(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测题(有答案解析)

一、选择题
1．1220
1x dx -=⎰
（ ）
A ．
12
π
B ．
3128
π+ C ．
368
π+ D ．
3
64
π+
2．已知函数2
2(1),10()1,01
x x f x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则11
()d f x x -=⎰（ ） A ．38
12
π- B ．
4312
π
+ C ．
44
π
+ D ．
4312
π
-+ 3．2
220
2
4xdx x dx +-=⎰
⎰
( )
A ．
2
π B ．
12
π
+ C ．
4
π D ．π
4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域
OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）
A ．
1e
B ．
11
e - C ．11e
-
D ．
2
1
e e -- 5．已知函数()2
ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥
B ．1
2
m < C ．1m ≥ D ．1m < 6．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02
x π
≤≤
时，
()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）
A ．48π-
B ．24π-
C ．2π-
D ．36π-
7．3侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（ ）
A ．
23
B ．
43
C ．
22
3
D ．
42
3
8．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--，正弦曲线
f x
sinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机
投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．
())
12
20
11d x x x --⎰的值是（ ）
A ．
π1
43- B ．
π14
- C ．
π123
- D ．
π12
- 10．设函数2
e ,10
()1,01
x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，计算11()d f x x -⎰的值为（ ） A ．
1e π
e 4
-+ B ．
e 1π
e 4
-+ C ．
e 12π
e - D ．
e 1π
e 2
-+ 11．1201(1))x x dx ⎰--=（ ） A ．22
π
+
B ．
12
π
+ C ．
1
2
2
π
-
D ．
142
π- 12．计算
()1
2
2x x dx -⎰的结果为（ ）
A ．0
B ．1
C ．
23
D ．
53
二、填空题
13．定积分1
2
(1)x x dx -=⎰
______________.
14．如图所示，则阴影部分的面积是 .
15．若二项式2651()5x x +的展开式中的常数项为m ，则2
1
(2)d m
x x x -=⎰_________．
16．若定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x 都有
()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“z 函数”.给出下列四个定义
在()0,+∞的函数：①31y x =-+；②2sinx-cosx y x =+；③,0
{
0,0
ln x x y x ≠==；
④224,0
{
,0
x x x y x x x +≥=-+<，其中“z 函数”对应的序号为__________．
17．已知()
1
2
1
11,a x dx -=
+
-⎰则9
32a x x π⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭展开式中的各项系数和为________
18．
()
1
20
21x x dx +
-=⎰________
19．设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6
x π
=
围成的封闭图形的面积为b ，若
2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是__________．
20．定积分
1
2
0124x x dx π⎛⎫-+- ⎪⎝⎭
⎰的值______. 三、解答题
21． 求曲线2y
x 和直线y x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．
22．计算： （1）7
10C
（2）
()
2
22
24x x dx -+
-⎰
23．设函数()x x f x e e -=- （1）证明：'()2f x ≥；
（2）若对任意[0,)x ∈+∞都有21(22)f x x e e ---<-，求x 的取值范围.
24．为了净化广州水系，拟在小清河建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外壁建造单价为400元/m 2，中间两条隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．
(1)写出总造价y (元)与x 的函数关系式，并指出定义域；
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低，并求最低造价．
25．已知()[](]22122f x 1x 24x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，，，，，求k 的值，使()3
k
40
f x dx 3=⎰. 26．已知()13
1
3d 26x ax a b x a -⎰＋＋－＝＋，且()()3
3d t
f t x ax a b x ⎰＝＋＋－为偶函数，求
a ，
b ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
令21y x =-()2
2
10x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆
与y 轴，1
2
x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】
解：令21y x =-()2
2
10x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，
12
20
1x dx -表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，1
2
x =
，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：
故
1220
1131311222612
OAB BOC
x dx S
S ππ
-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】
本题考查定积分的几何意义，属基础题.
