高三数学下学期立体几何多选题单元达标专题强化试卷检测试卷

高三数学下学期立体几何多选题单元达标专题强化试卷检测试卷
一、立体几何多选题
1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AA ===，90ACB ∠=︒，D ，E ，F
分别为AC ，1AA ，AB 的中点．则下列结论正确的是（ ）
A ．1AC 与EF 相交
B ．11//B
C 平面DEF C ．EF 与1AC 所成的角为90︒
D ．点1B 到平面DEF 的距离为
32
2
【答案】BCD 【分析】
利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断． 【详解】
对选项A ，由图知1AC ⊂平面11ACC A ，EF 平面11ACC A E =，且1.E AC ∉由异面直
线的定义可知1AC 与EF 异面，故A 错误；
对于选项B ，在直三棱柱111ABC A B C -中，11B C //BC ．
D ，F 分别是AC ，AB 的中点， //∴FD BC ，11B C ∴ //FD ．
又
11B C ⊄平面DEF ，DF ⊂平面DEF ，
11B C ∴ //平面.DEF 故B 正确；
对于选项C ，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则(0C ，
0，0)，(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(2A ，0，2)，1(0B ，2，2)，1(0C ，0，2)，(1D ，0，0)，(2E ，0，1)，(1F ，1，0)．
(1EF ∴=-，
1，1)-，1(2AC =-，0，2)． 1·2020EF AC =+-=，1EF AC ∴⊥，1EF AC ∴⊥． EF 与1AC 所成的角为90︒，故C 正确；
对于选项D ，设向量(n x =，y ，)z 是平面DEF 的一个法向量． (1DE =，
0，1)，(0DF =，1，0)， ∴由n DE n DF ⎧⊥⎨
⊥⎩，
，
，即·0·
0n DE n DF ⎧=⎨
=⎩，
，，得00.
x z y +=⎧⎨
=⎩，
取1x =，则1z =-，(1
n ∴=，0，1)-， 设点1B 到平面DEF 的距离为d ． 又
1(1DB =-，
2，2)，
1·102
DB n d n
-+
∴=
=
=
， ∴点1B 到平面DEF 的距离为2
，故D 正确．
故选：
BCD 【点睛】
本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题．
2．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为（ ）
A ．直线1A C 与直线1B
B 之间距离的最大值为3
B ．若1A 在底面AB
C 上的投影恰为ABC ∆的中心，则直线1AA 与底面所成角为60︒ C ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与1A C 所成的角为30
D ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π
【答案】AD 【分析】
建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】
如图示，以A 为原点，AC 为y 轴正方向，Ax 为x 轴正方向，过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系，则()()()
0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()
100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++
所以()()()
1
000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---== 对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量，则有：11·0·
0AC n BB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
即()()
000000230
0x x y y zz x x y y zz ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩解得：()00,0n z x =- 设直线1A C 与直线1BB 之间距离为d ，则2
2
0112
22200009|
|||z A B n
d d x z n x z ===++ 22009x d ≥∴≤，即3d ≤，故A 正确；
对于B ：若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则(13,211A 底面法向量()(10,0,1,1,3,211m AA ==，设直线 1AA 与底面所成角为θ，则：
121133
sin |cos ,|143
AA n θ==
=⨯，故B 错误； 对于C ： 三棱柱的侧棱垂直于底面时，则
(
((1110,0,43,3,43,0,23,43,A B C
则()(1
3,3,0,3,43,AB AC ==-
设异面直线AB 与1A C 所成的角为θ，则
1
1
15
cos |cos ,|||10||||
23215AB AC AB AC AB AC θ====⨯,故C 错误；
对于D ：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O 为上下底面中心DD 1连线的中点,所以外接球的半径()
2
22324R =+=，所以2464S R ππ==.
故D 正确
故选：AD 【点睛】
向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.
3．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 内（含边界）一点．（ ） A ．若13A P P 点有且只有一个 B ．若12A P ，则点P 的轨迹是一段圆弧 C ．若1//A P 平面11B D C ，则1A P 2
D ．若12
A P 且1//A P 平面11
B D
C ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面的面积为23
π
【答案】ABD 【分析】
选项A ，B 可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD 上，1A P 2P 与B 或D 重合，利用12sin 60A P r =
︒，求出6
r =，进而求出面积.
