2021-2022年人教B版(2019)高一数学上册课时同步练第19课 单调性的定义与证明【含答案】

2021-2022年人教B 版（2019）高一数学上册课时同步练 第19课 单
调性的定义与证明【含答案】
一、基础巩固
1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B ．函数在区间[1,4]上单调递增
C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性 【答案】C
【解析】由题图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.
2．若函数f(x)＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则有( ) A ．a≥12 B ．a≤12
C ．a>1
2
D ．a<12
【答案】D
【解析】函数f(x)＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则2a －1<0，即a<1
2.故选D.
3．函数y ＝
1
x －1
在[2,3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13 D ．－1
2
【答案】B
【解析】∵函数y＝
1
x－1
在[2,3]上单调递减，∴当x＝3时，y min＝
1
3－1
＝
1
2
.
4．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为( ) A．b＝3 B．b≥3 C．b≤3D．b≠3
【答案】C
【解析】函数f(x)＝x2－2bx＋2的图像是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C.
5．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列选项正确的是( )
A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)]
B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)]
D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
【答案】D
【解析】因为a＋b≤0，所以a≤－b或b≤－a，
又函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
6．函数f(x)＝1
x
在[1，b](b>1)上的最小值是
1
4
，则b＝________.
【答案】4
【解析】因为f(x)＝1
x
在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝
1
b
＝
1
4
，
所以b＝4.
7．若函数f(x)＝
1
x＋1
在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
【答案】[－1，＋∞)
【解析】函数f(x)＝
1
x＋1
的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)，
又f(x)在(a ，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.
8．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．
①y ＝a ＋f(x)(a 为常数)；②y ＝a －f(x)(a 为常数)； ③y ＝1
f (x )；④y ＝[f(x)]2.
【答案】②③
【解析】f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0时，－f(x)，1
f (x )均为递增函数，故选②③.
9．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，解不等式f(x)＞f(8(x －2))． 【答案】2＜x ＜
167
. 【解析】由f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数得，⎩⎨⎧
x>0，
8(x －2)>0，
x>8(x －2)，
解得2＜x ＜16
7
.
10．求函数f(x)＝x ＋4
x 在[1,4]上的最值．
【答案】 最小值4，最大值5
【解析】设1≤x 1<x 2<2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝x 1－x 2＋4(x 2－x 1)
x 1x 2
＝(x 1－
x 2)·⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－4x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－4)x 1x 2.
∵1≤x 1<x 2<2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－4<0，x 1x 2>0， ∴f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数． 同理f(x)在[2,4]上是增函数．
∴当x ＝2时，f(x)取得最小值4；当x ＝1或x ＝4时，f(x)取得最大值5. 二、拓展提升
1．定义在R 上的函数f(x)，对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1
<0，则( )
A ．f(3)<f(2)<f(1)
B ．f(1)<f(2)<f(3)
C ．f(2)<f(1)<f(3)
D ．f(3)<f(1)<f(2)
【答案】A
【解析】对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，有
f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1
<0，则x 2－x 1与f(x 2)－f(x 1)异号，则f(x)
在R 上是减函数．又3>2>1，则f(3)<f(2)<f(1)．故选A.
2．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧
(a －3)x ＋5(x≤1)，
2a
x (x ＞1)
是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是
( )
A ．(0,3)
B ．(0,3]
C ．(0,2)
D ．(0,2]
【答案】D
【解析】由题意知实数a 满足⎩⎨⎧
a －3＜0，
2a ＞0，
(a －3)＋5≥2a，
解得0＜a≤2，故实数a 的取值范
围为(0,2]．
3．函数f(x)＝2x 2－3|x|的单调递减区间是________． 【答案】⎝
⎛
⎦⎥⎤－∞，－34，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34
【解析】函数f(x)＝2x 2
－3|x|＝⎩⎨⎧
2x 2
－3x ，x≥0，2x 2＋3x ，x<0，
图像如图所示，f(x)的单调递减区间为 ⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，－34，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，34.
4．用min{a ，b}表示a ，b 两个数中的最小值．设f(x)＝min{x ＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
【答案】6
【解析】在同一个平面直角坐标系内画出函数y ＝x ＋2和y ＝10－x 的图像．
根据min{x ＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图像应为图中的实线部分． 解方程x ＋2＝10－x ，得x ＝4，此时y ＝6，故两图像的交点为(4,6)．
所以f(x)＝⎩⎨⎧
x ＋2，0≤x≤4，
10－x ，x>4，其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6.
5．已知一次函数f(x)是R 上的增函数，g(x)＝f(x)(x ＋m)，且f(f(x))＝16x ＋5. (1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）f(x)＝4x ＋1；（2）⎣⎢⎡⎭⎪⎫
－94，＋∞
【解析】(1)由题意设f(x)＝ax ＋b(a>0)．
从而f(f(x))＝a(ax ＋b)＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝16x ＋5， 所以⎩⎨⎧
a 2
＝16，
ab ＋b ＝5，
解得⎩⎨⎧
a ＝4，
b ＝1或⎩
⎨⎧
a ＝－4，
b ＝－5
3
(不合题意，舍去)．
所以f(x)的解析式为f(x)＝4x ＋1.
(2)g(x)＝f(x)(x ＋m)＝(4x ＋1)(x ＋m)＝4x 2＋(4m ＋1)x ＋m ，g(x)图像的对称轴为直线x ＝－4m ＋1
8
.
若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－4m ＋18≤1，解得m≥－9
4
，所以实数m 的取值
范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－94，＋∞.。