高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》易错题汇编含答案

新数学高考《平面向量》专题解析(1)
一、选择题
1．在ABC ∆中，已知3AB =，23AC =，点D 为BC 的三等分点(靠近C)，则AD BC ⋅u u u v u u u v
的取值范围为（ ）
A ．()3,5
B ．()
5,53
C ．()5,9
D ．()5,7
【答案】C 【解析】 【分析】
利用向量加法法则把所求数量积转化为向量AB AC u u u r u u u r
，的数量积，再利用余弦函数求最值，
得解． 【详解】
如图，()()()
13AD BC AC CD AC AB AC CB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()
11213333AC AB AC AC AB AC AB AC AB u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22211333
AC AB AB AC =--⋅u u u
r u u u r u u u r u u u r ＝8﹣11
3233
cos BAC -⨯⨯∠ ＝7﹣2cos ∠BAC ∵∠BAC ∈（0，π）， ∴cos ∠BAC ∈（﹣1，1）， ∴7﹣2cos ∠BAC ∈（5，9）， 故选C ．
【点睛】
此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．
2．若向量a b r r
，的夹角为
3
π
，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ）
A ．12
-
B ．
12
C
．
2
D
． 【答案】A 【解析】 【分析】
由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r
，可得20t a a b ⋅+⋅=r r r
，即可得出答案.
【详解】
由|2|||a b a b -=+r r r r
两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r .
即22b a b =⋅r r r ，也即22cos 3
b a b π
=r r r ，所以b a =r r .
又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ⋅+=r r r
，即20t a a b ⋅+⋅=r r r .
所以222
1122b
a b t a b
⋅=-=-=-r r r r r 故选：A 【点睛】
本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.
3．在平行四边形OABC 中，2OA =
，OC =
6
AOC π
∠=
，动点P 在以点B 为圆
心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则43λμ+的最大值为（ ）
A
．2+B
．3+
C
．5+D
．7+
【答案】D 【解析】 【分析】
先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，再求出
7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r
的最大值为.
【详解】
如图所示，由2OA =，6
AOC π
∠=
，
由余弦定理得24+3221,12
AC AC =-⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o ,
∴圆B 与AC 相切于点A ， 又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，
∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
；
∴()
43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；
如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6
BAD π
∠=
,
所以22333333,,(2)()1322222
AD DB OB =⨯
==∴=++=, 所以
7
2cos 13213
BOA ∠==
, 所以
1327213
OB OA ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ， 因为BP OA ⋅u u u r u u u r
的最大值为32cos023⨯⨯=o ，
∴43λμ+的最大值是723+. 故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2
2
20OB OA +=，若平
面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r
，则PO 的最大值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r 可得262m x n y
=-⎧⎨
=-⎩，再根据22
20OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值. 【详解】
设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r
. 由3PB PA =u u u r u u u r
可得363m x x n y y
-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y
=-⎧⎨
=-⎩，
因为2
2
20OB OA +=，故()2
2443420x y +-+=，
整理得到()2
234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2，
故PO 的最大值为325+=， 故选：C. 【点睛】
本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.
5．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r
（ ）
A ．3144A
B A
C -u u u
r u u u r B ．1136
AB AC -u u u r u u u r
C ．2133AB AC -u u u r u u u r
D ．3144
AB AC +u u u
r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r
，化简得到答案. 【详解】 ()
11312444
MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
u u u u r r u u u r .
故选：A . 【点睛】
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
6．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC
⋅u u u r u u u r
的值为（ ） A ．8
3
-
B ．1-
C ．1
D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
由二倍角公式得求得tan∠BED，即可求得cos∠BEC，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．
【详解】
由已知可得：EB=EC=7，
又
23
tan BED
3
3
BD
ED
∠===
所以
2
2
1tan1
cos
1tan7
BED
BEC
BED
-∠
∠==-
+∠
所以
1
||cos771
7
EB EC EB EC BEC
⎛⎫
⋅=∠=⨯⨯-=-
⎪
⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r
‖
故选B．
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．
7．已知菱形ABCD的边长为4，60
ABC
∠=︒，E是BC的中点2
DF AF
=-
u u u r u u u r
，则
AE BF
⋅=
u u u r u u u r
（）
A．24 B．7-C．10
-D．12
-
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的基本定理,将AE BF
⋅
u u u r u u u r
用基底,
AB AD
u u u r u u u r
表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可.
