2020-2021学年江苏省仪征市某校高三(上)9月月考数学试卷(有答案)

2020-2021学年江苏省仪征市某校高三（上）9月月考数学试卷
一、选择题
1. 集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|x>1}，则A∩B=（）
A.(1, 3)
B.(1, 3]
C.[−1, +∞)
D.(1, +∞)
2. 函数f(x)=e x−e−x
x2
的图像大致为( )
A. B.
C. D.
3. “关于x的不等式x2−2ax+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是( )
A.0<a<1
B.0<a<1
3C.0≤a≤1 D.a<0或a>1
3
4. 已知x>0，y>0，x+2y=3，则x2+3y
xy
的最小值为（）
A.3−2√2
B.2√2+1
C.√2−1
D.√2+1
5. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为
v（单位：m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q．科学研究发现v与log
3
Q
100
成正比．当
v=1m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900．当v=2m/s时，其耗氧量的单位数为（）
A.1800
B.2700
C.7290
D.8100
6. 若随机变量X∼N(μ,σ2)(σ>0)，则有如下结论：P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6856，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974，x∼
N(120,100)，高三(1)班有40名同学，一次数学考试的成绩，理论上说在130分∼140
分之间人数约为（）
A.7
B.5
C.10
D.12
7. 正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结
论中错误的是（）
A.D1O // 平面A1BC1
B.D1O⊥平面AMC
C.异面直线BC1与AC所成的角为60∘
D.点B到平面AMC的距离为√2
2
8. 已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)=2，
则不等式f(x)>2e x的解集为()
A.(−∞, 0)
B.(0,+∞)
C.(−∞,2)
D.(2, +∞)
二、多选题
5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体
的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国
民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图，某单位结合近年数据，对今后
几年的5G经济产出做出预测．
由图提供的的信息可知( )
A.运营商的经济产出逐年增加
B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x+1)=f(x−3)，f(1+x)=f(3−x)，当
0≤x≤2时，f(x)=x2−x，则下列说法正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为4
B.f(x)的图像关于直线x=2对称
C.当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2
D.当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为−1
2
扬州大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表．经计算K2的观测值k≈4.762，则可以推断出( )
A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为3
5
B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C.有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D.有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2−6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )
A.6
B.7
C.8
D.9
三、填空题
己知点(2,8)在幂函数f(x)=x n的图象上，则f(3)=________.
已知函数f(x)={log2x,x>1,
f(x+3),x≤1，
则f(−2)=________.
函数f(x)=2x−sin x，若正实数a，b满足f(a)+f(2b−1)=0，则1
a +4
b
的最小值是
________.
已知函数f(x)=e x+ae−x在[0,1]上不单调，则实数a的取值范围为________.
四、解答题
已知全集U=R，集合A={x|x2−2x−15<0}，集合B={x|(x−2a+1)(x−a2)< 0}．
(1)若a=1，求∁U A和B；
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．
已知函数f(x)=ax3−x+b(a≠0)，若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是2x−y+3=0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间．
已知函数f(x)=x2+ax+2,a∈R.
(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1−x2的解集；
(2)若对于任意的x∈[−1,1]，不等式f(x)≤2a(x−1)+4恒成立，求实数a的取值范围；
(3)已知g(x)=ax2+(a+2)x+1，若f(x)=g(x)在（1
2
,3]有解，求实数a的取值范围．
高三(3)班班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．
(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
(2)如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程ŷ=bx+a其中b=∑(x i−x¯)
n
i=1
(y i−y¯)
∑(
n
i=1
x i−x¯)2
，a=y
¯
−bx¯．
如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB 的中点，AB=2，AD=2√3，∠BAD=90∘．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
已知函数f(x)=ln x+2a
x
，a∈R．
(1)若函数f(x)在[2, +∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)在[1, e]上的最小值为3，求实数a的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省仪征市某校高三（上）9月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：由题意得，A={x|−1≤x≤3}，
B={x|x>1}，
∴A∩B=(1, 3]．
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的判断
函数图象的作法
【解析】
判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．
【解答】
解：函数f(−x)=e −x−e x
(−x)2=−e x−e−x
x2
=−f(x)，
则函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A，
当x=1时，f(1)=e−1
e
>0，排除D．
当x→+∞时，f(x)→+∞，排除C.
