高考数学复习专题五解析几何第一讲直线与圆课件文

[悟通——方法结论] 1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2 ＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 其 中 D2 ＋ E2 － 4F>0 ， 表 示 以
Ax＋By＋C＝0 2 2 2 x － a ＋ y － b ＝ r r＞0
消元得一元二次方程， 根据判 别式 Δ 的符号判断
相交 相切 相离
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
2.弦长与切线长的计算方法 (1)弦长的计算：直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，则|AB|＝ 2 r2－d2(其中 d 为弦心距)． (2)切线长的计算： 过点 P 向圆引切线 PA， 则|PA|＝ |PC|2－r2(其 中 C 为圆心)．
3．两个距离公式 (1)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距 |C1－C2| 离 d＝ 2 2. A ＋B (2)点(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离公式 |Ax0＋By0＋C| d＝ . 2 2 A ＋B 4．与已知直线 l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)平行的直线可改 为 Ax＋By＋m＝0(m≠C)，垂直的直线可设为 Bx－Ay＋m＝0.
(2017· 高考全国卷Ⅲ)(12 分)已知抛物线 C：y2＝2x， 为直径 的圆． (1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上； (2)设圆 M 过点 P(4，－2)，求
[学审题] 条件信息 想到方法 注意什么 数形结合分析， 灵活设 l： x＝my＋2.注意斜率是否 存在 OA⊥OB⇔x1x2＋y1y2＝0
A．充分不必要条件 1 1 直线 l2 的斜率为－n，∵－ · (－n)＝－ · m＝－1，∴l1⊥l2. m m B．必要不充分条件 ②当 l1⊥l2 时，若 m＝0，l1：x－1＝0，则 n＝0，此时 m＋n C．充要条件 1 ＝ 0；若 m≠0，则－m· (－n)＝－1，即－n＝m，有 m＋n＝ D ．既不充分也不必要条件
年份
考查角度及命题 卷别 位置 Ⅰ卷 圆的弦长问题· T15 直线与抛物线位 Ⅱ卷 置关系及圆的方 程求法· T20
命题分析及学科素养 命题分析 1. 近两年圆的方程成为高考全国课标 卷命题的热点，需重点关注．此类试 题难度中等偏下，多以选择题或填空 题形式考查． 2.直线与圆的方程偶尔单独命题， 单独 命题时有一定的深度，有时也会出现 在压轴题的位置，难度较大，对直线 与圆的方程 ( 特别是直线 ) 的考查主要 体现在圆锥曲线的综合问题上． 学科素养 通过考查直线与圆的位置关系，着重 考查学生数学建模、逻辑推理及数学 运算的核心素养.
2018 直线与圆的位置 Ⅲ卷 关系及面积问 题· T8
考查角 年份 卷别 度及命 题位置 命题分析 1.近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的 热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下， 探索性 问题与 2017 Ⅲ卷 圆的弦 长问 题· T20 多以选择题或填空题形式考查． 2.直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时 有一定的深度， 有时也会出现在压轴题的位置， 难度较大，对直线与圆的方程 (特别是直线 )的 考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上． 学科素养 通过考查直线与圆的位置关系，着重考查学生 数学建模、逻辑推理及数学运算的核心素养. 命题分析及学科素养
[全练——快速解答 ]
3 ．若直线 l1： ＋ ay 与 l2： (a2 － 2)x ＋2a＝a 0＝－ 平行， 由 l1∥l2，得 (ax － 2) a＋ ＝6 1＝ ×0 3，且 a× a≠ 3＋ ×3 6y ，解得 1，
2 则 l1 与 l2 间的距离为( B ) 所以 l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋ ＝0，所以 l1 与 l2 间的距离 3 8 2 8 3 A. 2 C. 3 D. 2 B. 3 3 6－ 3 8 2 为 d＝ 2 2＝ 3 . 1 ＋－1
[悟通——方法结论] 1．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1∥l2⇔k1＝ k2， l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数， 则要 考虑斜率是否存在． 2．求直线方程 要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求 直线不能与 x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线， 也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(2)由(1)可得 y1＋y2＝2m， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4， 故圆心 M 的坐标为(m2＋2，m)， 圆 M 的半径 r＝ m2＋22＋m2. →· → ＝0， 由于圆 M 过点 P(4，－2)，因此AP BP 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即 x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0. 由(1)知 y1y2＝－4，x1x2＝4， 所以 2m2－m－1＝0， (8 分)
考查角度 年份 卷别 及命题位 置 命题分析 1.近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的 热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下， 直线与圆 的位置关 2016 Ⅰ卷 系及圆的 面积问 题· T15 多以选择题或填空题形式考查． 2.直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时 有一定的深度， 有时也会出现在压轴题的位置， 难度较大，对直线与圆的方程 (特别是直线 )的 考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上． 学科素养 通过考查直线与圆的位置关系，着重考查学生 数学建模、逻辑推理及数学运算的核心素养. 命题分析及学科素养
[悟通——方法结论] 1．直线和圆的位置关系的判断方法 直线 l： Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆： (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r ＞0)的位置关系如表.
代数法： 方法 位置 关系 几何法：根据 d＝ |Aa＋Bb＋C| 2 2 与r A ＋B 的大小关系 d＜ r d＝ r d＞ r
[全练——快速解答 ]
x－2y＋3＝0， 由 2x＋3y－8＝0， x＝1， 得 y＝2.