2．B
解析：B 【分析】
根据积分的性质将所求积分化为()
2
21
11x dx x dx -++-⎰⎰，根据微积分基本定理和定积
分的求法可求得结果. 【详解】
()()
00
2
23211
00011112100101111333x dx x x dx x x x --+=++=++=++-++=---⎰⎰， 20
1x dx -⎰
表示以原点为圆心，1为半径的圆在第一象限中的部分的面积，
214
x dx π
∴-=
⎰，
()()1
2
21
1
143113412
f x dx x dx x dx ππ
--+∴=++-=+=⎰⎰
⎰.
故选：B . 【点睛】
本题考查积分的求解问题，涉及到积分的性质、微积分基本定理和定积分的求解等知识，属于基础题.
3．A
解析：A 【分析】
分别根据积分的运算法则和几何意义求得两个积分的值，进而得到结果. 【详解】
2
2
00
112
x =
=
222
4x dx -⎰
表示下图所示的阴影部分的面积S
2OA =，2OC = 4
AOC π
∴∠=
12221422
S π
π∴=
⨯-⨯⨯=- 2220
2
4112
2
xdx x dx π
π
+-∴=+
-=
⎰
⎰
故选：A 【点睛】
本题考查积分的求解问题，涉及到积分的运算法则和几何意义的应用.
4．D
解析：D 【解析】
试题分析：由几何概型可知，所求概率为.
考点：几何概型、定积分．
5．B
解析：B
【解析】求导函数，可得()1
'220f x mx x x
=+
->，，函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，所以()'0f x < 成立，即1
220(0)mx x x
+
-<>恒成立，所以2
1211m x ⎛⎫
->-- ⎪⎝⎭
，所以21m ->-，所以12m < 时，函数()f x 在定义域内是增函
数．故选B ．
6．A
解析：A
【解析】
由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函数，画出函数()[]
,0,2y f x x π=∈的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数
(),0,2y f x x π⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。

容易算得函数
(),0,2y f x x π⎡⎤
=∈⎢⎥
⎣⎦
的图像与
x
轴所围成的面积是
()2
011122S cosx dx π
ππ
⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭⎰，故借助函数图像的对称性求得函数
()[],2,2y f x x ππ=∈-的图像与x 轴所围成的面积是848S π=-，应选答案A 。

点睛：解答本题的思路是充分依据题设条件与函数图像的对称性，借助定积分的计算公式先求得函数(),0,
2y f x x π⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
的图像与x 轴所围成的面积，再乘以8即可得到函数()[],2,2y f x x ππ=∈-的图像与x 轴所围成的面积是848S π=-。

整个求解过程中体
现了数学中等价转化与化归的数学思想的巧妙、灵活运用。

7．B
解析：B 【解析】
设底面边长为a ，依据题设可得棱锥的高2
a
h =，底面中心到顶点的距离22
d =，由勾
股定理可得22
221(
)()(3)2
a +=，解之得2a =，所以正四棱锥的体积2124
2323
V =⨯⨯=，故应选答案B ．
8．B
解析：B 【解析】
试题分析：阴影部分的面积
()04
4
sin cos (cos sin )|12S x x dx x x π
π
ππ
=-=--=+⎰
由几何概型可知：向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是
0ABCD
S P S =
矩形，故选B ． 考点：几何概型．
9．A
解析：A 【详解】
因为定积分
1
11
22000d )(x d x x x ⎫
⎫=-⎪⎪⎭⎭
⎰⎰⎰，结合定积分的几何意义可知,原式等于圆心为（1,1），半径为1的四分之一个圆的面积减去
1
3
得到，即为1
43
-π
，选A. 10．B
解析：B
【解析】
因为函数e ,10()1x x f x x ⎧-≤≤⎪=<≤
，所以10110()d e d x f x x x x --=+⎰⎰，其中
01101e 1e d e e e 11e e x x x ---==-=-=
-⎰，0x 表示圆221x y +=
在第一象限的面积，即
π4x =，所以1
1
e 1π
()d e 4f x x --=+⎰，故选B ．
11．D
解析：D
【分析】 函数10
y dx =⎰的图象是以(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆，作出直线
y x =，则图中阴影部分的面积为题目所要求的定积分.