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
不等式x2−2ax+a≥0的解集为R，则△≤0，解出即可．【解答】
解：要使关于x的不等式x2−2ax+a>0的解集为R，
则Δ<0，即4a2−4a<0，解得0<a<1
此为“关于x的不等式x2−2ax+a>0的解集为R”的充要条件，故“关于x的不等式x2−2ax+a≥0的解集为R”
一个必要不充分条件是“0≤a≤1”，
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵x>0，y>0，x+2y=3，
∴x2+3y
xy =x2+(x+2y)y
xy
=x
y
+2y
x
+1
≥2√x
y ⋅2y
x
+1=2√2+1，
当且仅当x
y =2y
x
和x+2y=3同时成立时，等号成立，
即x=3√2−3，y=6−3√2
2
时，等号成立，
∴x2+3y
xy
的最小值是2√2+1.
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
函数模型的选择与应用
对数及其运算
【解析】
利用代入法求值
【解答】
解：根据题意设v=k log
3
Q
100
，把v=1，Q=900代入可得k=1
2
，
所以v=1
2log3Q
100
.
当v=2时，代入得2=1
2log3Q
100
，解得Q=8100.
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
根据正态分布曲线图即可作答【解答】
解：∵X∼N(120,100)，
∴P(110<X≤130)=0.6856，
P(100<X≤140)=0.9544，
∴P(130<X<140)=1
(0.9544−0.6856)=0.1344，
2
∴130分~140分之间的人数约为40×0.1344≈5(人).
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
点、线、面间的距离计算
直线与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
异面直线及其所成的角
棱柱的结构特征
【解析】
由线面平行的判定证明A正确；由线面垂直的判定说明B正确；由异面直线所成角的概念结合正方体的面对角线相等说明C正确；设出正方体棱长，利用等积法求出B到平面AMC的距离，说明D错误．
【解答】
解：由正方体的结构特征得，OD1 // BO1，
由OD1⊄平面A1BC1，BO1⊂平面A1BC1，
可得D1O // 面A1BC1，故A正确；
∵ DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴ DD1⊥AC.
∵ AC⊥BD，DD1∩BD=D，
∴ AC⊥平面BDD1B1.
∵ OD1⊂平面BDD1B1，
∴OD1⊥AC.
连结OM，MD1，如图，
设正方体棱长为2，可求得OM2=3，OD12=6，MD12=9，
则OD12+OM2=D1M2，有OD1⊥OM，
由线面垂直的判定可得D1O⊥平面AMC，故B正确；
由正方体的面对角线相等得到△A1BC1为正三角形，即∠A1C1B=60∘，
∵ AC//A1C1，
∴异面直线BC1与AC所成的角等于60∘，故C正确；
设点B到平面AMC的距离为d，正方体的棱长为2a，则AC=2√2a，
OM=√3a，由V B−AMC=V A−BCM，得
1 3×1
2
AC×OM×d=1
3
×1
2
×BC×BM×AB，
即2√2a×√3a×d=4a3，解得：d=√6
3
a，
点B到平面AMC的距离为与a有关的值，并非定值，故D错误．
故选D．
8.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
根据条件构造函数g(x)=f(x)
e x
，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】
解：设g(x)=f(x)
e x ，则g′(x)=f′(x)−f(x)
e x
.
∵f(x)>f′(x)，
∴g′(x)<0，即函数g(x)在定义域内单调递减．
∵f(0)=2，
∴g(0)=f(0)=2，
则不等式f(x)>2e x等价于g(x)>g(0).
∵函数g(x)在定义域内单调递减，
∴x<0，
∴不等式的解集为(−∞,0).
故选A．
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
频率分布直方图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由图可知：
运营商的经济产出逐年增加，A正确；
设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓，B正确；
设备制造商的经济产出在2029年将被信息服务商超过，C错误；
信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势，D正确. 故选ABD.
【答案】
A,B,C
【考点】
函数的对称性
函数的周期性
二次函数的性质 函数的最值及其几何意义
【解析】
利用函数的基本性质以及图象进行判断. 【解答】
解：由f (x +1)=f (x −3)得，
f (x )=f[(x −1)+1]=f[(x −1)−3]=f(x −4), 故函数f (x )的周期为4，故A 正确;
由f (1+x )=f (3−x )得，f (2+x )=f (2−x )， 所以函数f (x )的图像关于直线x =2对称，故B 正确； 作出函数f (x )在[0,8]上的图像，如图所示，
由图可知，当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为f (2)=2，故C 正确； 当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为f (15
2)=f (1
2)=−1
4，故D 错误．
故选ABC .