【详解】
由已知得
1
3
AF AD
=
u u u r u u u r
,
1
2
BE BC
=
u u u r u u u r
,AD BC
=
u u u r u u u r
,所以
1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13
BF AF AB AD AB =-=-u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r .
因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所
以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫
⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以
1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
221111
||||16(8)16126666
AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r .
故选：D 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想.
8．已知向量m →，n →
的夹角为60︒，且1m →=
，m n →→
-=n →
=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
设||n x →
=，利用数量积的运算法则、性质计算即可. 【详解】 设||n x →
=，
因为1m →
=，向量m →，n →
的夹角为60︒， 所以2
213m n x x →
→-=-+=， 即220x x --=，
解得2x =，或1x =-（舍去）， 所以2n →=. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了向量的模的性质，向量数量积的运算，属于中档题.
9．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2-3b 2=2ac ，BA u u u r ⋅BC uuu
r =2，则
△ABC 的面积为（ ）
A
B ．
32
C
．D
．【答案】C 【解析】 【分析】
利用余弦定理求出B 的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca 的值，然后求解三角形的面积． 【详解】
在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2﹣3b 2＝2ac ，
可得cosB 222123a c b ac +-==，则
sinB 3
=
BA u u u r
⋅BC =u u u r 2，可得cacosB ＝2，则ac ＝6，
∴△ABC
的面积为：11622acsinB =⨯=
． 故选C ． 【点睛】
本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．
10．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：20
2300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，设
z OP OA =⋅u u u r u u u r
，则z 的最大值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】
解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
可知它的可行域如下图：
Q ()2,1A ，(), P x y
∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r
，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，
即24z x y =+=.
故选：C. 【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.
11．设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线
于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若
(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225
+=8
λμ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
23
B 35
C ．
32
2
D ．
98
【答案】A 【解析】 【分析】
先根据已知求出,u λ，再代入2
2
5
+=
8
λμ求出双曲线的离心率. 【详解】
由题得双曲线的渐近线方程为b y x a =±，设F(c,0)，则2
(,),(,),(,),bc bc b A c B c P c a a a
-
因为(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，所以2(,)((),())b bc c u c u a a
λλ=+-.
所以,,b
u c u c
λλ+=-= 解之得,.22b c c b
u c c
λ+-=
= 因为2
2
5+=8λμ，所以22522
(
)(),3, 3.22833
b c c b c e c c a +-+=∴=∴= 故答案为A
本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能
力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v
求出,u λ.
12．如图，在ABC V 中，已知D 是BC 边延长线上一点，若2B C C D =u u u v u u u v
，点E 为线段
AD 的中点，
34
AE AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v
，则λ=（ ）
A ．
14
B ．14
-
C ．
13
D ．13
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由12AE AD =u u u r u u u r ，AD BD BA =-u u u r u u u r u u u r ，AC BC BA =-u u u
r u u u r u u u r ，32
BD BC =u u u r u u u r ，代入化简即可得出．
【详解】 13,,,22AE AD AD BD BA BD BC BC AC AB ==-==-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，带人可得
()
13132244AE AC AB AB AB AC ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，可得14λ=-，
故选B. 【点睛】
本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．在边长为1的等边三角形ABC 中，点P 是边AB 上一点，且．2BP PA =，则
CP CB ⋅=u u u v u u u v
（ ） A ．13
B ．
12
C ．
23
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
利用向量的加减法及数乘运算用,CA CB u u u r u u u r 表示CP u u u v
，再利用数量积的定义得解．
依据已知作出图形如下：
()
11213333
CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v .