【详解】
由题意，
)
11
1
()x dx dx x dx =+-⎰⎰
⎰，如图：
120
1(1)x dx --⎰的大小相当于是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的1
4
，
故其值为4
π，021011()1()|22x d x x --=-=⎰， 所以，
)
1
1
1
220
1
1(1)1(1)()4
2
x x dx x dx x dx π
--=--+-=
-
⎰⎰
⎰ 所以本题选D. 【点睛】
本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种方法都涉及到了，由定积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求，
120
1(1)x dx --⎰和1
()x dx -⎰.
12．C
解析：C 【分析】
求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案. 【详解】
1
22
312300
112(2)()|11333
x x dx x x -=-=-⨯=⎰， 故选C. 【点睛】
该题考查的是有关定积分的运算求解问题，属于简单题目.
二、填空题
13．【解析】函数表示以为圆心为半径的单位圆位于第一象限的部分则由微积分基本定理可得：则：
解析：
2
4
π-
【解析】
函数)01y x =≤≤表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆位于第一象限的部
分，则4
π
=
⎰，
由微积分基本定理可得：
()1
2100
11
|22x dx x ⎛
⎫-=-=- ⎪⎝⎭
⎰
，
则：
)
1
12
4
24
x dx π
π-=
-
=⎰. 14．【解析】试题分析：由题意得直线与抛物线解得交点分别为和抛物线与轴负半轴交点设阴影部分的面积为则考点：定积分在求面积中的应用【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用其中解答中根据直线方 解析：
32
3
【解析】
试题分析：由题意得，直线2y x =与抛物线23y x =-，解得交点分别为(3,6)--和
(1,2)，抛物线23y x =-与x
轴负半轴交点(，设阴影部分的面积为S
，则
1
2
2
0(32)(3)S x x dx x
dx =--+
-⎰
23
3
2(3)xdx x dx ---+-⎰
532933
=
+-． 考点：定积分在求面积中的应用．
【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用，其中解答中根据直线方程与曲线方程的交点坐标，确定积分的上、下限，确定被积函数是解答此类问题的关键，同时解答中注意图形的分割，在x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
15．【解析】解答：由Tr+1=⋅⋅()r=令12−3r=0得r=4∴m=()2⋅=3则==(x3−x2)=(×33−32)−(−1)=故答案为： 解析：2
3
【解析】 解答：
由T r +1=6r
C
⋅62r
-⎫⎪⎪⎝⎭
⋅(1x
)r =6123r 6
5x 5r
r
C --⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
令12−3r =0，得r =4. ∴m
=(
5
)2⋅4
6C =3. 则
(
)
2
1
2d m
x x x -⎰=
(
)
3
2
1
2d x x x -⎰=(
13x 3−x 2)31 =(13
×33−32)−(1 3−1)=2 3. 故答案为：
23
. 16．②④【解析】函数在上单调递增①②③为单调递减④单调递增;单调递增;且所以为单调递增选②④
解析：②④
【解析】()()()()()()()()
1122122112120x f x x f x x f x x f x x x f x f x +>+⇔-->⇔函数()f x 在R 上单调递增.
①2
30y x =-'≤,
②π2cos sin 204y x x x ⎛⎫
=++=++
> ⎪⎝
⎭
',③()0,ln x y x <=-为单调递减, ④20,4x y x x ≥=+单调递增; 20,x y x x <=-+单调递增;且2
2
0,4x y x x x x ==+=-+,所以22
4,0
{,0
x x x y x x x +≥=-+<为单调递增,选②④ 17．－1【解析】表示圆上半圆的面积所以那么原二项式为的展开式中各项系数和令那么故填：-1
解析：－1
【解析
】1
1
1
1
1a dx --=+
⎰
， 11
1
1|21dx x -==-⎰ ，
1
- ，表示圆
2
2
1x y += 上半圆的面积2π，所以22a π=+ ，那么原二项式为9
32x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭ 的展开式中各
项系数和，令1x = ，那么9
32111⎛
⎫⨯-=- ⎪⎝⎭ ，故填：-1.