【答案】 A,C
【考点】
用频率估计概率 独立性检验
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：对于选项A ，该学校男生对食堂服务满意的 概率的估计值为
3030+20
=3
5
，故A 正确；
对于选项B ，该学校女生对食堂服务满意的 概率的估计值为
4040+10
=45
>3
5
，故B 错误；
因为k ≈4.762，3.841<4.762<6.635，所以有95%的把握认为 男、女生对该食堂服务的评价有差异，故C 正确，D 错误. 故选AC . 【答案】 A,B,C
【考点】
一元二次不等式的解法 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：设y =x 2−6x +a ，其图象为开口向上，对称轴是x =3的抛物线，如图所示.
若关于x 的一元二次不等式x 2−6x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为x =3，
则{22−6×2+a ≤0，12−6×1+a >0， 解得5<a ≤8.
又a ∈Z ，故a 可以为6，7，8. 故选ABC . 三、填空题
【答案】 27
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域 函数的求值
【解析】
利用待定系数法求出幂函数f (x )的解析式，再计算f(3)的值． 【解答】
解：设幂函数y =f (x )=x a ，a ∈R ， 函数图象过点P(2,8)，则2a =8，a =3， ∴ 幂函数f (x )=x 3， ∴ f(3)=33=27． 故答案为：27． 【答案】 2
【考点】 函数的求值 【解析】
根据已知函数解析式，直接代入即可求解． 【解答】
解：由题意可得，f (−2)=f (1)=f (4) =log 24=2． 故答案为：2． 【答案】
9+4√2 【考点】
利用导数研究函数的单调性 基本不等式在最值问题中的应用 奇偶性与单调性的综合
【解析】
根据题意，利用导数与函数单调性的关系分析可得f(x)为增函数，由函数奇偶性的性
质可得函数为奇函数；又由f(a)+f(2b−1)=0可得f(a)=−f(2b−1)=f(1−2b)，
分析可得a=1−2b，即a+2b=1；进而1
a +4
b
=(1
a
+4
b
)(a+2b)=9+2b
a
+4a
b
，由基
本不等式的性质分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f(x)=2x−sin x，
有f′(x)=2−cos x>0，则函数f(x)为增函数.
又由f(−x)=2×(−x)−sin(−x)=−(2x−sin x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数.
若正实数a，b满足f(a)+f(2b−1)=0，
则有f(a)=−f(2b−1)=f(1−2b).
因为函数f(x)为增函数，则a=1−2b，即a+2b=1.
1 a +
4
b
=(
1
a
+
4
b
)(a+2b)=9+
2b
a
+
4a
b
≥9+2√2b
a ×4a
b
=9+4√2，
当且仅当b=√2a时等号成立，
即1
a +4
b
的最小值是9+4√2.
故答案为：9+4√2.
【答案】
(1,e2)
【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
用方程导函数等于零有解则在区间上不单调，再转化求函数的交点问题．【解答】
解：由题意得f′(x)=e x−ae−x，
∵ f(x)在[0,1]上不单调，
∴ f′(x)=e x−ae−x=0在(0,1)有解，
∴ e2x=a在(0,1)有解.
∵ x∈(0,1)，
∴ e2x∈(1,e2)，
∴ a∈(1,e2)．
故答案为：(1,e2)．
四、解答题
【答案】
解：(1)若a=1，则集合A={x|x2−2x−15<0}={x|−3<x<5}，所以∁U A={x|x≤−3或x≥5}，
若a=1，则集合B={x|(x−2a+1)(x−a2)<0}={x|(x−1)2<0}=⌀.
