基于混合拉普拉斯模型和EM算法的图像降噪方法
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近年来，小波理论得到了非常迅速的发展，而且由于其具备 良好的时频特性，因而实际应用也非常广泛。在去噪领域中，小 波理论也同样受到了许多学者的重视，他们应用小波进行去噪， 并获得了非常好的效果 [1、2]，具体来说，小波去噪方法的成功主 要得益于小波变换具有如下特点 [3]：（1）低熵性（2）多分辨率（3） 去相关性（4）选基灵活性。基于这些特点，提出一种基于混合 拉普拉斯模型和 EM 算法的图像降噪方法。
热点透视 Hot-Point Perspective DCW 基于混合拉普拉斯模型和 EM 算法的图像降噪方法
张正杰
（苏州市轨道交通集团有限公司，苏州 215004）
摘要 ：本文提出了一种基于图像小波系数分布方法的图像降噪方法，假设并验证每层的小波系数都近似符合混合拉普拉斯模型，
在对图像进行了三层小波变换后，利用 EM 算法对每一层的小波系数的模型参数进行计算，利用这些模型参数进行变换，在实际验证
2 最大后验估计与混合拉普拉斯模型
2.1 最大后验估计 设噪声图像 g=x+n，其中，n 是独立的均值为 0 的高斯白噪声，
g 是观测到的含有噪声的信号，x 是不含噪声的原始信号，而在 小波域问题就可以被描述成 ：y=w+n，其中，y 是观测到的含噪 信号的小波系数，w 是无噪原始信号的小波系数，n 为独立的均 值为 0 的高斯白噪声。
循环重复直到收敛 { （E 步）对于每一个 i，计算 ：
（M 步）计算 ：
作者简介 ：张正杰，男，汉族，1988 年生，江苏盐城人，本科，研究方向为轨道交通信号与控制。
157 数字通信世界
2019.10
D 热点 IGITCW 透视 Hot-Point Perspective
} 即 E 步固定 θ，优化 Q，M 步固定 Q，优化 θ，循环直至收敛。
设给定的训练样本是 x={x1，x2，…，xm}，样本间相互独立， 我们想找到每个样本隐含的类别 z，能使得 p（x，z）最大。EM 是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。对于每一个样 本 i，让 Qi 表示该样本隐含变量 z 的某种分布，Qi 满足的条件是
。根据 Jensen 不等式，要想让等式成立，需 要让随机变量变成常数值。对式子做进一步推导可以得到一般的 EM 算法的步骤如下 ：
中取得了较为不错的效果。
关键词 ：图像降噪 ；小波系数 ；混合拉普拉斯模型 ；EM 算法
doi ：10.3969/J.ISSN.1672-7274.2019.10.118
中图分类号 ：O212.1
文献标示码 ：A
文章编码 ：1672-7274（2019）10-0157-03
一般来说，图像在生成和传输过程中常常因受到各种噪声的 干扰和影响而使图像降质，这对后续图像的处理将产生不利影响。 噪声可以理解为“妨碍人们的感觉器官对所接受的信源信息理解 的因素”。目前，图像去噪在数字图像处理技术中的重要性越加 明显。
M-step ：
估计混合模型的方差 ：
图3 含噪图像第1层小波系数的分布直方图
4 实验结果
本论文采用的无噪图像是一张大小为 512×512 像素的灰色 标准测试图，只经过灰度化将图像的三维矩阵转换成一维矩阵。
4.1 无噪图像小波系数模型验证 本节验证无噪图像的小波系数是否符合提出的混 Nhomakorabea拉普拉斯
模型，对于混合模型参数的估计也采用 EM 算法。其结果如图 1-3 所示，其中图 1 代表无噪图像第一层小波系数的分布直方图，图 2 代表无噪图像第二层小波系数的分布直方图。
w 的最大后验估计定义为
定义 f（w）=log（Pw（w），这样通过对 对上式求导，并令 其为 0，即 ：
便能够得到 w 的最大后验估计。 2.2 单一拉普拉斯模型
有了 w 的最大后验估计，接下来便要估计观测信号小波系数 的分布模型，若假设无噪信号的小波系数服从单一的拉普拉斯概 率密度函数，则 ：
