线性代数第1章第3单元
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0 0 17 10 成上（下）三角行列式。
1 9 13 7
0
0 17 10
r4 17r3 0 13这是计算行列式最基本 25 17 1 (13) (1) (24) 312 , 必须掌握! 0 0 的方法 1 2 0 0 0 24
《线性代数》课题组
1
2 2 2 2
1 a1 0 0
1 0 a2 0
1 0 0 an
称为“箭” 型行列式.
例5 解
1
计算行列式
Dn+1 1 1 1 ( ) a1
把行列式的第2列
1 ( ) 第3列 a2
n
…第（n+1）列
1 a1 0 0 1 0 a2 0 0 1 0 0 an
1 ( ) 都加到第1列得 an
1 a0 i 1 ai Dn+1 0 0 0
a (n 1)b b b a
1 b b
b
b b b a
n1
r2 r1 r3 r1
1
b
b
0 a b 0 0 a b [a (n 1)b] 0
0 0 0
0 0
a b
[a (n 1)b](a b)
rn r1
《线性代数》课题组
解法二
a
r2 r1 r3 r1
i 行 ai1
k行
ai 2
ain
＝akn
ak 1 ak 2 ai1 ai 2
akn i 行 ain k 行
ak 1 ak 2
可用数学 归纳法证 明，略去
推论1 行列式若有两行（列）对应元素完全相同，则行列式 为零.
《线性代数》课题组
性质3
行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 k，等 于数k 乘以此行列式。
b
b
b
D
b a a b
ba 0
a b
0
0
0
a b b b a b D b b a b b b
b b b a
rn r1
ba
C1 C j
j 2 n
0
0
b b
a b
b
a (n 1)b
箭型行列 式
0
a b
0
0
0
0
0
0
a b
0
n1
0
a b
[a (n 1)b](a b)
an1 an 2 ... ann
性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数k后 加到另一行（列）对应元素 ，行列式不变。即：
i 行 ai1
j 行 a j1
ai 2 a j2
ain a jn
ai1 ka j1 ai 2 ka j 2 a j1 a j2
ain ka jn a jn
《线性代数》课题组
小结
1、行列式的5个性质、3个推论。 2、计算不同类型的行列式----化上（下） 三角形行列式
《线性代数》课题组
ai1
ai 2
ain k kain
ai1 ai 2 ai1 ai 2
ain 0 ain
kai1 kai 2
例1
2 5 4
1 3 4 9
4
3
计算行列式 3
6 4 第1列和第3列成比例 0 10 7 8 2
《线性代数》课题组
性质4 若行列式的第i行(列)元素的每一个元素都可以表示 为两数的和,则该行列式可以表示为两行列式之和,即
r3 2r2
r2 2r1 r3 3r1
1 9 13 7 0 13 25 17
r4 2r1
0 26 34 26 0 26 33 24
1 9 13 7 1 9 13 7 上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积， 0 13 25 17 r3 r4 0 13 25 17 r4 2r2 0 0 16 8 0 0 1 2 因此计算行列式常利用行列式的性质，把行列式化
a1a2
1 an (a0 ) i 1 ai
n
《线性代数》课题组
例6
a b b b a b 计算n阶行列式 D b b a
b b b
解法一
C1 C j
n
D
j 2
b b b a a (n 1)b b b b 1 b b a (n 1)b a b b 1 a b a (n 1)b b a b [a (n 1)b] 1 b a
知识点3----行列式的性质
1.
2. 转置行列式的定义 行列式的性质 求行列式的计算
3.
《线性代数》课题组
一、转置行列式
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
定义：已知行列式 D
DT
a11 a21 a12 a22 a1n a2 n
an1 an 2 ann
2 2 3 2
2 2 2 n
例4
2 计算行列式 D 2 2
解: 第二行乘以-1加到其它各行上去可得
1 0 0 2 D 0 0 2 2 0 1 0 0 0
1 0 0 2 2 0 1 0 0 0 2 0 n2
2 r2 2r1 0 0 0 n2
0
=-2 (n-2)!