(2)因为A∪B=A，所以B⊆A，
①当B=⌀时，a2=2a−1，解的a=1；
②当B≠⌀时，即a≠1时，B={x|2a−1<x<a2}，
又由(1)可知集合A={x|−3<x<5}，
所以{
2a −1≥−3，
a 2≤5,
解得−1≤a ≤√5，且a ≠1，
综上所求，实数a 的取值范围为：−1≤a ≤√5． 【考点】
集合关系中的参数取值问题 交、并、补集的混合运算
【解析】
（1）利用集合的基本运算即可算出结果；
（2）因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，对集合B 分等于空集和不等于空集两种情况讨论，求出a 的取值范围． 【解答】
解：(1)若a =1，则集合A ={x|x 2−2x −15<0}={x|−3<x <5}， 所以∁U A ={x|x ≤−3或x ≥5}，
若a =1，则集合B ={x|(x −2a +1)(x −a 2)<0}={x|(x −1)2<0}=⌀. (2)因为A ∪B =A ，所以B ⊆A ，
①当B =⌀时，a 2=2a −1，解的a =1；
②当B ≠⌀时，即a ≠1时，B ={x|2a −1<x <a 2}， 又由(1)可知集合A ={x|−3<x <5}，
所以{
2a −1≥−3，
a 2≤5,
解得−1≤a ≤√5，且a ≠1，
综上所求，实数a 的取值范围为：−1≤a ≤√5． 【答案】
解：(1)由f (x )=ax 3−x +b ， 得f ′(x )=3ax 2−1， 所以f ′(1)=3a −1=2， 所以a =1．
把x =1代入2x −y +3=0，得切点为(1,5)， 所以f (1)=1−1+b =5，得b =5， 所以f (x )=x 3−x +5．
(2)由(1)知，f ′(x )=3x 2−1. 令f ′(x )=3x 2−1>0，解得x >√3
3
或x <−
√3
3
. 令y ′(x )=3x 2−1<0，解得−√33<x <
√33
， 所以f (x )的增区间为(−∞,−
√33)，(√33,+∞)，减区间为(−√33,√3
3
)． 【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)由f (x )=ax 3−x +b ， 得f ′(x )=3ax 2−1， 所以f ′(1)=3a −1=2，
所以a =1．
把x =1代入2x −y +3=0，得切点为(1,5)， 所以f (1)=1−1+b =5，得b =5， 所以f (x )=x 3−x +5．
(2)由(1)知，f ′(x )=3x 2−1. 令f ′(x )=3x 2−1>0，解得x >√3
3
或x <−
√3
3
. 令y ′(x )=3x 2−1<0，解得−√33<x <
√33
， 所以f (x )的增区间为(−∞,−
√33)，(√33,+∞)，减区间为(−√33,√3
3
)． 【答案】
解：(1)若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，
即1和2是方程x 2+ax +2=0的两个根，则1+2=−a =3， 即a =−3，则f (x )=x 2−3x +2.
由f (x )≥1−x 2得，x 2−3x +2≥1−x 2， 即2x 2−3x +1≥0，
即(2x −1)(x −1)≥0，解得x ≥1或x ≤1
2， 即不等式的解集为(−∞,1
2)∪[1,+∞)．
(2)不等式f (x )≤2a (x −1)+4恒成立， 即a ≤
x 2−2x−2
在x ∈[−1,1]恒成立. 令ℎ(x )=
x 2−2x−2
，x ∈[−1,1]，
则ℎ′(x )=
x 2−4x+2
(x−2)2
，x ∈[−1,1].
令ℎ′(x )=0，解得： x =2−√2，
故ℎ(x )在[−1,2−√2)上单调递增，在(2−√2,1]上单调递减. 而ℎ(1)=1，ℎ(−1)=1
3， 故ℎ(x )min =ℎ(−1)=13， 故a ≤1
3．
(3)由f (x )=g (x )得：ax 2+(a +2)x +1=x 2+ax +2， ∴ (a −1)x 2+2x −1=0，即(a −1)x 2=1−2x . 若方程f (x )=g (x )在(1
2,3]有解， 等价为a −1=
1−2x x 2
=1x 2−2x 在(1
2,3]有解.
设ℎ(x )=1
x 2−2
x =(1
x −1)2
−1. ∵ x ∈(1
2,3]，
∴1
x ∈[1
3
,2)，即−1≤ℎ(x)<0，
即−1≤a−1<0，则0≤a<1，
即实数a的取值范围是[0,1)．
【考点】
不等式恒成立问题
由函数零点求参数取值范围问题
根与系数的关系
二次函数的性质
一元二次不等式与二次函数
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，
即1和2是方程x2+ax+2=0的两个根，则1+2=−a=3，即a=−3，则f(x)=x2−3x+2.
由f(x)≥1−x2得，x2−3x+2≥1−x2，
即2x2−3x+1≥0，
即(2x−1)(x−1)≥0，解得x≥1或x≤1
2
，
即不等式的解集为(−∞,1
2
)∪[1,+∞)．
(2)不等式f(x)≤2a(x−1)+4恒成立，
即a≤x 2−2
x−2
在x∈[−1,1]恒成立.
令ℎ(x)=x 2−2
x−2
，x∈[−1,1]，
则ℎ′(x)=x2−4x+2
(x−2)2
，x∈[−1,1].
