2021-2022年高中数学阶段质量检测一坐标系北师大版

2021-2022年高中数学阶段质量检测一坐标系北师大版
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的)
1．在极坐标中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足
曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝
π
4
(ρ≥0)表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是( )
A ．①③
B ．①
C ．②③
D ．③
2．原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－5，－53)的极坐标是( )
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫10，π3
B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫10，4π3 C.⎝
⎛
⎭⎪⎫－10，－2π3 D.⎝
⎛
⎭⎪⎫10，2π3 3．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，则它的直角坐标为( )
A ．(2，1,1)
B ．(1,1,1)
C ．(2，2，1)
D ．(1,0,1)
4．ρ＝2cos θ－2sin θ表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．射线
D ．半圆
5．曲线ρ2
＋2ρ(3cos θ－2sin θ)＝0的对称中心的直角坐标是( )
A ．(3,2)
B ．(2,3)
C ．(－3,2)
D ．(－3，－2)
6．设点P 的直角坐标为(4,4,42)，则它的球坐标为( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫8，π4，π4
B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫8，3π4，π4 C.⎝
⎛⎭⎪⎫8，π4，3π4 D.⎝
⎛⎭
⎪⎫8，
3π4，3π4 7．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( )
A ．ρsin θ＝2
B ．ρcos θ＝2
C ．ρcos θ＝4
D ．ρcos θ＝－4
8．在极坐标系中，圆ρ＝4cos θ＋4sin θ的圆心坐标是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
22，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
42，5π4 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫42，
π4 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，
5π4 9．在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d ，则d 的最大值为( )
A ．5
B ．6
C ．4
D ．3
10．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( ) A ．2 B ．6 C ．2 3
D ．215
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，0≤θ<π2，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________．
12．若曲线的极坐标方程为ρ＝tan θ·1
cos θ
，则该曲线的直角坐标方程为
________．
13．在极坐标系中，点⎝
⎛⎭⎪⎫2，
π6到直线ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．
14．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(广东高考改编)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为
ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，
建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2的交点的直角坐标．
16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1表示的两个图形的位置关系是什么？
17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设椭圆的长轴长为10，中心为(3,0)，一个焦点在直角坐标原点．
(1)求椭圆的直角坐标方程，并化为极坐标方程；
(2)当椭圆过直角坐标原点的弦长为640
91时，求弦所在直线的直角坐标方程．
18.(本小题满分14分)如图所示，点P 为直线x ＋y ＝1上的动点，O 为原点，求正方形OPQR 的顶点R ，Q 轨迹的极坐标方程，并化成直角坐标方程．
1．选D 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝
π4
这条射线，还表示θ＝5π
4这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但
都表示一个半径为3的圆，故③正确．
2．选B 设点(－5，－53)的极坐标为(ρ，θ)，则tan θ＝－53
－5＝3，x <0，∴
最小正角θ＝4π
3
，ρ＝
－5
2
＋－53
2
＝10.
3．选B 设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )． 则有x ＝r cos θ＝2cos π
4
＝1，
y ＝r sin θ＝2sin π4
＝1，z ＝1.
∴点P 的直角坐标为(1,1,1)．
4．选B 两边同乘以ρ得：ρ2
＝2ρcos θ－2ρsin θ. 把ρ2
＝x 2
＋y 2
，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得：
x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，表示圆．
5．选C 原方程可化为：x 2
＋y 2
＋6x －4y ＝0. 即：(x ＋3)2
＋(y －2)2
＝13. ∴它的对称中心为(－3,2)．
6．选A 设点P 的球坐标为(r ，φ，θ)， 则r ＝42
＋42＋
42
2
＝8，tan θ＝y x ＝4
4
＝1.
又∵x >0，∴θ＝π
4.
∵42＝8cos φ，∴cos φ＝22
. ∵0≤φ≤π，∴φ＝π
4
.
∴点P 的球坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫
8，
π4，π4. 7．选B 如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA |＝4，ρsin
θ＝2表示直线y ＝2，ρcos θ＝4表示直线x ＝4，ρcos θ＝－4表示直线x ＝－4，均
不与圆相切，只有B 符合．
8．选A 将原方程化成直角坐标方程，得(x －2)2＋(y －2)2
＝8，圆心坐标为(2,2)，化
成极坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫
22，
π4. 9．选C 极坐标方程ρ＝3转化成直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝9，所以圆心为(0,0)，半径为3，ρ(cos θ＋3sin θ)＝2转化成直角坐标方程为x ＋3y ＝2.则圆心到直线x ＋3
y ＝2的距离d ′＝
|0＋0－2|1＋
3
2＝2
2
＝1. ∴圆上的点到直线的最大距离为d ′＋3＝1＋3＝4.
