期中专题复习-立体几何带答案

期中专题复习-立体几何
1. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= . （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD
（2）若PA =PD =A B =DC ，90APD ∠= ，求二面角A -PB -C 的余弦值.
2. 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
3. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=, ∠=︒.
BAD
120
（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（2）求二面角B-A1D-A的正弦值.
4.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧DF 的中点.
（Ⅰ）设是弧CE 上的一点，且，求的大小； （Ⅱ）当，，求二面角的大小.
ABCD AB 120︒G P AP BE ⊥CBP ∠3AB =2AD =E AG C -
-
5.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//
平面MAC，PA=PD AB=4．
（I）求证：M为PB的中点；
（II）求二面角B-PD-A的大小；
（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值
6. 边长为2的正方形所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是弧CD上异于C,D 的点．
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．
7. 四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
8. 四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点。

（1）证明：直线//CE 平面PAB ；
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45 ，求二面角M AB D --的余弦值。

9. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，
，，，
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面
？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
P ABCD -PAD ⊥ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AM
AP
10. 在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
期中专题复习-立体几何答案
1. 解：（1）由已知90BAP
CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，
从而AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .
由（1
）及已知可得
A
，P
，B
，(C .
所以(22PC =--
，CB =
，(22
PA =- ，(0,1,0)AB = .
设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则00
PC CB ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩
n n
，即0220x y z ⎧-+-=⎪=，
取(0,1,=-n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则0
PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
m m ，
即022
x z y -=⎪
⎨⎪=⎩
，取(1,0,1)=m .
则cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ， 所以二面角
A P
B
C --
的余弦值为2.
（2）由题设及（1）知，
,,OA OB OC 两两垂直，以O 为坐标原点，OA
的方向为x 轴正方向，OA 为单
位
长
，
建
立
如
图
所
示
的
空
间
直
角
坐
标
系
O xyz
-.
则
()()
()()
1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B C D -
由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的
1
2
，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距
离的
12，即E 为DB 的中点，得10,,22E ⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭
.故
3.
4.
（Ⅱ）以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角
坐标系.
因此所求的角为. 5.
B BE BP BA x y z 60
（III ）由题意知(1,M -，(2,4,0)D ，(3,2,MC = .
设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则||sin |cos ,|9||||
MC MC MC α⋅==
= <>n n n .
所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为
9
.
6. 解：（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC 平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,
故BC ⊥DM . 因为M 为上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM . 又 BC CM =C ,所以DM ⊥平面BMC .
而DM
平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .
（2）以D 为坐标原点,
的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz .
当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为
的中点.由题设得
，
设
是平面MAB 的法向量,则 即
可取
.
是平面MCD 的法向量,因此
，
，所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是
7. 解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，又，所以BF ⊥平面PEF .
又
平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .
（2）作PH ⊥EF ，垂足为H .由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，的方向为y 轴正方向，为
单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz
.
由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，所以PE =.又PF =1，EF =2
故PE ⊥PF .可得.则
为平面
ABFD 的法向量.设DP 与平面ABFD 所成角为，则.
所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为
8.解：（1）取PA 的中点F ，连结EF ，BF 。

因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ,1
2
EF AD =
,由90BAD ABC
∠=∠= 得BC ∥AD ，又1
2
BC AD =
,所以EF BC ∥。

四边形BCEF 为平行四边形，CE ∥BF 又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE ∥平面PAB 。

（2）由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB
的方向为x 轴正方向，AB
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
A xyz -，则()0,0,0A ，
()1,0,0B ，()1,1,0C
，(P
，(10PC = ，,(100)AB = ，，设
()(),,01M x y z x <<则
(
)(1,,,,1,BM x y z PM x y z =-=-
，
因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而
()
0,0,1=n 是底面ABCD 的法向量，所以
cos ,sin 45BM =
n ，
=，
即
()
2
22
10x y z -+-=
① 又M 在棱PC 上，设PM PC λ=
,则
,1,x y z
λ===②
9.⑴∵面PAD 面ABCD AD =.面PAD ⊥面ABCD ∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ⊂面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB ⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO
∵CD AC ==
CO ⊥AD ∵PA PD =
∴PO ⊥AD 以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，则(111)PB =-
，，，(011)PD =-- ，，，(201)PC =- ，，，(210)CD =-- ，，设n
为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y = ，
011,120
n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫
⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⋅=⎪⎩
，，则PB 与面PCD 夹角θ有
sin cos ,n θ=< ⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD 设AM
AP
λ=，()0,','M y z 由（2）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，
()0,1,1AP =- ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=⇒- ∴()
1,,BM λλ=--
∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量∴0BM n ⋅= 即102λλ-++=∴1
=4
λ
∴综上，存在M 点，即当1
4
AM AP =时，M 点即为所求.
10. 解：（1）因为，
为的中点，所以，且
.
连结.因为
，所以
为等腰直角三角形，
且
，
. 由
知. 由
知
平面
.
（2
）如图，以
为坐标原点，的方向为
轴正方向，建立空间直角坐标系
.
由已知得取平面的法向量
.
设，则.
设平面的法向量为.
由得，可取，
所以.由已知得.
所以.解得（舍去），.
所以.又，所以.
所以与平面所成角的正弦值为.。