令ℎ′(x)=0，解得：x=2−√2，
故ℎ(x)在[−1,2−√2)上单调递增，在(2−√2,1]上单调递减.
而ℎ(1)=1，ℎ(−1)=1
3
，
故ℎ(x)min=ℎ(−1)=1
3
，
故a≤1
3
．
(3)由f(x)=g(x)得：ax2+(a+2)x+1=x2+ax+2，∴(a−1)x2+2x−1=0，即(a−1)x2=1−2x.
若方程f(x)=g(x)在(1
2
,3]有解，
等价为a−1=1−2x
x2=1
x2
−2
x
在(1
2
,3]有解.
设ℎ(x )=
1x
2−
2x
=(1
x
−1)2
−1. ∵ x ∈(1
2
,3]，
∴ 1x ∈[1
3,2)，即−1≤ℎ(x )<0， 即−1≤a −1<0，则0≤a <1，
即实数a 的取值范围是[0,1)． 【答案】
解：(1) 依据分层抽样的方法，
24名女同学中应抽取的人数为7×24
42=4(名)， 18名男同学中应抽取的人数为7×
1842=3(名)，
故不同的样本的个数为C 244C 183
．
(2)①因为7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名， 所以ξ的取值为0，1，2，3．
所以P (ξ=0)=C 43
C 7
3=4
35，
P (ξ=1)=C 42C 31C 7
3=1835， P (ξ=2)=C 41C 32C 7
3=
1235
，
P (ξ=3)=
C 33C 7
3=
1
35
，
所以ξ的分布列为
所以Eξ=0×
435
+1×
1835
+2×
1235
+3×
135
=9
7
．
②因为b =526
812≈0.65，a =y ¯
−bx ¯
=83−0.65×76=33.60， 所以线性回归方程为y ̂=0.65x +33.60． 当x =96时，y ̂=0.65×96+33.60=96． 可预测该同学的物理成绩为96分． 【考点】
离散型随机变量及其分布列 排列、组合及简单计数问题 回归分析的初步应用 求解线性回归方程 分层抽样方法 【解析】
此题暂无解析 【解答】
解：(1) 依据分层抽样的方法，
24名女同学中应抽取的人数为7×24
42=4(名)， 18名男同学中应抽取的人数为7×1842=3(名)，
故不同的样本的个数为C 244C 183
．
(2)①因为7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名， 所以ξ的取值为0，1，2，3．
所以P (ξ=0)=C 43C 7
3=
4
35
，
P (ξ=1)=C 42C 31C 7
3=18
35， P (ξ=2)=
C 41C 32C 7
3=12
35，
P (ξ=3)=C 33
C 7
3=135，
所以ξ的分布列为
所以Eξ=0×
435
+1×
1835
+2×
1235
+3×
135
=9
7
．
②因为b =526
812≈0.65，a =y ¯
−bx ¯
=83−0.65×76=33.60， 所以线性回归方程为y ̂=0.65x +33.60．
当x =96时，y ̂=0.65×96+33.60=96． 可预测该同学的物理成绩为96分．
【答案】
(1)证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，
平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ， 得AD ⊥平面ABC . ∵ BC ⊂平面ABC ， ∴ AD ⊥BC .
(2)解：取棱AC 的中点N ，连结MN ，ND ，如图， ∵ M 为棱AB 的中点，故MN // BC ，
∴ ∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成角. 在Rt △DAM 中，AM =1，故DM =√AD 2+AM 2=√13. ∵ AD ⊥平面ABC ，∴ AD ⊥AC .
在Rt △DAN 中，AN =1，故DN =√AD 2+AN 2=√13. 在等腰三角形DMN 中，MN =1， 可得cos ∠DMN =
1
2
MN DM
=
√13
26
，
∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为√13
26
.
(3)解：连结CM，如图，
∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，
∴CM⊥AB，CM=√3.
又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，
∴CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角．在Rt△CAD中，CD=√AC2+AD2=4，
在Rt△CMD中，sin∠CDM=CM
CD =√3
4
，
∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为√3
4
．
【考点】
平面与平面垂直的性质
直线与平面垂直的判定
异面直线及其所成的角
直线与平面所成的角
【解析】
(1)由平面ABC⊥平面ABD，结合面面垂直的性质可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC；
(2)取棱AC的中点N，连接MN，ND，又M为棱AB的中点，可得∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，求解三角形可得异面直线BC与MD所成角的余弦；
(3)连接CM，由△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CM⊥AB，且CM=√3，再由面面垂直的性质可得CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角，求解三角形可得直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
【解答】
(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD，
平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，
得AD⊥平面ABC.
