最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测卷(答案解析)(2)

一、选择题
1．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域
OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）
A ．
1e
B ．
11
e - C ．11e
-
D ．
2
1
e e -- 2．已知是i 虚数单位，复数()1a i z a R i -=∈-，若01
||(sin )z x dx ππ
=-⎰，则a =（ ）
A ．±1
B ．1
C ．1-
D ．1
2
±
3．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝2
π
所围成的平面区域的面积为( ) A ．π20
⎰(sin x －cos x )d x B ．2π40
⎰(sin x －cos x )d x C ．π20⎰(cos x －sin x )d x
D ．2π40⎰(cos x －sin x )d x
4．等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3
30
4S xdx =⎰,则公比q 的值为（ ）
A ．1-或12
-
B ．1或12
-
C ．12
-
D ．1
5．曲线x
y e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．3 6．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．83
B ．73
C ．53
D ．
43
7．曲线22y x x =-与直线1
1x x =-=，以及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．2 B ．83 C ．43 D ．2
3
8．定积分()
1
e
2x
x dx -⎰的值为（ ）
A ．e 2-
B ．e 1-
C ．e
D ．e 1+
9．函数()3
2
5f x x x x =+-的单调递增区间为（ ） A ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
和1
,
B ．5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭
1
,
C ．(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．(),1-∞-⋃5,3
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
10．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 J
B ．850 J
C ．825 J
D ．800 J
11．由直线y= x - 4
，曲线y =x 轴所围成的图形面积为（ ）
A ．15
B ．13
C ．
252
D ．
403
12．已知3
20
n x dx =
⎰
，且21001210(2)(23)n x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则
12310
01210
2310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为（ ）
A ．
823
B ．
845
C ．965
-
D ．
877
二、填空题
13．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______．
14．在直线0x =，1x =，0y =，1y e =+围成的区域内撒一粒豆子，则落入0x =，
1y e =+，e 1x y =+围成的区域内的概率为__________．
15．
若二项式6
21x x ⎫+⎪⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为m ，则2
1m
x dx =⎰__________． 16．已知函数()32
3232
t f x x x x t =
-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值，则实数t 的取值范围是__________． 17．已知函数()x
x
f x e =
，在下列命题中，其中正确命题的序号是_________. （1）曲线()y f x =必存在一条与x 轴平行的切线； （2）函数()y f x =有且仅有一个极大值，没有极小值；
（3）若方程()0f x a -=有两个不同的实根，则a 的取值范围是1()e
-∞，； （4）对任意的x ∈R ,不等式1
()2
f x <
恒成立；
（5）若1
(0,]2a e
∈，则12,x x R +∃∈,可以使不等式()f x a ≥的解集恰为12[,]x x ； 18．曲线2y
x 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.
19．已知()[](]
221,1,11,1,2x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则()21f x dx -=⎰______． 20．
(
)
1
21
11x dx ---=⎰__________．
三、解答题
21．已知()y f x =是二次函数，方程0f x 有两相等实根，且()22f x x '=+
（Ⅰ）求()f x 的解析式．
（Ⅱ）求函数()y f x =与函数241y x x =--+所围成的图形的面积．
22．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为
27
4
.
（1）求()f x 的解析式；
（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[]
,m m -上的最大值. 23．已知函数1
21
1
()(1)x f x a
dt x t
+=++⎰
()1x >-. （1）若()f x 在1x =处有极值，问是否存在实数m ，使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]
1,1t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.()2.71828
e =；
（2）若1a =，设2()()(1)F x f x x x =-+-. ①求证：当0x >时，()0F x <； ②设*111()12(1)
n a n N n n n n =
++⋅⋅⋅+∈++++，求证：ln 2n a > 24．利用定积分的定义，计算
2
21
1
d x x
⎰
的值．
25．计算:
(1)2
132d x x -⎰
;
(2)
2π
sin d x x ⎰.