2.3 混合拉普拉斯模型 若假设无噪信号的小波系数服从混合拉普拉斯概率密度函
3.2 EM 算法求解混合拉普拉斯模型参数
由于 ：
无
法直接求得，所以采用 EM（Expectation-Maximum）算法迭代求
最优参数 ：
E-step ：
从结果来看，无噪图像的小波系数近似符合混合拉普拉斯模 型，由 EM 算法迭代出的参数也符合图像小波系数的分布。 4.2 噪声图像小波系数验证
本节验证叠加了噪声的图像经小波变换后的小波系数的分 布，是否符合混合 Lapgauss 概率密度函数，叠加的噪声标准差 为 10。结果分别如图 3-6 所示。其中图 3 代表含噪图像第一层小 波系数的分布直方图，图 4 代表含噪图像第二层小波系数的分布 直方图。
数，可得 与 y 的关系可以表示为 ：
2.4 混合概率密度函数 本小节将一个拉普拉斯概率密度函数与一个高斯概率密度函
数的卷积表示成一个概率密度函数，以方便下节用 EM 算法进 行参数计算。将 y=x*n（“*”代表卷积）的概率密度函数简记为
，可得 ：
3 EM 算法
混合模型会有比单独的概率密度函数更多的参数，而随着参 数数量的增加，通过观测信号对参数的估计的准确度就会降低， 所以选择适量的参数并对其进行准确的估计很重要，现引入 EM 算法来解决参数估计的问题。 3.1 EM Algorithm
1 小波去噪问题的描述
设噪声图像 G（i，j）=X（i，j）+n（i，j），降除噪声的问 题可以认为是如何将 X（i，j）从 G（i，j）中恢复出来。对噪声 图像进行小波变换后得到 WG（i，j）=WX（i，j）+n（i，j）。
常用的传统的低通去噪滤波方法有滑动平均窗（均值滤波方 法）、线性滤噪、中值滤波、基于秩 - 阶滤波（排序量）的方法、 基于马尔可夫场模型 [4] 和基于偏微分方程（PDE）的方法 [5] 等。 用这些方法可以去除大部分的噪声小波系数，同时较好地保留图 像的高频细节信号。但仔细分析，不难发现，用这种方法去噪， 并没有考虑图像本身的能量分布特点，不可避免地会造成各个子 带去噪的不平衡，不利于图像的恢复。
图4 含噪图像第2层小波系数的分布直方图
从结果来看，噪声图像的小波系数分布也符合混合 Lapgauss 概率密度函数。 4.3 图像降噪结果
热点透视 Hot-Point Perspective DCW 基于混合拉普拉斯模型和 EM 算法的图像降噪方法
张正杰
（苏州市轨道交通集团有限公司，苏州 215004）
摘要 ：本文提出了一种基于图像小波系数分布方法的图像降噪方法，假设并验证每层的小波系数都近似符合混合拉普拉斯模型，
在对图像进行了三层小波变换后，利用 EM 算法对每一层的小波系数的模型参数进行计算，利用这些模型参数进行变换，在实际验证
2 最大后验估计与混合拉普拉斯模型
2.1 最大后验估计 设噪声图像 g=x+n，其中，n 是独立的均值为 0 的高斯白噪声，
g 是观测到的含有噪声的信号，x 是不含噪声的原始信号，而在 小波域问题就可以被描述成 ：y=w+n，其中，y 是观测到的含噪 信号的小波系数，w 是无噪原始信号的小波系数，n 为独立的均 值为 0 的高斯白噪声。
循环重复直到收敛 { （E 步）对于每一个 i，计算 ：
（M 步）计算 ：
作者简介 ：张正杰，男，汉族，1988 年生，江苏盐城人，本科，研究方向为轨道交通信号与控制。
157 数字通信世界
2019.10
D 热点 IGITCW 透视 Hot-Point Perspective
} 即 E 步固定 θ，优化 Q，M 步固定 Q，优化 θ，循环直至收敛。
设给定的训练样本是 x={x1，x2，…，xm}，样本间相互独立， 我们想找到每个样本隐含的类别 z，能使得 p（x，z）最大。EM 是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。对于每一个样 本 i，让 Qi 表示该样本隐含变量 z 的某种分布，Qi 满足的条件是