∵ BC⊂平面ABC，
∴AD⊥BC.
(2)解：取棱AC的中点N，连结MN，ND，如图，
∵M为棱AB的中点，故MN // BC，
∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角.
在Rt△DAM中，AM=1，故DM=√AD2+AM2=√13.
∵AD⊥平面ABC，∴AD⊥AC.
在Rt△DAN中，AN=1，故DN=√AD2+AN2=√13.
在等腰三角形DMN中，MN=1，
可得cos∠DMN=1
2
MN
DM
=√13
26
，
∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为√13
26
.
(3)解：连结CM，如图，
∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，
∴CM⊥AB，CM=√3.
又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，
∴CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角．在Rt△CAD中，CD=√AC2+AD2=4，
在Rt△CMD中，sin∠CDM=CM
CD =√3
4
，
∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为√3
4
．【答案】
解：(1)由f(x)=ln x+2a
x
，a∈R，
所以f′(x)=1
x −2a
x2
=x−2a
x2
(x>0).
若函数f(x)在[2, +∞)上是增函数，
则f′(x)=x−2a
x2
≥0在[2, +∞)上恒成立，即x−2a≥0在[2, +∞)上恒成立，
也就是a≤x
2
在[2, +∞)上恒成立，
所以a≤1，
所以实数a的取值范围是(−∞, 1].
(2)由(1)知，f′(x)=1
x −2a
x2
=x−2a
x2
(x>0).
若a≤0，则f′(x)>0在x∈(0,+∞)上恒成立，
则f(x)在(0, +∞)上为增函数.
f(x)在[1, e]上的最小值为f(1)=2a=3，a=3
2
，不合题意；若a>0，由f′(x)=0，得x=2a．
当x∈(0, 2a)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(2a, +∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，
所以当2a≤1，即a≤1
2
时，f(x)在[1, e]上为增函数，
最小值为f(1)=2a=3，a=3
2
，不合题意；
当2a≥e，即a≥e
2
时，f(x)在[1, e]上为减函数，
最小值为f(e)=1+2a
e
=3，a=e，符合题意；
当1<2a<e，即1
2<a<e
2
时，
f(x)在[1, e]上的最小值为f(2a)=ln2a+1=3，a=e2
2
，不合题意．
综上，实数a的值为e．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（2）求出原函数的导函数，由导函数在[2, +∞)大于等于0恒成立得到x−2a≥0在[2, +∞)恒成立，分离变量a后即可得到a的取值范围；
（3）由原函数的导函数等于0求出导函数的零点，由零点对定义域分段，然后根据原函数的极值点与给出的区间端点值得大小关系分析原函数在区间[1, e]上的单调性，由单调性求得原函数在[1, e]上的最小值，由最小值等于3解得a的值．
【解答】
解：(1)由f(x)=ln x+2a
x
，a∈R，
所以f′(x)=1
x −2a
x2
=x−2a
x2
(x>0).
若函数f(x)在[2, +∞)上是增函数，
则f′(x)=x−2a
x2
≥0在[2, +∞)上恒成立，即x−2a≥0在[2, +∞)上恒成立，
也就是a≤x
2
在[2, +∞)上恒成立，
所以a≤1，
所以实数a的取值范围是(−∞, 1].
(2)由(1)知，f′(x)=1
x −2a
x2
=x−2a
x2
(x>0).
若a≤0，则f′(x)>0在x∈(0,+∞)上恒成立，
则f(x)在(0, +∞)上为增函数.
f(x)在[1, e]上的最小值为f(1)=2a=3，a=3
2
，不合题意；若a>0，由f′(x)=0，得x=2a．
当x∈(0, 2a)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(2a, +∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，
所以当2a≤1，即a≤1
2
时，f(x)在[1, e]上为增函数，
最小值为f(1)=2a=3，a=3
2
，不合题意；
当2a≥e，即a≥e
2
时，f(x)在[1, e]上为减函数，
最小值为f(e)=1+2a
e
=3，a=e，符合题意；
当1<2a<e，即1
2<a<e
2
时，
f(x)在[1, e]上的最小值为f(2a)=ln2a+1=3，a=e2
2
，不合题意．
综上，实数a的值为e．
试卷第21页，总21页。