26．如图，阴影部分区域是由函数cos y x =图象，直线1,y x π==围成，求这阴影部分区域面积。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
试题分析：由几何概型可知，所求概率为.
考点：几何概型、定积分．
2．A
解析：A 【解析】 因为11122a i a a z i i -+-=
=+-，所以222111
()()22222
a a z a +-=+=+式00
1
1
(sin )[cos ]|1x dx x x π
ππ
π
-
=--
=⎰
221
22112
a a +=⇒=，即1a =±，应选答案A 。

3．D
解析：D 【解析】
π
40
⎰(-sin x +cos x )d x 2
π4
π
+⎰(sin x -cos x )dx=2π
40
⎰(cos x －sin x )d x ,选D. 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
4．B
解析：B 【解析】
试题分析：解：∵3
30
4S xdx =⎰=18，,∴a 1+a 2=
32a q (1+q)=12，⇒2q 2-q-1=0，⇒q=1或q=12
-，故选B
考点：等比数列的前n 项和, 定积分的基本运算
点评：本题考查等比数列的前n 项和、定积分的基本运算，求定积分关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题．
5．A
解析：A 【解析】
试题分析：'
0x
x
y e y e x =∴=∴=时'
11y k =∴=，直线方程为1y x =+，与两坐标轴交点为()()1,0,0,1-，所以三角形面积为12
考点：导数的几何意义及直线方程
6．A
解析：A 【解析】 试题分析：()'
3
2
3x x
=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线
2x =所围成的三角形的面积()2
23
8323S x dx =-=
⎰.
考点：1、切线方程；2、定积分.
【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程；第二个错误是看成与y 轴围成的面积,()()22
3
20
3
2810
3232333
S x dx x dx =-
-+-=
+=⎰⎰；第三个是
没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程；另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.
7．A
解析：A 【解析】
试题分析：在抄纸上画出图像，可根据图像列出方程
1
221
(20)(2)x x dx x x dx
---+-+⎰
⎰=
3
203211
11
()
3
3
x x x x --+-+=
110(1)(1)33---+-+=4233+=2
考点：区间函数的运用
8．A
解析：A 【解析】
(
)
1
e 2x x dx -⎰21
()1120
x e x e e =-=--=- ,选A.
9．C
解析：C 【解析】
由题意得，2'()325f x x x =+- ，令5
'()013
f x x x >⇒>
<-或，故选C. 10．C
解析：C 【解析】
W ＝10
5
⎰F (x )d x ＝10
5
⎰
(3x 2－2x ＋5)d x ＝(x 3－x 2＋5x )
105
＝(1 000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．选C.
11．D
解析：D 【详解】
根据题意，画出如图所示：
由直线4y x =-，，曲线2y x =
x 轴所围成的面积为：
42
8
8221402(24)(4)42
322xdx x x dx x x x x +⎰+=
+-+=.
故选D.
12．A
解析：A 【分析】
利用微积分基本定理，可计算得3
2
9n x dx ==⎰
，又
210998012101210()2...10(23)27(2)(23)a a x a x a x a a x a x x x x '+++⋅⋅⋅+=+++=--+-
利用赋值法，令1x =，可得解 【详解】
由题意3
32
32
00
|3093x n x dx ===-=⎰ 令1x =有：9
01210(21)(23)3a a a a +++⋅⋅⋅+=+-=-
210998012101210()2...10(23)27(2)(23)a a x a x a x a a x a x x x x '+++⋅⋅⋅+=+++=--+-
令1x =有：9
8
12102...10(23)27(21)(23)82a a a +++=--+-=-
故1231001210231082
3
a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+
故选：A 【点睛】
本题考查了导数、定积分和二项式定理综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
二、填空题
13．【分析】首先求得两个函数交点的坐标然后利用定积分求得封闭图形的面积【详解】根据解得画出图像如下图所示封闭图像的面积为【点睛】本小题主
要考查利用定积分求封闭图形的面积考查运算求解能力属于基础题解题过程
解析：1
6
【分析】
首先求得两个函数交点的坐标，然后利用定积分求得封闭图形的面积. 【详解】
根据2
y x y x
⎧=⎨=⎩解得()()0,01,1,.画出图像如下图所示，封闭图像的面积为
(
)
1
2
x x dx -⎰2310111
|23236x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积，考查运算求解能力，属于基础题.解题过程中首先求得两个函数图像的交点坐标，然后画出图像，判断出所要求面积的区域，然后利用微积分基本定理求得封闭图形的面积.