所以2
21213333CP CB CA CB CB CA CB CB ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v
2212
11cos 13333π=
⨯⨯⨯+⨯= 故选C 【点睛】 本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力，属于中档题．
14．如图，两个全等的直角边长分别为1,3的直角三角形拼在一起，若
AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则λμ+等于（ ）
A 323
-+ B 323
+ C 31 D 31+
【答案】B 【解析】
【分析】
建立坐标系，求出D 点坐标，从而得出λ，μ的值．
【详解】
解：1AC =Q ，3AB =，30ABC ∴∠=︒，60ACB ∠
=︒，
以AB ，AC 为坐标轴建立坐标系，则13,12D ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． ()
3,0AB =u u u r ，()0,1AC =uu u r ， ∴13,12AD ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r ． Q AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ， ∴1323
1λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴3631λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，
231λμ∴+=+． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
15．已知向量()()
75751515a b ︒︒︒︒==r r cos ,sin ,cos ,sin ，则a b -r r 的值为 A ．12 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
因为11,1,cos75cos15sin 75sin15cos602
a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒=r r r r ，所以
2221||()12112
a b a b -=-=-⨯+=r r r r ，故选B. 点睛：在向量问题中，注意利用22||a a =r ，涉及向量模的计算基本考虑使用此公式，结合
数量积的运算法则即可求出.
16．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO uuu v ·BC uuu v
的值是
A ．－8
B ．－1
C ．1
D ．8
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】 因为AO AC CO AB BO =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以1()2
AO AC BO AB CO =+++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 而BC AC AB BO CO =-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以1()2
BC AC AB BO CO =-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则 1()()4
AO BC AC AB CO BO AC AB BO CO ⋅=+++-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1()()()()()()4AC AB AC AB AC AB BO CO CO BO AC AB =+-++-++-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()()CO BO BO CO ++-u u u v u u u v u u u v u u u v 221(||4AC AB AC BO AC CO AB BO AB CO =-+⋅-⋅+⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22||)CO AC CO AB BO AC BO AB BO CO +⋅-⋅+⋅-⋅+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
2211(||)()42
AC AB AC BO AB CO =-+⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)[()]42
AC AB AB BC BO AB CO =-++⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)()42
AC AB AB BC BC BO =-+⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
2211(||)42AC AB AO BC =-+⋅u u u v u
u u v u u u v u u u v 所以221(||)82
AO BC AC AB ⋅=-=u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D
17．已知A ，B 是圆22
4+=O: x y 上的两个动点，||2AB =u u u r ，1233OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值为（ ）. A ．3
B ．23
C ．2
D ．3 【答案】D
【解析】
【分析】 判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB u u u r u u u r 为基底表示出OM u u u u r ，由此求得OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值.
【详解】 圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =u u u r ，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段
AB 的中点，所以1122
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r .所以OC OM ⋅u u u r u u u u r 12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭u u u
u u u r u u u r r u u u r 221116
23OA OA OB OB =+⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 21422cos603323
=+⨯⨯⨯+=o . 故选：D
【点睛】
本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
18．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，则ABC ∆的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形 【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断.
【详解】 由()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()
0CB AC CB CB AB ⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，CB AB ⊥，即2B π∠=
，故ABC ∆为直角三角形.
故选：A.
【点睛】 本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题.
19．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（ ）
A ．714-
B ．24-
C ．514-
D ．30-
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求
出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，
()
0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D
因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x < AE BE =Q
()22
2001x x +=-解得01x =-
()1,3E ∴- ()4,3C Q ，()5,0D CD ∴所在直线的方程为353y x =-+
因为点M 在边CD 所在直线上，故设()
,353M x x -+ (),353AM x x ∴=-+u u u u r
()1,343E x M x -=--u u u r
()()()
3433531AM ME x x x x --∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-
242660x x =-+-
23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝
当134
x =时()max 714
AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选：A
【点睛】
本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.
20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r
，120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （ ）
A ．4
B
C ．2
D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】 根据向量的线性运算可得3144
EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.
【详解】 因为11131()22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6
EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216
=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916
=
，
所以||4
EB =u u u r ， 故选：A
【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。