对A 选项，如下图：由13A P =，知点P 在以1A 为球心，半径为3的球上，又因为P 在底面ABCD 内（含边界），底面截球可得一个小圆，由1A A ⊥底面ABCD ，知点P 的轨迹是在底面上以A 为圆心的小圆圆弧，半径为22112r A P A A =-=，则只有唯一一点C
满足，故A 正确；
对B 选项，同理可得点P 在以A 为圆心，半径为22111r A P A A =
-=的小圆圆弧上，在
底面ABCD 内（含边界）中，可得点P 轨迹为四分之一圆弧BD .故B 正确；
对C 选项，移动点P 可得两相交的动直线与平面11B D C 平行，则点P 必在过1A 且与平面
11B D C 平行的平面内，由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD
上，则1A P 长的最大值为12A B =，则
C 不正确； 对选项
D ，由以上推理可知，点P 既在以A 为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又在线段BD 上，即与B 或D 重合，不妨取点B ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面为11A BC 的外接圆，利用2126622,,sin 60333
A B r r S r π
π=
=∴=∴==
︒.故D 正确.
故选：ABD
（1）平面截球所得截面为圆面，且满足222=R r d +（其中R 为球半径，r 为小圆半径，
d 为球心到小圆距离）；
（2）过定点A 的动直线平行一平面α，则这些动直线都在过A 且与α平行的平面内.
4．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）
A ．()
()
2
2
12AA AB AD
AC ++=
B ．1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点
C ．1AA 与平面ABC
D 所成角大于45 D ．1BD 与AC 6 【答案】AC 【分析】
对A ，分别计算()
2
1++AA AB AD 和2
AC ，进行判断；对B ，设BD 中点为O ，连接
1A O ，假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，应得10⋅=O AB A ，计算
10⋅≠O AB A ，即可判断1A 在底面ABCD 上的射影不是线段BD 的中点；对C ，计算
11
,,A A AC AC ，根据勾股定理逆定理判断得11⊥A A AC ，1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，再计算1tan ∠A AC ；对D ，计算1,AC BD 以及1BD AC ⋅，再利用向量的夹角
公式代入计算夹角的余弦值. 【详解】
对A ，由题意，111
11cos602
⋅=⋅=⋅=⨯⨯=
AA AB AA AD AD AB ，所以(
)
2
222
111112*********
++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯
=AA AB AD
AA AB AD AA AB AB AD AA AD ，AC AB AD =+，所以()
2
2
2
2
21113=+=+⋅+=++=AC AB AD
AB AB AD AD ，
所以()()2
2
1
26++==AA AB AD AC ，故A 正确；对B ，设BD 中点为O ，连接1
A O ，
1
111111
222
=+=+=++AO A A AO A A AC A A AD AB ，若1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，则1A O ⊥平面ABCD ，则应1
⋅=O AB A ，又因为21111111111110
222222224⎛⎫
⋅=++⋅=-⋅+⋅+=-+⨯+=≠ ⎪⎝⎭
O AB A A AD AB AB AA AB AD AB AB A ，故B 错误；对D ，11,BD AD AA AB AC AB AD =+-=+，
所以()()2
2
11
=2,=3=
+-=+AD A B A AB AC AB AD D ，
()()2
2
1
1
1
1
1
⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅=AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD AB
AB AD BD ，1116
cos ,23
⋅<>=
=
=⋅B AC D BD BD AC AC
，故D 不正确；对C ，112==AC BD ，在
1A AC 中，111,2,3===A A AC AC ，所以2
2
2
11+=A A AC AC ，所以11⊥A A AC ，所以1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，又1tan 21∠=>A AC ，即145∠>A AC ，故C 正确；
故选：AC
【点睛】
方法点睛：用向量方法解决立体几何问题，需要树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比；同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解.
5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，
12C E EC →
→
=，12BF FB →
→
=.动点M 在侧面11ADD A 内(包含边界)运动，且满足直线
//BM 平面1D EF ，则（ ）
A ．过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为等腰梯形
B ．三棱锥1D EFM -的体积为定值
C ．动点M 10
D ．过B ，
E ，M 的平面截正方体所得截面面积的最小值为10【答案】BCD 【分析】
由题做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，进而计算即可排除A 选项；根据//BM
平面1D EF ，由等体积转化法得1
1
1
1
D EFM M D EF B D EF D BEF
V V V V ----===即可得B 选项正确；取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知
M 的轨迹为线段HI 10，故C 选项正确；过M 点做BE 的平行线交1AA 于
P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，易知过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行
四边形BPOE ，进而得当H 位于点I 时，截面面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅= 【详解】
解：对于A 选项，如图，取BF 中点G ，连接1A G ，由点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，
12C E EC →→=，12BF FB →→
=，故四边形11A D EG 为平行四边形，故11//AG
D E ，由于在11A B G △，F 为1B G 中点，当N 为11A B 中点时，有11////NF A G D E ，故过1D ，E ，
F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，此时2
2
1335322D N ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
，223110EF =+=1D EFN 不是等腰梯形，故A 选项错误；
对于B 选项，三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积，由于//BM
平面
1D EF ，故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积，三棱锥1B D EF -的
体积等于三棱锥1D BEF -的体积，而三棱锥1D BEF -的体积为定值，故B 选项正确； 对于C 选项，取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知
1
////HB AG NF ，1//BI D F ，由于1,HI BI I NF
D F F ==，故平面//BHI 平面
1D EF ，故M 的轨迹为线段HI ，其长度为10，故C 选项正确；
对于D 选项，过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，则过
B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，易知当H 位于点I 时，平
行四边形BPOE 边BP 最小，且为AB ，此时截面平行四边形BPOE 的面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅=，故D 选项正确； 故选：BCD
【点睛】
本题解题的关键在于根据题意，依次做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形
1D EFN ，过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而讨论AD
选项，通过//BM
平面1D EF ，并结合等体积转化法得
1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确，通过构造面面平行得M 的轨迹为线
段HI ，进而讨论C 选项，考查回归转化思想和空间思维能力，是中档题.
