高考数学压轴专题临汾备战高考《三角函数与解三角形》知识点总复习附解析

【最新】数学《三角函数与解三角形》复习资料
一、选择题
1．在△ABC 中，7b =，5c =，3
B π
∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4
C ．7
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】
因为7,5,3
b c B π
==∠=
，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，
即2
1
4925252
a a =+-⨯⨯
，整理得25240a a --=， 解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.
2．能使sin(2))y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．
5π3
B ．
43
π C ．
23
π D ．
3
π
【答案】C 【解析】 【分析】
首先利用辅助角公式化简函数，然后根据函数的奇偶性和单调性求得θ的值. 【详解】
依题意π2sin 23y x θ⎛⎫=++
⎪
⎝
⎭，由于函数为奇函数，故ππ
π,π33
k k θθ+==-，当1,2k =时，2π3θ=
或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3
θ=时，()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，
()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上是增函数，不符合题意.
故选C. 【点睛】
本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
3．已知函数(
)sin f x a x x =的一条对称轴为56
x π
=
，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：
①实数a 的值为1；
②()()1,x f x 和()()
22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为
23
π． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．①③④
C ．①④
D ．③④
【答案】B 【解析】 【分析】 根据56
x π
=
是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为
2
T
π=，然后由()()12f x f x =-，得到()()1
1
,x f x 和()()2
2
,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证.
【详解】 ∵56x π
=
是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
， 令0x =，得()503
f f π
⎛⎫=
⎪⎝⎭
，即-1a =，①正确； ∴(
)sin 2sin 3π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭f x x x x ．
又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为
2
T
π=，且()()12f x f x =-， ∴()(
)11,x f x 和()()
22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，
∴121233223
x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π
，k Z ∈，
∴12223
x x k π
π+=+
，k Z ∈， 当0k =时，12x x +取最小值23
π
，所以①③④正确，②错误． 故选：B 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.
4．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40︒的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70︒方向的C 处，且A 与C 的距离为153千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ）
(
)
7 2.6≈
A ．10分钟
B ．15分钟
C ．20分钟
D ．25分钟
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得5713BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】
根据条件可得30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =， 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=， 则5713BC =≈（千米）， 由B 到达C 所需时间约为13
0.2552
=（时）15=分钟． 故选：B ． 【点睛】
该题是一道关于解三角形的实际应用题，解题的关键是掌握余弦定理的应用，属于简单题目.
5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则
a
b
=( )
A ．
B ．2
C
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
由正弦定理及题设可知，sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，又
A B C π++=，可得sin 2sin A B =，再由正弦定理，可得解
【详解】
由正弦定理：
2sin sin b c
R B C
==，又cos cos 2b C c B b += 得到sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=
在ABC ∆中，A B C π++=
故sin()2sin A B π-=，即sin 2sin A B =
故
sin 2sin a A b B == 故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理在边角互化中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
6．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2cos cos b C c B =，则
111
tan tan tan A B C
++的最小值为（ ）
A ．
3
B C ．
3
D ．【答案】A 【解析】 【分析】
先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】
∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴
()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1
B C B B
B C B B +=-
=-=---，
∴21112tan 111
tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++
27tan 3
6tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,
∴
27tan 36tan 3
B B +≥=
，当且
仅当tan B =
时取等号，
∴min
111tan tan tan A B C ⎛⎫++=
⎪⎝⎭ A. 【点睛】
本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.
7．函数sin 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象（ ） A ．向右平移3
π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6
π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 C ．向左平移3π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 D ．向左平移6π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12
，横坐标不变得到 【答案】D 【解析】 【分析】
合并cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，利用平移、伸缩知识即可判断选项。

【详解】
由cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
将它的图象向左平移
6
π
个单位， 可得函数2sin 22sin 2666y x x πππ⎛⎫
⎛
⎫⎛
⎫=+
-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
的图象，
再将上述图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到：sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭图
象. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了三角函数图象的平移、伸缩变换，考查了两角差的正弦公式，属于中档题。