14．【解析】由题意直线所围成的区域为一个长为高为的矩形所以其的面积为又由解得所以由所围成的区域的面积为所以概率为 解析：
1
1
e + 【解析】
由题意，直线0,1,0,1x x y y e ====+所围成的区域为一个长为1，高为1e +的矩形，所以其的面积为1(1)1S e e =⨯+=+，
又由11x
y e y e =+⎧⎨=+⎩，解得11x y e =⎧⎨=+⎩
， 所以由0,1,1x x y e y e ==+=+所围成的区域的面积为
1
1
1100
(11)()()|1x
x x S e e dx e e dx ex e =+--=-=-=⎰⎰，
所以概率为11
1
S P S e =
=+. 15．【详解】二项式的展开式的通项为令所以常数项为二项式的展开式中的常数项为则故答案为【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数属于简单题二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一关于二项式定理的命 解析：
263
【详解】
二项式6
21x x ⎫+⎪⎪⎝⎭
的展开式的通项为616123r r
r
r T C x -+-=⎝⎭
，令1234r r -⇒= 所
以常数项为264
2
411153,55C x x ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二项式6
215x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3m =，则3
2233111
126
|33m
x dx x dx x ===⎰⎰，故答案为263. 【方法点晴】
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r
n r r
r n T a
b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）
（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
16．【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填
解析：90,8⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】
2()32f x tx x -'=+，由题意可得()0f x '=在()0,+∞有两个不等根，即2320tx x -+=
在()0,+∞有两个不等根，所以302980
t
t ⎧
>⎪⎨⎪∆=->⎩，解得908t <<，填90,8⎛⎫
⎪⎝⎭ 17．（1）（2）（4）（5）【解析】∵可得令=0只有一根∴（1）对令得在递增同理在(1+∞)上递减∴只有一个极大值无极小值故（2）对；∵时0∴方程有两个不同的实根时故（3）错由的单调性可知的最大值为=∴
解析：（1）（2）（4）（5） 【解析】 ∵()x x f x e =
可得()1x
'x
f x e -=,令()'f x =0只有一根1x =, ∴（1）对 令()0f x '>得1x >，()f x 在
)—1∞（，递增，同理()f x 在(1,+∞)上递减，∴()f x 只有一个极大值()1f ，无极小值故（2）对；
∵x →-∞时()f x →0, ∴方程()0f x a -=有两个不同的实根时1
0a e
<<故（3）错 由()f x 的单调性可知()f x 的最大值为()1f =1 e ，∴()11
2
f x e ≤<故（4）对 由()f x 的图像可知若10,
2a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，则12
,x x R +
∃∈,可以使不等式()f x a ≥的解集恰为[]12,x x
故（5）对
点睛：本题是导数部分的综合题，主要考查函数的单调性，极值，函数图像，要注意图像的趋势，不等式的恒成立问题，不等式的解集问题都可以由图像得出
18．【解析】由解得或∴曲线及直线的交点为和因此曲线及直线所围成的封闭图形的面积是故答案为点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识属于基础题；用定积分求平面图形
解析：4
3
【解析】
由2 2y x y x
⎧=⎨
=⎩，解得0 0x y =⎧⎨=⎩或2 4x y =⎧⎨=⎩，∴曲线2y x =及直线2y x =的交点为()0,0O 和()2,4A 因此，曲线2y x =及直线2y x =所围成的封闭图形的面积是
()
2
223200
14233S x x dx x x ⎛
⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故答案为43.
