变限积分和原函数的区别

变限积分和原函数的区别
如果一个函数是连续的，那么∫f(x)dx与∫axf(x)dx区别不大，后者属于前者的一部分，前者是原函数，包括无数个函数；后者是变限积分，只是一个函数，这里a是常数。

但是如果函数存在间断点那么情况就不一样了，着重讨论第一类间断点：
如果函数存在第一类间断点，自然原函数是不存在的了，可是变限积分是存在的，试想一下如果一个函数存在有限个第一类间断点，那么定积分在某一定区间是肯定存在的，变限积分也就是将定积分的上限不固定，所以变限积分存在。

说明在该情况下变限积分并不是原函数。

下面我们讨论一下变限积分的连续与可导情况。

假如x0是f(x)第一类间断点，那么：
∫ax0+Δxf(x)dx−∫ax0f(x)dx=∫x0x0+Δxf(x)dx
当Δx趋近0，那么它也趋近0，所以变限积分在x0点是连续的。

再讨论可导：
利用积分中值定理∫ax0+Δxf(x)dx−∫ax0f(x)dxΔx=∫x0x0+Δxf(x)dxΔ
x=f(ξ)( 利用积分中值定理 )
Δx若右趋近0，那么右导数为f(x0+)=f(ξ)，同理左导数f(x0−)=f(ξ)，因此f(x0+)=f(x0−)
由此看来，如果是可去间断点，那么变限函数必也可导。

相应地，可以分析跳跃间断点，具体推导不再展开，这里直接给出结论，变限积分只连续不可导。

综上所述，原函数和变限积分区别还是很大的。