6．如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26角形，底面ABCD 为矩形，23CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．CQ ⊥平面PAD
B ．P
C 与平面AQC 所成角的余弦值为22
3
C ．三棱锥B ACQ -的体积为62
D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD 【分析】
取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可. 【详解】
解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ， 因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ， 因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，
所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴， 建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(6,0,0),(6,0,0)O D A ，
(0,0,32),6,23,0),(6,23,0)P C B ，
因为点Q 是PD 的中点，所以632)2
Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，
632
(
23,22
QC =-，显然 m 与QC 不共线， 所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；
3632
(6,23,32),(
,0,),(26,23,0)22
PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则
360260n AQ x z
n AC ⎧⋅
=+=⎪
⎨
⎪⋅=+=⎩
，
令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-， 设PC 与平面AQC 所成角为θ，
则21
sin 3
6n PC n PC
θ⋅=
=
=， 所以cos θ=
，所以B 正确； 三棱锥
B ACQ -的体积为
1
132
B
ACQ Q ABC ABC
V V S
OP --==⋅ 1
11
6322=⨯⨯⨯=
， 所以C
不正确；
设四棱锥Q ABCD -
外接球的球心为
)M a ，则MQ MD
=，
所以2
2
2
2
2
22a a
⎛⎫
+
+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭，
解得0a =
，即M 为矩形ABCD 对角线的交点，
所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，
设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，
故正方体的棱长为2x
，所以
2
2
362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，得224x =， 所以正四面体的表面积为2
44
x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD
【点睛】
此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.
7．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α.下面说法正确的是（）
A ．直线A
B 与平面α所成角的正弦值范围为32⎣⎦
B ．点M 与点1
C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C ．点M 为1CC 的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点 【答案】AC 【分析】
以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系
D xyz -，利用空间向量法可判断A 选项的正误；证明出1AC ⊥平面1A BD ，分别取棱
11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ，比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小，可判断B 选项的正误；利用空间向量
法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ，判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误；将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC ，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤，
AM ⊥平面α，则AM 为平面α的一个法向量，且()2,2,AM a =-，()0,2,0AB =，
2232cos ,,32288AB AM
AB AM AB AM a a ⋅<>===⎢⋅⨯++⎣⎦
， 所以，直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为322⎣⎦
，A 选项正确；
对于B 选项，当M 与1CC 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，
BD ⊂平面ABCD ，
1BD CC ∴⊥，
四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥，
1CC AC C =，BD ∴⊥平面1ACC ，
1AC ⊂平面1ACC ，1AC BD ∴⊥，同理可证11AC A D ⊥， 1A D BD D ⋂=，1AC ∴⊥平面1A BD ，
易知1A BD 是边长为22的等边三角形，其面积为()
12
3
22234
A BD S =⨯=△，周长
为22362⨯=.
设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点，
易知六边形EFQNGH 是边长为2的正六边形，且平面//EFQNGH 平面1A BD ， 正六边形EFQNGH 的周长为62，面积为()
2
362334
⨯
⨯=，
则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，B 选项错误； 对于C 选项，设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ，点()0,2,1M ，()2,2,1AM =-，
AM ⊥平面α，DE ⊂平面α，AM DE ∴⊥，即220AM DE b ⋅=-+=，得
1b =，()1,0,2E ∴，
所以，点E 为棱11A D 的中点，同理可知，点F 为棱11A B 的中点，则()2,1,2F ，
()1,1,0EF =，
而()2,2,0DB =，1
2
EF DB ∴=
，//EF DB ∴且EF DB ≠， 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=，
()()()
222
2212205BF =
-+-+-=，DE BF ∴=，
所以，四边形BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；
对于D 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，如下图所示：
若AM MN +最短，则A 、M 、N 三点共线，
11//CC DD ，22
22222
MC AC DN AD ∴
===-+， 11
222
MC CC =-≠，所以，点M 不是棱1CC 的中点，D 选项错误.