∴l1 与 l2 的交点为(1,2)．当所
4 ． 过直线 l1： x－2y＋3＝0 与直线 l2 21 x＋ 3y－8＝0 的交点， 求直线斜率不存在，即直线方程为 x： ＝ 时，显然不满足题意． y＝2 或 4 － y＋ 且到点 P(0,4)距离为 2 的直线方程为____________________ 当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为 yx － 23 ＝ k(2 x＝ －0 1)． ，
2 2 2
2 1) ＝2 ． _______ 因为该圆与直线 y＝x＋3 相切，
|－1＋3| 所以 r＝ ＝ 2， 2 故该圆的标准方程是 x2＋(y－1)2＝2.
【类题通法】 用待定系数法求圆的方程的一般步骤 (1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标， 通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴 间的关系，通常选用标准方程； (2)根据所给条件，列出关于 D，E，F 或 a，b，r 的方程组； (3)解方程组，求出 D，E，F 或 a，b，r 的值，并把它们代入 所设的方程中，得到所求圆的方程.
信息❶中过定 直线 l 的方程的设 点的直线 l 信息❷中 AB 为直径 法 抓住圆的几何性 质坐标化条件
信息❸中求圆 确定圆心与半径 的方程 是求圆方程关键
设出圆心坐标， 注意多解
[规范解答]
(1)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2. (1 分)
x＝my＋2， 由 2 y ＝2x
从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－ 3)2＝4.
[全练——快速解答 ]
抛物线 x2＝4y 的焦点为(0,1)，
3即圆心为 ．(2018· 广州模拟 (0,1)， )若一个圆的圆心是抛物线 x2＝4y 的焦点，
2 x ＋(y－ 且该圆与直线 y＝x＋3 x 相切，则该圆的标准方程是 ________ 设该圆的标准方程是 ＋(y－1) ＝r (r＞0)，
5．直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0， 直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 当 l1⊥l2 时，有 A1A2＋B1B2＝0， 当 l1∥l2 时，A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1≠0.
[全练——快速解答 ]
①若 m＋n＝0，当 m＝n＝0 时，直线 l1：x－1＝0 与直线 l2： 1．(2018· 洛阳一模)已知直线 l1：x＋my－1＝0，l2：nx＋y－p 1 y－ p＝0 互相垂直；当 m＝－ ≠ 0 时，直线 ＝ 0，则“ m＋n＝0”是“ l1⊥n l2 ”的 ( C ) l1 的斜率为－m，
[全练——快速解答 ]
圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对
3 2 2 称即可．由题意知已知圆的圆心坐标为 (2,0) ，半径为 2 ，设所求 2． (2018· 长沙模拟)与圆(x－2) ＋y ＝4 关于直线 y＝ x 对称 3 3 b－0 的圆的方程是( D ) a－2× 3 ＝－1， 圆的圆心坐 解得 2 标 为 (a 2 ， b) ， 则 A．(x－ 3) ＋(y－1) ＝4 b＋0＝ 3×a＋2， 3 2 2 2 2 B．(x－ 2) ＋(y－ 2) ＝4 2， 2 a＝1 C ．x ＋(y－2) ＝4 b＝ 3， D．(x－1)2＋(y－ 3)2＝4 所以所求圆的圆心坐标为(1， 3)，半径为 2.
D E － ，－ 为圆心、 2 2
D2＋E2－4F 为半径的圆． 2
[全练——快速解答 ]
直线 x－y＋ ＝0 与 x 轴的交点坐标为 (－ 1,0) ， 因为圆 C 与直 1 ．已知圆 C1的圆心是直线 x－y＋1＝0 与 x 轴的交点，且圆 线 x＋y＋ 3 ＝y 0 相切， 所以半径为圆心到切线的距离， C 与直线 x ＋ ＋ 3＝0 相切，则圆 C 的方程是( A ) 即 r＝d |－ ＋ 02 ＋ 3| A． (x1 ＋ 1) ＋ y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8 2 2 ＝ ＝ 2 ，则圆 C 的方程为 ( x ＋ 1) ＋ y ＝2，故选 2 2 1 ＋21 2 C．(x－1) ＋y ＝2 D．(x－1)2＋y2＝8 A.
0.故选 C.
[全练——快速解答 ]
2．已知直线 l1：x＋2ay－1＝0， l2：(a＋1)x－ay＝0，若 l1∥l2，则 实数 a 的值为( C ) 3 A．－ 2 3 C．≠0，则由 l1∥l2， a＋ 1 － a 得 ＝ ，所以 2a 1 2a 3 ＋2＝－1，即 a＝－ ； 2 若 a＝0，则 l1：x－1 ＝0，l2：x＝0，互相平 行．
即 kx－y＋2－k＝0， ∵点 P(0,4)到直线的距离为 2， |－2－k| 4 ∴ 2＝ 2 ，∴k＝0 或 k＝3. 1＋k ∴直线方程为 y＝2 或 4x－3y＋2＝0.
【类题通法】 1．求直线方程时易忽视斜率 k 不存在情形． 2．利用斜率与截距判断两线平行或垂直关系时易忽视斜率不 存在情形． 3．有关截距问题易忽视截距为零这一情形．
1 解得 m＝1 或 m＝－ . 2
(10 分)
当 m＝1 时， 直线 l 的方程为 x－y－2＝0， 圆心 M 的坐标为(3,1)， 圆 M 的半径为 10， 圆 M 的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10. 1 当 m＝－ 时， 直线 l 的方程为 2x＋y－4＝0， 圆心 M 的坐标为 2
可得 y2－2my－4＝0，则 y1y2＝－4. (3 分)
2 2 y2 y y y 1 2 1 2 又 x1＝ ，x2＝ ，故 x1x2＝ ＝4. 2 2 4
y1 y2 －4 因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为 · ＝ ＝－1， x1 x2 4 所以 OA⊥OB. 故坐标原点 O 在圆 M 上． (5 分)