10．选C 圆ρ＝－4cos θ化为(x ＋2)2
＋y 2
＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝42
－22
＝12＝2 3.
11．解析：由⎩
⎪⎨
⎪⎧
ρcos θ＝3，
ρ＝4cos θ，
得4cos 2
θ＝3.
∴2(1＋cos 2θ)＝3，cos 2θ＝1
2.
又0≤2θ<π，∴θ＝π
6.故ρ＝23，
∴曲线C 1与C 2的交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6
12．解析：由ρ＝tan θ·
1cos θ＝sin θcos 2
θ
，得ρcos 2
θ＝sin θ， ∴ρ2
cos 2
θ＝ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2
＝y . 答案：x 2
＝y
13．解析：点⎝
⎛⎭⎪⎫2，
π6化为直角坐标为(3，1)，直线方程可化为32ρsin θ－1
2
ρcos θ＝1，即x －3y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得d ＝
|
|
3－3×1＋212＋－3
2
＝1. 答案：1
14．解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2
，
C 1与x 轴的交点坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫
22，0，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22.
答案：
22
15．解：由ρsin 2
θ＝cos θ⇒ρ2
sin 2
θ＝ρcos θ⇒y 2
＝x ，
又由ρsin θ＝1⇒y ＝1，联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝x ，
y ＝1⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝1.
故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1,1)． 16．解：ρ＝－cos θ可变为ρ2
＝－ρcos θ， 化为普通方程为x 2
＋y 2
＝－2x ，
即(x ＋1)2
＋y 2
＝1，它表示圆，圆心为(－1,0)，半径为1. 将ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1化为普通方程为x －3y －2＝0.
∵圆心(－1,0)到直线的距离为|－1－2|1＋3
＝3
2＞1， ∴直线与圆相离．
17．解：(1)由已知，得a ＝5，c ＝3，故b ＝a 2
－c 2
＝4， 所以椭圆的直角坐标方程为
x －3
2
25
＋
y 2
16
＝1.
由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入上式，得
ρcos θ－3
2
25
＋
ρsin θ
2
16
＝1，
即25ρ2
＝(16＋3ρcos θ)2
，即5ρ＝16＋3ρcos θ. 所以椭圆的极坐标方程为ρ＝
16
5－3cos θ
.
(2)设过直角坐标原点的弦的倾斜角为θ，弦的两端点分别为P 1(ρ1，θ)，P 2(ρ2，θ＋π)，则有ρ1＝16
5－3cos θ
，
ρ2＝
16
5＋3cos θ
.
由于ρ1＋ρ2＝64091，所以165－3cos θ＋165＋3cos θ＝640
91，则
125－9cos 2
θ＝491⇔cos 2
θ＝14⇔cos θ＝±12 ⇔θ＝
π3或θ＝2π
3
.
所以所求直线的直角坐标方程为y ＝3x 或y ＝－3x .
18．解：以Ox 为极轴建立极坐标系，则直线x ＋y ＝1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin
θ)＝1.
设点P (ρ0，θ0)，Q (ρ1，θ1)，R (ρ2，θ2)，
由题意⎩
⎨⎧
ρ1
＝2ρ0
，
θ1
＝θ0
±π4.①
⎩
⎪⎨⎪
⎧
ρ2＝ρ0，θ2＝θ0±π2.②
由①得⎩⎪⎨
⎪⎧
ρ0＝
1
2ρ1，θ0
＝θ1
∓π
4
，
∵ρ0(cos θ0＋sin θ0)＝1， ∴点Q 的轨迹方程为 12
ρ1⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ1∓π4＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ1∓π4＝1，
化简得ρ1sin θ1＝1或ρ1cos θ1＝1. 化为直角坐标方程为y ＝1或x ＝1.
由②得⎩
⎪⎨⎪
⎧
ρ0＝ρ2，θ0＝θ2∓π
2，
代入ρ0(cos θ0＋sin θ0)＝1得
ρ2⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤
cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
θ2∓π2＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ2∓π2
＝1，
化简得点R 的轨迹方程为
ρ2(sin θ2－cos θ2)＝1或ρ2(cos θ2－sin θ2)＝1.
化为直角坐标方程为：x －y ＋1＝0或x －y －1＝0.U30915 78C3 磃,m38505 9669 险22516 57F4 埴30468 7704 眄28236 6E4C
湌29044 7174 煴35018 88CA 裊S-34933 8875 衵32170 7DAA 綪<。