18．【详解】因而应填答案 解析：14
π
+
【详解】
因1
1
(2(2)x dx x dx +=+
⎰⎰，而1
220
(2)101x dx =-=⎰
，
2
22
2
00
0111cos (1cos 2)sin 2|22224dx tdt t dt t ππ
π
ππ==+=⨯+=⎰⎰，应填答案14π+．
19．k≥0【解析】由题意可知则由在上单调递减则在上恒成立即在上恒成立令则当时函数在上为减函数则故实数的取值范围是点睛：曲线与轴轴直线围成的封闭图形的面积为为函数在上的定积分求出后代入函数由在上单调递减可
解析：k≥0 【解析】 由题意可知，
6
011
cos sin sin sin 0066220
b xdx x π
π
π===-=-=⎰
则()2
2
222g x lnx bx kx lnx x kx =--=--
()2
2g x x k x
-'=
- 由()2
22g x lnx bx kx =--在[
)1,+∞上单调递减， 则()2
2?0g x x k x
'=--≤在[)1,+∞上恒成立， 即2
2k x x ≥
-在[)1,+∞上恒成立， 令()2
2t x x x
=
- 则()2
2
2t x x =-
'- 当)1,x ⎡∈+∞⎣时，()2
2
20t x x '=-
-< ∴函数()2
2t x x x
=
-在)1,⎡+∞⎣上为减函数， 则()()10max t x t ==
0k ∴≥
故实数k 的取值范围是0k ≥
点睛：曲线y cosx =与x 轴、y 轴、直线6
x π
=
围成的封闭图形的面积为b ，b 为函数
y cosx =在06π⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
，上的定积分，求出b 后代入函数()222g x lnx bx kx =--，由()222g x lnx bx kx =--在[)1,+∞上单调递减，可知其导函数在[)1,+∞上小于等于0恒
成立，然后利用分离变量法可求k 的取值范围．
20．1【分析】等于以原点为圆心以1为半径的圆面积的四分之一为再利用微积分基本定理求出的值即可【详解】因为等于以原点为圆心以1为半径的圆面积的四分之一为所以故答案为：1【点睛】本题主要考查微积分基本定理的
【分析】
⎰
等于以原点为圆心，以1为半径的圆面积的四分之一，为4
π
，再利用微积分
基本定理求出1
024x π⎛⎫- ⎪⎝⎭
⎰的值即可. 【详解】
1
024x dx π⎫-⎪⎭⎰ 1
0024x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭⎰⎰，
因为
⎰
等于以原点为圆心，以1为半径的圆面积的四分之一，为4
π
，
1
210
02|1444x x x πππ⎛⎫⎛⎫
-=-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
⎰，
所以
1
0211444x πππ⎛
⎫+-=+-= ⎪⎝
⎭⎰
⎰，
故答案为：1 【点睛】
本题主要考查微积分基本定理的应用，考查了定积分的几何意义，属于基础题.
三、解答题
21．
215
π
. 【分析】 联立方程2y x 与y x =，解得()()0,0,1,1O A ,直接利用定积分的几何意义求解即可. 【详解】 联立方程2y
x 与y x =，解得()()0,0,1,1O A ,
所以所求旋转体的体积()
11
2
2
2
V x dx x dx ππ=
-⎰⎰
315100||3
5
x x π
π
=-
23
5
15
π
π
π
=
-
=
. 【点睛】
本题主要考查定积分的几何意义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题. 22．(1)120；(2)2π
（1）根据组合数的对称性计算；
（2）将括号中内容拆分，一部分按定积分性质计算，另一部分使用定积分几何意义计算. 【详解】 （1）7
3
10101098
C =C ==1203⨯⨯！
；
（2）
(2
22
2
2
2=2x dx xdx ---+⎰
⎰⎰
，其中2
2
2xdx -⎰中()2f x x =是奇函
数，所以 22
20xdx -=⎰
；
2
-⎰
表示圆心在原点半径等于2的圆在x 轴上方的面
积，故
(
2
2
2
2
2
42=2022
x dx xdx π
π---++=+
=⎰
⎰⎰
. 【点睛】 （1）计算()a
a
f x dx -⎰
（0a >）时，若()f x 为奇函数，则()0a
a
f x dx -=⎰；若()f x 为偶
函数，则
()2()2()a
a
a
a
f x dx f x dx f x dx --==⎰
⎰⎰.