点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．
19．【解析】由题意可得答案：【点睛】求定积分的题型一种是：几何方法求面积一般是圆第二种是：求用被积函数的原函数用积分公式第三种是：利用奇函数关于原点对称区间的积分为0本题考查了第一种和第二种 解析：
π4
23
+
【解析】
由题意可得(
)2
2
2
11
1
(1)f x dx x dx --=
+-=⎰
⎰22
14()|2323x x π
π+-=+，答案：
4
2
3
π
+
． 【点睛】
求定积分的题型，一种是：几何方法求面积，一般是圆．第二种是：求用被积函数的原函数，用积分公式，第三种是：利用奇函数关于原点对称区间的积分为0.本题考查了第一种和第二种．
20．【解析】由定积分的几何意义由微积分基本定理：有定积分的运算法则可得： 解析：
22
π
-
【解析】
由定积分的几何意义，
21
1122
π
π-=⨯⨯=，
由微积分基本定理：1
1
11
1|2dx x --==⎰
，
有定积分的运算法则可得：
)
1
1
122
dx π
-=
-⎰.
三、解答题
21．（Ⅰ）()2
21x x x f =++（Ⅱ）9
【分析】
试题分析：（1）用待定系数法设出解析式，据判别式为零，和f′（x ）=2x+2确定结果；（2）利用定积分求曲边图形面积，找准积分区间和被积函数 试题
（1）设()()2
0f x ax bx c a =++≠．
240
{222
b a
c ax b x -=+=+
得：1,2,1a b c ===
()221f x x x ∴=++
（Ⅱ）由题22
21{
341
y x x x y x x =++⇒=-=--+或 0x =.
()()
22320
33
241213|93S x x x x dx x x --⎛⎫⎡⎤=--+-++=--= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰. 考点：函数与方程的综合运用；定积分 22．（1）32()3f x x x =-；
（2）当03m <≤时,max ()(0)0f x f ==；当3m >时,32
max ()()3f x f m m m ==-.
【分析】
（1）第一步：根据图形分析出两个重要的信息，过原点，并且在原点处的导数等于0，第二步，计算出图形与轴的令一个交点，求出被积区间，利用定积分求面积的公式写出定积分，最后计算出；（2）根据（1）求出32()3f x x x =-，第一步：求函数的导数，第二步：求函数的极值点，和判断单调区间，第三步，根据区间，并极大值，并求
出，因为，
，所以分
或
两种情况进行讨论，得出最大值.
【详解】
（1）由(0)0f =得0c
，
2()32f x x ax b '=++.由(0)0f '=得0b =，
∴322()()f x x ax x x a =+=+，则易知图中所围成的区域（阴影）面积为
27
[()]4
a
f x dx --=
⎰从而得3a =-，∴32()3f x x x =-. （2）由（1）知2()363(2)f x x x x x '=-=-.,(),()x f x f x '的取值变化情况如下：
x (,0)-∞ 0
(0,2) 2 (2,)+∞
()f x ' +
-
0 +
()f x
单调 递增
极大值(0)0f =
单调 递减
极小值
(2)4f =-
单调 递增
又,①当03m <≤时,max ； ②当3m >时,3
2
max ()()3.f x f m m m ==- 综上可知：当03m <≤时,max ()(0)0f x f ==； 当3m >时,3
2max ()()3.f x f m m m ==-
23．（1）存在，22m -≤≤；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【分析】
（1）根据微积分基本定理求得()f x ，由()10f '=，求得参数a ；利用导数求函数的在区间上的最值，结合一次不等式在区间上恒成立问题，即可求得参数m 的范围； （2）①求得()F x '，利用导数求得()F x 的单调性，即可容易证明；
②由①中所求，可得12ln()11
k k k +>++，利用对数运算，即可证明. 【详解】
由题可知2()ln(1)(1)f x a x x =+++，∴()221
a
f x x x '=+++. （1）由()01f '=，可得2202
a
++=，8a =-. 又当8a =-时，()()()
2311
x x f x x +'-=
+，
故()f x 在区间()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增. 故函数()f x 在1x =处取得极值，所以8a =-.