。根据 Jensen 不等式，要想让等式成立，需 要让随机变量变成常数值。对式子做进一步推导可以得到一般的 EM 算法的步骤如下 ：
中取得了较为不错的效果。
关键词 ：图像降噪 ；小波系数 ；混合拉普拉斯模型 ；EM 算法
doi ：10.3969/J.ISSN.1672-7274.2019.10.118
中图分类号 ：O212.1
文献标示码 ：A
文章编码 ：1672-7274（2019）10-0157-03
一般来说，图像在生成和传输过程中常常因受到各种噪声的 干扰和影响而使图像降质，这对后续图像的处理将产生不利影响。 噪声可以理解为“妨碍人们的感觉器官对所接受的信源信息理解 的因素”。目前，图像去噪在数字图像处理技术中的重要性越加 明显。
M-step ：
估计混合模型的方差 ：
图3 含噪图像第1层小波系数的分布直方图
4 实验结果
本论文采用的无噪图像是一张大小为 512×512 像素的灰色 标准测试图，只经过灰度化将图像的三维矩阵转换成一维矩阵。
4.1 无噪图像小波系数模型验证 本节验证无噪图像的小波系数是否符合提出的混 Nhomakorabea拉普拉斯
模型，对于混合模型参数的估计也采用 EM 算法。其结果如图 1-3 所示，其中图 1 代表无噪图像第一层小波系数的分布直方图，图 2 代表无噪图像第二层小波系数的分布直方图。
w 的最大后验估计定义为
定义 f（w）=log（Pw（w），这样通过对 对上式求导，并令 其为 0，即 ：
便能够得到 w 的最大后验估计。 2.2 单一拉普拉斯模型
有了 w 的最大后验估计，接下来便要估计观测信号小波系数 的分布模型，若假设无噪信号的小波系数服从单一的拉普拉斯概 率密度函数，则 ：
2.3 混合拉普拉斯模型 若假设无噪信号的小波系数服从混合拉普拉斯概率密度函
3.2 EM 算法求解混合拉普拉斯模型参数
由于 ：
无
法直接求得，所以采用 EM（Expectation-Maximum）算法迭代求
最优参数 ：
E-step ：
从结果来看，无噪图像的小波系数近似符合混合拉普拉斯模 型，由 EM 算法迭代出的参数也符合图像小波系数的分布。 4.2 噪声图像小波系数验证
本节验证叠加了噪声的图像经小波变换后的小波系数的分 布，是否符合混合 Lapgauss 概率密度函数，叠加的噪声标准差 为 10。结果分别如图 3-6 所示。其中图 3 代表含噪图像第一层小 波系数的分布直方图，图 4 代表含噪图像第二层小波系数的分布 直方图。
数，可得 与 y 的关系可以表示为 ：
2.4 混合概率密度函数 本小节将一个拉普拉斯概率密度函数与一个高斯概率密度函
数的卷积表示成一个概率密度函数，以方便下节用 EM 算法进 行参数计算。将 y=x*n（“*”代表卷积）的概率密度函数简记为
，可得 ：
3 EM 算法
混合模型会有比单独的概率密度函数更多的参数，而随着参 数数量的增加，通过观测信号对参数的估计的准确度就会降低， 所以选择适量的参数并对其进行准确的估计很重要，现引入 EM 算法来解决参数估计的问题。 3.1 EM Algorithm
1 小波去噪问题的描述
设噪声图像 G（i，j）=X（i，j）+n（i，j），降除噪声的问 题可以认为是如何将 X（i，j）从 G（i，j）中恢复出来。对噪声 图像进行小波变换后得到 WG（i，j）=WX（i，j）+n（i，j）。
常用的传统的低通去噪滤波方法有滑动平均窗（均值滤波方 法）、线性滤噪、中值滤波、基于秩 - 阶滤波（排序量）的方法、 基于马尔可夫场模型 [4] 和基于偏微分方程（PDE）的方法 [5] 等。 用这些方法可以去除大部分的噪声小波系数，同时较好地保留图 像的高频细节信号。但仔细分析，不难发现，用这种方法去噪， 并没有考虑图像本身的能量分布特点，不可避免地会造成各个子 带去噪的不平衡，不利于图像的恢复。
图4 含噪图像第2层小波系数的分布直方图
从结果来看，噪声图像的小波系数分布也符合混合 Lapgauss 概率密度函数。 4.3 图像降噪结果