高考数学一轮总复习 课时跟踪检测(五十四) 椭圆 理 新

课时跟踪检测(五十四) 椭 圆
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 2
9－k ＝1(k ＜9)的( )
A ．长轴长相等
B ．短轴长相等
C ．离心率相等
D ．焦距相等
解析：选D c 2
＝25－k －(9－k )＝16，所以c ＝4，所以两个曲线的焦距相等．
2．已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠
PF 2F 1＝2，则椭圆的离心率e ＝( )
A ．
53
B ．13
C ．23
D ．12
解析：选A 依题意，设|PF 2|＝m ，则有|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝5m ，该椭圆的离心率是e ＝
|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝5m 3m ＝5
3
.
3．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( )
A ．x 23＋y 24＝1
B ．x 24＋y 2
3＝1
C ．x 24＋y 2
3
＝1
D ．x 2
4
＋y 2
＝1 解析：选C 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12
⇒a ＝2，b 2＝a
2
－c 2
＝3，因此椭圆C 的方程是x 24＋y 2
3
＝1.
4．椭圆x 216＋y 2
7＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，
则△ABF 2的面积为( )
A ．212
B ．214
C ．218
D ．21
解析：选 A 依题意得|AB |＝
2b
2
a ＝72，|F 1F 2|＝216－7＝6，因此△ABF 2的面积等于12
|AB |×|F 1F 2|＝12×72×6＝21
2
.
5．已知椭圆的方程是x 2
＋2y 2
－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线方程是______． 解析：设过M (1,1)点的方程为y ＝kx ＋b ， 则有k ＋b ＝1，即b ＝1－k ，即y ＝kx ＋(1－k )，
联立方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋2y 2
－4＝0，
y ＝kx ＋1－k ，
则有(1＋2k 2
)x 2
＋(4k －4k 2
)x ＋(2k 2
－4k －2)＝0，
所以x 1＋x 22＝12·4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，故b ＝3
2
，
所以y ＝－12x ＋3
2，即x ＋2y －3＝0.
答案：x ＋2y －3＝0
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2016·宝鸡模拟)椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点
分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( )
A ．12
B ．
55
C ．14
D ．5－2
解析：选A 由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝1
2
.
2．(2016·长沙模拟)设椭圆x 24＋y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一动
点，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2的面积为( )
A ．3
B ．3或3
2
C ．32
D ．6或3
解析：选C 由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60°，所以该点P 不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF 1F 2的面积为12×2c ×b 2
a ＝3
2
.
3．(2015·南昌二模)已知椭圆：y 2
9＋x 2
＝1，过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两
点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )
A ．9x －y －4＝0
B ．9x ＋y －5＝0
C ．2x ＋y －2＝0
D ．x ＋y －5＝0
解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
因为A ，B 在椭圆y
2
9＋x 2
＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧
y 21
9＋x 2
1
＝1，y
22
9＋x 22
＝1，
两式相减得y 21－y 2
2
9＋x 21－x 2
2＝0，
即
y 1－y 2y 1＋y 2
9
＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，
又弦AB 被点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12平分，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1， 将其代入上式得
y 1－y 2
9
＋x 1－x 2＝0，即
y 1－y 2
x 1－x 2
＝－9， 即直线AB 的斜率为－9，
所以直线AB 的方程为y －12＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即9x ＋y －5＝0.
4．(2016·重庆巴蜀中学模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 29＋y 2
8
＝1的左、右焦点，点E 是
椭圆C 上的动点，1u u u r EF ·2u u u r
EF 的最大值、最小值分别为( )
A ．9,7
B ．8,7
C ．9,8
D ．17,8
解析：选B 由题意可知椭圆的左右焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设E (x ，y )，则1u u u r
EF ＝(－1－x ，－y )，2u u u r EF ＝(1－x ，－y )，1u u u r EF ·2u u u r EF ＝x 2－1＋y 2＝x 2
－1＋8－89x 2＝19x 2＋7(－
3≤x ≤3)，所以当x ＝0时，1u u u r EF ·2u u u r EF 有最小值7，当x ＝±3时，1u u u r EF ·2u u u r
EF 有最大值8，
故选B.
5．(2015·江西八校联考)已知圆C 1：x 2
＋2cx ＋y 2
＝0，圆C 2：x 2
－2cx ＋y 2
＝0，椭圆C ：
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0)，若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B ．⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12
C ．⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
22，1 D ．⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，
22 解析：选B 圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部，
∴只需⎩⎪⎨⎪⎧
2c ≤a ，c 2a 2＋c
2
b
2≤1⇒0＜c a ≤1
2
.
即椭圆离心率的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12. 6．(2015·上海市十三校联考)若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2
a －2
＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.
解析：①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22
，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22
，解得a ＝8.
答案：4或8
7．点P 是椭圆x 225＋y 2
16＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径
为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为______．
解析：由题意知，|PF 1|＋|PF 2|＝10，|F 1F 2|＝6，
S △PF 1F 2＝12
(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·1
＝1
2|F 1F 2|·y P ＝3y P ＝8， 所以y P ＝8
3.
答案：83
8．(2016·北京东城模拟)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是____________________．
解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)．
由题意知⎩⎨⎧
a 2＝
b 2＋
c 2，
a ∶
b ＝2∶
3，
c ＝2，
解得a 2＝16，b 2
＝12.