故选：AC. 【点睛】
本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.
8．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）
A ．MN ∥平面ABD
B ．异面直线A
C 与MN 所成的角为定值
C ．在二面角
D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径先变小后变大
D ．若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
【答案】ABD 【分析】
利用线面平行的判定即可判断选项A ；
利用线面垂直的判定求出异面直线AC 与MN 所成的角即可判断选项B ；
借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;
过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,分ABC ∠为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D. 【详解】
对于选项A:因为M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，所以MN 为BCD ∆的中位线，所以//MN BD ,因为MN ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ,故选项A 正确；
对于选项B ：取AC 的中点O ，连接,DO BO ,作图如下：
则,AC DO AC BO ⊥⊥,BO DO O =,由线面垂直的判定知，AC ⊥平面BOD ,所以
AC BD ⊥,因为//MN BD ,所以AC MN ⊥,即异面直线AC 与MN 所成的角为定值90，
故选项B 正确；
对于选项C:借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，球心离开平面ABC ，但是球心在底面的投影仍然是ABC ∆外接圆圆心，故二面角
D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径不可能先变小后变大，
故选项C 错误；
对于选项D:过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,若ABC ∠为锐角，H 在线段BC 上；若ABC ∠为直角，H 与B 重合；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上；
若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，因为AH BC ⊥，所以CB ⊥平面AHD ,由线面垂直的性质知,CB HD ⊥,
若ABC ∠为直角，H 与B 重合，所以CB BD ⊥,在CBD ∆中，因为CB CD =, 所以CB BD ⊥不可能成立，即ABC ∠为直角不可能成立；
若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上，则在原平面图菱形ABCD 中，DCB ∠为锐角，由于立体图中DB DO OB <+,所以立体图中DCB ∠一定比原平面图中更小，，所以
DCB ∠为锐角，CB HD ⊥，故点H 在线段BC 与H 在线段BC 的延长线上矛盾，因此ABC ∠不可能为钝角；综上可知，ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
.故选项D 正确;
故选：ABD 【点睛】
本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.
9．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面
1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）
A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个
B ．若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧
C ．若P
D ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2
D ．若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94
π 【答案】ABD 【分析】
若3PD =，由于P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一；()313PD =∈，，则
12PD =，即点P 的轨迹是一段圆弧；当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为3=，可判
断C ；平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为3
2
=，可得D . 【详解】 如图：
∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，
∴1122B D =，又侧棱11AA =， ∴()
2
212213DB =
+=，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确；
∵()313PD =∈，，11DD =，则12PD =，即点P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确； 连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为
()
2
22
13+=，故C 错误；
由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为2221322122++=，面积为94
π
，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】
本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
10．如图，已知P 为棱长为1的正方体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=，
下面结论中正确结论的有（ ）
A ．11A D C P ⊥；
B ．当1A P PD +取最小值时，23λ=；
C ．若()0,1λ∈，则7,312APC ππ⎛⎫∠∈
⎪⎝
⎭
； D ．若P 为1BD 的中点，四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为9
4
π． 【答案】ABD 【分析】
以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，利用向量关系可判断ABC ；根据几何体外接球
关系建立方程求出球半径即可判断D. 【详解】
以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 则()1,1,0B ，()10,0,1D ，设(),,P x y z ，
()()
10,1BP BD λλ=，1BP BD λ∴=，即()()1,1,1,1,1x y z λ--=--，
则可解得()1,1,P λλλ--， 对A ，
()()()111,0,1,0,0,0,0,1,1A D C ，()11,0,1A D ∴=--，
()11,,1C P λλλ=---，则()()()()11110110A D C P λλλ⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=，则
11A D C P ⊥，故A 正确；
对B ，()
()()()
()2
22
2
2
21111111A P PD λλλλλλ+=
--+-+--+-+2
22223422333λλλ⎛
⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭
则当2
3
λ=时，1A P PD +取最小值，故B 正确； 对C ，
()()1,0,0,0,1,0A C ，(),1,PA λλλ∴=--，()1,,PC λλλ=--，
则22
2321
cos 1321
321PA PC
APC PA PC λλλλλλ⋅-∠===--+-+⋅， 01λ<<，则2232123λλ≤-+<，则2
111
123212
λλ-≤-<-+， 即11cos 22APC -
≤∠<，则2,33APC ππ⎛⎤
∠∈ ⎥⎝⎦
，故C 错误； 对于D ，当P 为1BD 中点时，四棱锥11P AA D D -为正四棱锥，设平面11AA D D 的中心为
O ，四棱锥11P AA D D -的外接球半径为R ，所以2
2
2
122R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得34R =，
故四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为9
4
π，所以D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
关键点睛：本题考查空间相关量的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量建立关系进行计算.。