《线性代数》课题组
a0
b2 n
D (1) 即 bij a (i, j 1,2, ( j j ji j )
T
1 2 n
(
b jnn
DD
bnn
T
性质1的意义 何在呀？
行列式的行与列地位平等。因而, 对行成立的性质，对列也成立。
《线性代数》课题组
性质2 行列式的两行（列）互换，行列式的值变号 .
《线性代数》课题组
三、利用行列式性质计算行列式
a 1 b2
例2 计算行列式 D b 1 b 2
c 1 c2 a 1 b 2 c c a 1 2 3 1 b 1 2 D b 1 b2 c 1 2 c 1 c2
解
0
《线性代数》课题组
例3
计算行列式的值
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
《线性代数》课题组
为了书写方便，规定：
以ri 表示行列式的第 i行，ci 表示第 i列。
交换i , j两行记作 ri rj ,
交换i , j两列记作 ci c j
把第 j 行的k 倍加到第 i 行上去记作 (ri krj )
把第 j 列的k 倍加到第 i 列上去记作 (ci kcj )
, 称 DT 为 D 的转置行列式 .
《线性代数》课题组
二、行列式的性质
性质1
证： 行列式与它的转置行列式相等，即 D= DT a11 a12 a1n b11 b12 b1n
a21 a22 a2 n b21 b22 T D D ( j1 j2 jn ) D ( 1) a1 j1 a2 j2 anjn ( j1 j2 jn ) bn1 bn 2 an1 an 2 ann
a11
a12
a1n
a11 a12 ai 2
a1n ain ann
kai1 kai 2 an1
推论2
kain k ai1 ann
an 2
an1 an 2
即为性质 3中k＝0 情况
若行列式中一行(列)所有元素为零，则行列式等于零.
《线性代数》课题组
推论3
如果行列式的两行（列）元素对应成比例， 则行列式为零。
a11 a12 ... a1n a11 a12 ci 2 ... a1n a11 a12 bi 2 ... a1n ... bin
ci1 bi1 ci 2 bi 2 ... cin bin ci1 an1 an 2 ... ann
... cin bi1
an1 an 2 ... ann
1 9 13 7
0
0 17 10
r4 17r3 0 13这是计算行列式最基本 25 17 1 (13) (1) (24) 312 , 必须掌握! 0 0 的方法 1 2 0 0 0 24
《线性代数》课题组
1
2 2 2 2
1 a1 0 0
1 0 a2 0
1 0 0 an
称为“箭” 型行列式.
例5 解
1
计算行列式
Dn+1 1 1 1 ( ) a1
把行列式的第2列
1 ( ) 第3列 a2
n
…第（n+1）列
1 a1 0 0 1 0 a2 0 0 1 0 0 an
1 ( ) 都加到第1列得 an
1 a0 i 1 ai Dn+1 0 0 0
a (n 1)b b b a
1 b b
b
b b b a
n1
r2 r1 r3 r1
1
b
b
0 a b 0 0 a b [a (n 1)b] 0
0 0 0
0 0
a b
[a (n 1)b](a b)
rn r1
《线性代数》课题组
解法二
a
r2 r1 r3 r1
i 行 ai1
k行
ai 2
ain
＝akn
ak 1 ak 2 ai1 ai 2
akn i 行 ain k 行
ak 1 ak 2
可用数学 归纳法证 明，略去
推论1 行列式若有两行（列）对应元素完全相同，则行列式 为零.