8．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）
A ．
B ．
C
D 【答案】B 【解析】 【分析】
由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】
()()
sin 2cos f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=- ()
max f x ∴sin 2cos θθ-=
又22sin cos 1θθ+= cos θ∴=【点睛】
本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.
9．锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，若
()
sin 0
3A B C π⎛
⎫+++= ⎪⎝⎭，b =c =，则角B =（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
512
π 【答案】B 【解析】 【分析】
先由()sin 03A B C π⎛⎫
+
++= ⎪⎝
⎭求出3
A π
=，然后用余弦定理算出a =再用余弦定理算出cos B 即可. 【详解】
因为()sin 3cos 03A B C π⎛⎫
+++= ⎪⎝
⎭
所以
1313
sin cos 3cos sin cos 022A A A A A +-=-= 所以tan 3A =，因为0,2A π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以3
A π
=
所以由余弦定理得：
222
22co 26261
22322s a b c bc A ⎛⎫++-⨯⨯=+-=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
所以3a =
所以2
222
62322cos 2262
232
a c
b B a
c ⎛⎫
++- ⎪+-⎝⎭===
+⨯⨯
因为0,2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以4
B π
=
故选：B 【点睛】
本题考查的是利用余弦定理解三角形，数据不特殊，计算能力是解题的关键.
10．已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫
=+∈>>< ⎪⎝
⎭
的图象（部分）如图所示，则ω，ϕ分别为（ ）
A ．,3
π
ωπϕ==
B ．2,3
π
ωπϕ==
C ．,6
π
ωπϕ==
D ．2,6
π
ωπϕ==
【答案】C 【解析】 【分析】
由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23
f =确定ϕ. 【详解】 由图可得，2A =，511
4632T =-=，所以22T πω
==，ωπ=，又1()23f =，
所以12sin()23πϕ⨯+=，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6
k k Z π
ϕπ=+∈， 又2
π
ϕ<
，故6
π
=
ϕ. 故选：C 【点睛】
本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中
档题.
11．在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D
，BD =
，
1
cos 4
BAC ∠=
，则AD =（ ） A ．2 B
C
D
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出sin BAD ∠=，再利用正弦定理求AD. 【详解】
∵2
1cos 12sin 4
BAC BAD ∠=-∠=，
∴sin 4
BAD ∠=
.在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠，
∴
sin 2sin B
AD BD BAD =⋅==∠. 【点睛】
本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12．已知ππ43π
sin()cos(),0,322
ααα++-=--<<则2πcos()3α+等于（ ）
A ．
5
B ．35
-
C ．
45
D ．
35
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫
+=- ⎪
⎝
⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
求值. 【详解】
解析：∵ππ43sin cos 32αα⎛⎫⎛
⎫++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
133343
sin cos sin sin cos 22ααααα++=+=-
433sin 6πα⎛
⎫=+=-
⎪⎝
⎭ ∴π4
sin 65
()α+=-.
又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35
)α+=. 故选：C 【点睛】
本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.
13．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎣⎦
在一个周期内的图象是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】
根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣
⎦⎣⎦ 22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
=⎝⎭⎭
=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】
这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.
14．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则sin 2α的值为（ ）
A ．78
-
B ．
78
C ．18
-
D ．
18
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】
解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
所以(
)
22
2cos sin sin
cos cos
sin 4
4
π
π
αααα-=-
所以()())2cos sin cos sin cos sin 2
αααααα-+=
- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭
Q ，
所以cos sin 4
αα+=
所以()2
1cos sin 8αα+=
，即22
1cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28
α+=
所以7sin 28
α=-
故选：A
【点睛】 本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；
15．函数()2sin sin cos y x x x =+的最大值为（ ）
A ．1
B 1
C
D ．2
【答案】A
【解析】
由题意，得()22sin sin cos 2sin 2sin cos sin2cos21y x x x x x x x x =+=+=-+ π
2114x ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝
⎭；故选A.
16．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭
的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（ ）
A ．(0,]4π
B ．(0,]2π
C ．3(0,]4π
D ．3(0,]2
π 【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到12
ω=，则()1tan 2
4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后求得其单调增区间，再根据()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，由(,)m m -是增区间的子集求解.
【详解】
因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期， 所以12ω=
，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22
k x k k ππππ-<<+∈Z ， 所以()f x 在3,22ππ⎛⎫-
⎪⎝⎭上是增函数， 由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆- ⎪⎝
⎭，
解得02m π<≤
.
故选：B
【点睛】 本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题
17．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若121cos 4
F MF ∠=,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A
．y =
B
．3y x =± C ．y x =± D ．2y x =±
【答案】A
【解析】
【分析】 因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案.
【详解】
Q 双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 1212
22MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:
∴ 12121222122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅
可得:2221(2)(4)(2)2424
c a a a a =+-⋅⋅⋅
化简可得:2c a =
由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-=
可得
:b = Q 双曲线渐近线方程为:b y x a
=± 则双曲线渐近线方程为
: y =
故选:A.
【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.
18．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-
对称，则()f x 的最大值为（ ）
A ．2
B C ．D 或【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则有()(0)2f f π
-=，解得a ，得到函数再求最值. 【详解】
因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-
对称， 所以()(0)2
f f π
-=， 即220a a +-=，
解得2a =-或1a =，
当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝
⎭，此时()f x 的最大值为
；
当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=
- ⎪⎝⎭，此时()f x ；
综上()f x 或.
故选：D
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
19．已知1tan 4,tan θθ+
=则2sin ()4πθ+=（ ） A ．15 B ．14 C ．12 D ．34
【答案】D
【解析】
【分析】 根据同角三角函数的关系化简1tan 4tan θθ
+=成关于正余弦的关系式,再利用降幂公式与
诱导公式化简2sin ()4πθ+
求解即可.
【详解】 由题, 1tan 4,tan θθ+=则22sin cos sin cos 444sin cos 1cos sin sin cos θθθθθθθθθθ
++=⇒=⇒=, 故1sin 22
θ=. 所以2sin ()4π
θ+=1cos 222
πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1sin 2324θ+==. 故选：D
【点睛】 本题主要考查了三角函数的公式运用,在有正切函数时可考虑转化为正余弦的关系进行化简,属于基础题.
20．设函数f (x )=cos (x +3
π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=
83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=
6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D
【解析】
f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫ ⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭
＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛
⎫++
⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确；
由于f 2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭
＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误．
故选D.。