（2）组合数对称性：C =C ()m
n m
n n m n -≤.
23．(1)见解析;(2) x 的范围是[0,3).
【解析】
试题分析：（1）根据均值不等式，()'x
x
f x e e -=+乘积是定值，可以证得问题.
(2)首先要根据根据函数特殊值()1
1f e e -=-，再由函数的单调性直接比较函数自变量的大
小关系即可.
（1）()'2x x f x e e -=+≥=（当且仅当x x e e -=即0x =时取“=”） ∴ ()'2f x ≥
（2）由（1）可知，对任意x R ∈，均有()'20f x ≥>，所以 函数()y f x =在
(),-∞+∞上单调递增
从而()()
()212
22221f x x e e f x x f ---<-⇔--< 2221x x ⇔--<
13x ⇔-<< ，
故当对任意[
)0,x ∈+∞都有()
21
22f x x e e ---<-时，x 的取值范围是[
)0,3.
点睛：这道题目是考查不等式与函数最值集合的问题，第一问因为x x e e -和乘积是定值，故就想到了均值不等式求最值.第二问，解不等式，根据抽象函数的单调性，直接去掉f ，直接比较括号内的大小关系即可. 24．(1) y ＝800x ＋
259200
x ＋16 000，
252
≤x ≤16. (2) 当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价y 最低，为45 000元．
试题分析：（1）先求面积，再乘以对应价格，求和得总造价，根据长、宽都不能超过16 m 要求确定定义域（2）利用导数可得函数为定义域上单调减函数，再根据单调性求最小值 试题
解：(1)矩形平面图的两边长分别为x m ， m ，
根据题意，得
解得≤x ≤16. y ＝×400＋
×248＋16 000
＝800x ＋＋16 000，≤x ≤16. (2)y ′＝800－
，
当≤x ≤16时，y ′＜0，函数在
上为减函数，
所以当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价y 最低，为45 000元． 25．k ＝0或k ＝－1 【分析】
由题意，要讨论k 与2的大小关系，分别计算两种情况下的定积分，然后确定k 值． 【详解】
分2＜k≤3和－2≤k≤2两种情况讨论：
当2＜k≤3时，()(
)
()33
332
k k
3x k 40
f x dx 1x dx x 39k 333k ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. 整理，得k 3＋3k ＋4＝0，即k 3＋k 2－k 2＋3k ＋4＝0.
∴(k ＋1)(k 2－k ＋4)＝0，∴k ＝－1.又∵2＜k≤3，∴k ＝－1舍去.
当－2≤k≤2时，()()()3
23
2
k
k
2
f x dx 2x 1dx 1x dx =
+++⎰
⎰⎰ (
)
32
23
x x x x 2
3k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭
()()
()2842k k 3923⎛
⎫=+-+++-+ ⎪⎝
⎭
()
24040
k k 33
=
-+=， ∴k 2＋k ＝0，即k ＝0或k ＝－1，满足条件. 综上所述，k ＝0或k ＝－1时，使()3
k
40
f x dx 3
=
⎰
.
本题考查了定积分的计算和分类讨论的思想，关键是由题意讨论k 的范围得到不同的定积分．属于中档题. 26．a ＝－3，b ＝－9 【解析】 【分析】
利用微积分基本定理得a,b 的方程组求解即可. 【详解】
因为f(x)＝3
x ＋ax 为奇函数，所以
()1
3
1
x ax dx 0＋＝-⎰.
所以
()1
3
1
x ax 3a b dx -⎰＋＋－
()
()1
1
31
1
x ax dx 3a b dx ＋－--=+⎰⎰
()103a b x |
1
-＝＋－ ＝6a －2b ，
所以6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b=3.①
又()()()442
2x a t at f t x 3a b x 3a b t 04242t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
＝＋＋－＝＋
＋－为偶函数， 所以3a －b ＝0，② 由①②得：a ＝－3，b ＝－9. 【点睛】
本题考查微积分基本定理,准确计算是关键，是基础题.。