AB →
， ∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →
＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162， ∴OA →在BC →上的投影为|OA →|·cos 〈OA →，BC →〉＝24－1625
.
[能力提升]
1．设O ­ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →
＋yOB →
＋zOC →
，则(x ，y ，z )为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，13，13 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23，23 【解析】 因为OG ＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→
)
＝34OA →＋34×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC → ＝34OA →＋14⎣⎡⎦
⎤
OB →－OA →＋OC →－OA →
＝14OA →＋14OB →＋14OC →， 而OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →， 所以x ＝14，y ＝14，z ＝1
4.
【答案】 A
2．已知向量{a ，b ，c }是空间的一基底，向量{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一基底，一
向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32，3
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
，－12，3
C.⎝
⎛⎭⎪⎫3，－12，32 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32，3 【解析】 设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则a ＋2b ＋3c ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c
＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ＝1x －y ＝2z ＝3
，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝
3
2
y ＝－
12
z ＝3
.
【答案】 B
3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋13OB →＋12OC →
，则x ＝________.
【解析】 由于M ∈平面ABC ，所以x ＋13＋12＝1，解得x ＝1
6.
【答案】 1
6
4．如图2­3­12所示，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→
＝a ，AB →＝b ，AD →
＝c ，M ，N ，
P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：
图2­3­12
(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. 【解】 (1)∵P 是C 1D 1的中点，
∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .
(2)∵N 是BC 的中点，
∴A 1N →
＝A 1A →
＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋1
2c .
(3)∵M 是AA 1的中点，
∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ，
又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝1
2c ＋a ，
∴MP →＋NC 1→
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋3
2c .。