∵11e <-，82(1)(3)
()221
1
x x f x x x x --+'=++=++.
∴()0f x '>，
当[]1,x e e ∈-时，由上述讨论可知，()f x 单调递增， 故2
min ()(1)8f x f e e =-=-+
不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]
1,1t ∈-恒成立， 即：2
2
2
2
2
min 14()148m tm e f x m tm e e ++-≤⇔++-≤-+， 即：260m tm +-≤对[]
1,1t ∈-恒成立，令2()6g t m mt =+-，
(1)0g ⇒-≤，(1)0g ≤
即260m m --≤，且260m m +-≤，
整理得()()320m m -+≤，且()()320m m +-≤， 解得：22m -≤≤，即为所求.
（2）①∵2()()(1)ln(1)F x f x x x x x =-+-=+-，∴()1x
F x x
-'=+ 当0x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,)+∞上单调递减，
()(0)0F x F ∴<=即证.
②由①可得：ln(1)(0)x x x +<> 令：11
x k =
+，得11ln(1)11k k +<++，即：12
ln()11k k k +>++ ∴
1112322
ln ln ln 12(1)1221
n n n n n n n n n n +++++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅++++++++=ln 2 即证. 【点睛】
本题考查由极值点求参数值，利用导数由恒成立问题求参数范围，以及利用导数证明不等式以及数列问题，属压轴题.
24．2
21
11d 2
x x =⎰ 【解析】 【分析】
由定积分的定义 等分区间，取点，近似计算求解即可. 【详解】 令()2
1
f x x =
．在区间[]1,2上等间隔地插入n 1-个分点，将它等分成n 个小区间()n i 1n i ,i 1,2,,n n
n +-+⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，其长度为n i n i 11
Δx n n n
++-=
-=． 当n 很大，即Δx 很小时，在区间n i 1n i ,n n +-+⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上，可以认为()21f x x =的值变化很
小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f ，
则
()()()()()
2i n 1n
ΔS f Δx i 1,2,,n n i 1n i n n i 1n i =⋅=⋅==+-++-+．
小曲边梯形的面积和()()
n
n
n i i 1
i 1
n
S ΔS n i 1n i ====+-+∑∑
()()()
()()n n
n
n n 1n 1n 2n n 1n n =
++
+
++++-+
1
11111n n n 1n 1n 2n n 1n n ⎛⎫
=-+-++
- ⎪++++-+⎝⎭
111n n 2n 2
⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 故
2
21
11dx x 2=⎰． 【点睛】
本题考查定积分的定义，熟练运用定义及方法步骤求解，准确计算是关键，是基础题. 25．（1）1
2
；（2）4． 【解析】
试题分析：（1）将[]32,1,2y x x =-∈表示为分段函数332,12
323,2
2x x y x x ⎧
-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩
，利用积
分区间的可加性得结果；（2）同（1）相似. 试题
(1)()()()
()
32
2
32
2
2221
332
1
1
2
132d 32d 23d 3|3|2
x x x x x x x x
x x -=
-+-=-+-=
⎰
⎰⎰. (2)∵(-cos x )'=sin x ,∴
()()2π
π
2π
π
2π
π2π
π0
π
π
sin d sin d sin d sin d sin d cos |
cos |cos πcos0cos2πcos π4
x x x x x x x x x x x x =+=-=-+=--+-=⎰⎰⎰⎰⎰.
26．π
【解析】
试题分析：由定积分的几何意义可知，所求阴影部分的面积为()0
1cos x dx π
-⎰，利用微积
分定理计算即可. 试题
所求图形面积为
()01cos x dx π
-⎰ ()
sin 0
x x π
=- π=.
【方法点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分
()b
a
f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形
面积的代数和 ，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.。