《线性代数》课题组
性质3
行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 k，等 于数k 乘以此行列式。
b
b
b
D
b a a b
ba 0
a b
0
0
0
a b b b a b D b b a b b b
b b b a
rn r1
ba
C1 C j
j 2 n
0
0
b b
a b
b
a (n 1)b
箭型行列 式
0
a b
0
0
0
0
0
0
a b
0
n1
0
a b
[a (n 1)b](a b)
an1 an 2 ... ann
性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数k后 加到另一行（列）对应元素 ，行列式不变。即：
i 行 ai1
j 行 a j1
ai 2 a j2
ain a jn
ai1 ka j1 ai 2 ka j 2 a j1 a j2
ain ka jn a jn
《线性代数》课题组
小结
1、行列式的5个性质、3个推论。 2、计算不同类型的行列式----化上（下） 三角形行列式
《线性代数》课题组
ai1
ai 2
ain k kain
ai1 ai 2 ai1 ai 2
ain 0 ain
kai1 kai 2
例1
2 5 4
1 3 4 9
4
3
计算行列式 3
6 4 第1列和第3列成比例 0 10 7 8 2
《线性代数》课题组
性质4 若行列式的第i行(列)元素的每一个元素都可以表示 为两数的和,则该行列式可以表示为两行列式之和,即
r3 2r2
r2 2r1 r3 3r1
1 9 13 7 0 13 25 17
r4 2r1
0 26 34 26 0 26 33 24
1 9 13 7 1 9 13 7 上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积， 0 13 25 17 r3 r4 0 13 25 17 r4 2r2 0 0 16 8 0 0 1 2 因此计算行列式常利用行列式的性质，把行列式化
a1a2
1 an (a0 ) i 1 ai
n
《线性代数》课题组
例6
a b b b a b 计算n阶行列式 D b b a
b b b
解法一
C1 C j
n
D
j 2
b b b a a (n 1)b b b b 1 b b a (n 1)b a b b 1 a b a (n 1)b b a b [a (n 1)b] 1 b a
知识点3----行列式的性质
1.
2. 转置行列式的定义 行列式的性质 求行列式的计算
3.
《线性代数》课题组
一、转置行列式
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
定义：已知行列式 D
DT
a11 a21 a12 a22 a1n a2 n
an1 an 2 ann
2 2 3 2
2 2 2 n
例4
2 计算行列式 D 2 2
解: 第二行乘以-1加到其它各行上去可得
1 0 0 2 D 0 0 2 2 0 1 0 0 0
1 0 0 2 2 0 1 0 0 0 2 0 n2
2 r2 2r1 0 0 0 n2
0
=-2 (n-2)!
《线性代数》课题组
a0
b2 n
D (1) 即 bij a (i, j 1,2, ( j j ji j )
T
1 2 n
(
b jnn
DD
bnn
T
性质1的意义 何在呀？
行列式的行与列地位平等。因而, 对行成立的性质，对列也成立。
《线性代数》课题组
性质2 行列式的两行（列）互换，行列式的值变号 .
《线性代数》课题组
三、利用行列式性质计算行列式
a 1 b2
例2 计算行列式 D b 1 b 2
c 1 c2 a 1 b 2 c c a 1 2 3 1 b 1 2 D b 1 b2 c 1 2 c 1 c2
解
0
《线性代数》课题组
例3
计算行列式的值
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
《线性代数》课题组
为了书写方便，规定：
以ri 表示行列式的第 i行，ci 表示第 i列。
交换i , j两行记作 ri rj ,
交换i , j两列记作 ci c j
把第 j 行的k 倍加到第 i 行上去记作 (ri krj )
把第 j 列的k 倍加到第 i 列上去记作 (ci kcj )
, 称 DT 为 D 的转置行列式 .
《线性代数》课题组
二、行列式的性质
性质1
证： 行列式与它的转置行列式相等，即 D= DT a11 a12 a1n b11 b12 b1n
a21 a22 a2 n b21 b22 T D D ( j1 j2 jn ) D ( 1) a1 j1 a2 j2 anjn ( j1 j2 jn ) bn1 bn 2 an1 an 2 ann
a11
a12
a1n
a11 a12 ai 2
a1n ain ann
kai1 kai 2 an1
推论2
kain k ai1 ann
an 2
an1 an 2
即为性质 3中k＝0 情况
若行列式中一行(列)所有元素为零，则行列式等于零.
《线性代数》课题组
推论3
如果行列式的两行（列）元素对应成比例， 则行列式为零。
a11 a12 ... a1n a11 a12 ci 2 ... a1n a11 a12 bi 2 ... a1n ... bin
ci1 bi1 ci 2 bi 2 ... cin bin ci1 an1 an 2 ... ann
... cin bi1
an1 an 2 ... ann