所以椭圆C 的方程为x 216＋y 2
12
＝1.
答案：x 216＋y 2
12
＝1
9．(2015·北京房山一模)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当△F 2AB 的面积为122
7
时，求直线的方程．
解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32， 所以1a 2＋9
4b
2＝1.①
又因为离心率为12，所以c a ＝1
2
，
所以b 2a 2＝3
4
.②
解①②得a 2
＝4，b 2
＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)当直线的倾斜角为π2时，A ⎝
⎛⎭⎪⎫－1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32， S △ABF 2＝1
2|AB |·|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠
122
7
. 当直线的倾斜角不为π
2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)，
代入x 24＋y 2
3＝1得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2
－12＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－8k 2
4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2
－12
4k 2＋3，
所以S △ABF 2＝1
2|y 1－y 2|×|F 1F 2|
＝|k |x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝|k |
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－8
k 2
4k 2＋32－4·4k 2
－124k 2＋3 ＝12|k |k 2
＋14k 2
＋3＝122
7， 所以17k 4
＋k 2
－18＝0，
解得k 2
＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＝－1817舍去，所以k ＝±1，
所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.
10．(2016·吉林实验中学)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的
右焦点为F 2(1,0)，点H ⎝
⎛⎭⎪⎫
2，2103在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)点M 在圆x 2
＋y 2
＝b 2
上，且M 在第一象限，过M 作圆x 2
＋y 2
＝b 2
的切线交椭圆于P ，
Q 两点，求证：△PF 2Q 的周长是定值．
解：(1)设椭圆的左焦点为F 1，
根据已知，椭圆的左右焦点分别是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，c ＝1，
∵H ⎝
⎛⎭⎪⎫
2，2103在椭圆上，
∴2a ＝|HF 1|＋|HF 2|＝2＋1
2
＋⎝
⎛⎭
⎪⎫21032
＋2－1
2
＋⎝
⎛⎭
⎪⎫21032
＝6， ∴a ＝3，b ＝22， 故椭圆的方程是x 29＋y 2
8
＝1.
(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 219＋y 21
8＝1， |PF 2|＝x 1－1
2
＋y 2
1＝ x 1－1
2
＋8⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
19 ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 13－32， ∵0<x 1<3，∴|PF 2|＝3－1
3x 1，
在圆中，M 是切点，
∴|PM |＝|OP |2
－|OM |2
＝x 2
1
＋y 21
－8＝x 2
1
＋8⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
19－8＝13x 1， ∴|PF 2|＋|PM |＝3－13x 1＋1
3x 1＝3，
同理：|QF 2|＋|QM |＝3，
∴|F 2P |＋|F 2Q |＋|PQ |＝3＋3＝6， 因此△PF 2Q 的周长是定值6. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2016·石家庄质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )
A ．
226
B ．
426
C ．213
D ．413
解析：选B 设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
y 1x 1＋2＝－1，y 1
2＝x 1
－2
2＋3，
解得x 1＝－3，y 1＝1，
易知|PA |＋|PB |的最小值等于|A 1B |＝26，
因此椭圆C 的离心率e ＝|AB ||PA |＋|PB |＝4|PA |＋|PB |的最大值为426.
2．(2015·西安二模)如图，已知A 是椭圆M ：x 2
＋5y 2
＝5与y 轴正半轴的交点，F 是椭圆M 的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆M 交于B ，C 两点．
(1)若|OB |＝|OC |，求B ，C 两点的坐标；
(2)是否存在直线l ，使得|AB |＝|AC |？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．
解：(1)由x 2
＋5y 2
＝5可得x 2
5＋y 2
＝1， ∴c ＝2，
∴F (2,0)，A (0,1)．
由椭圆的对称性可知，满足|OB |＝|OC |的直线l 有两种： ①当直线l ⊥x 轴时，令x ＝2，得y ＝±55
. ∴B ，C 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，
55和⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，－55. ②当直线l 与x 轴重合时，B ，C 两点的坐标分别为(5，0)和(－5，0)． (2)①易知，当直线l 与x 轴重合时，|AB |＝|AC |， 此时直线l 的方程为y ＝0.
②当直线l 与x 轴垂直时，直线l 不符合题意．
③当直线l 与坐标轴不垂直时，设过点F 的直线的斜率为k ，直线l 与椭圆M 的交点B (x 1，
y 1)，C (x 2，y 2)，BC 的中点N (x 0，y 0)，则l ：y ＝k (x －2)．
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －2，
x 2＋5y 2
＝5
得(1＋5k 2
)x 2
－20k 2
x ＋20k 2
－5＝0， ∴x 1＋x 2＝20k 2
1＋5k
2.
∴x 0＝10k 2
1＋5k 2，y 0＝－2k
1＋5k 2，
∴要使|AB |＝|AC |，只要AN ⊥BC . ∴
y 0－1
x 0
·k ＝－1， 即5k 2
－8k ＋1＝0，解得k ＝
4±11
5
， ∴直线l 的方程为y ＝4±11
5
(x －2)．
综上，符合题意的直线l 的方程为y ＝0或y ＝4±11
5(x －2)．。