数学上学期期中试题-凤凰中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学试题及答案(文)

时量： 120分钟 总分：150分 第一部分：水平测试（共100分）
一．选择题。

本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知等比数列{}n a 的前3项分别为4、6、x ,则x 为 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10
2.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为( ) A.球 B.圆柱 C. 圆锥 D.圆台 3．设集合{}{}0,1,2,0,1M N ==，则M U N=（ ） A ．{}2 B ．{}0,1 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2 4．函数x y 2sin =的最小正周期是( )
A ．4π
B ．2π
C ．π
D ．
2
π
5．下列函数中，在()0,+∞上是减函数的是( )
A ．1y x =
B ．2
x y = C ．2x y = D ．()()
00x x y x x >⎧⎪=⎨
-≤⎪⎩
6.若直线3y ax =+与直线62--=x y 垂直，则实数a 的值为( ).
A.2-
B.
12 C.1
2
- D.2 7．已知31log 2a =，2
21-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=b ，3
2-=c ，则,,a b c 的大小顺序为（ ）
A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．c a b <<
8．已知向量a (2,1)=，b (3,)λ=，且a ⊥b ，则λ=( ) A ．6- B ．6 C ．
32 D ．3
2-
9．函数52)(1
-+=-x x f x 的零点所在的区间为（ ）
正视侧
视
俯视
（第2题图）
A.（0，1）
B.（1,2）
C.（2,3）
D.（3，4) 10. 如图1，在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P ，分别以 A B 、、C D 、为圆心、1为半径作圆，在正方形ABCD 内的四 段圆弧所围成的封闭区域记为M （阴影部分），则点P 取自区 域M 的概率是( ). A.
2
π
B.
4
π
C. 14
π
-
D.12
π-
二．填空题:本大题共5小题,每小题4分,满分20分
11．某田径队有男运动员30人，女运动员10人．用分层抽样的方法从中抽出一个容量为20的样本，则抽出的女运动员有 人． 12．对于右边的程序框图，若输入x 的值是5，则输出y 的值是 ．
13.已知圆()2
2
4x a y -+=的圆心坐标为()3,0,则实数a =
14．不等式组10
1
x y x -+≥⎧⎨≤⎩表示的平面区域与x 轴围成图形的面积为
_______
15.如图,A,B 两点在河的两岸,为了测量A 、B 之间的距离,测量者在A 的同侧选定一点C,测出A 、C 之间的距离是100米,
105BAC ∠=,45ACB ∠=,则A 、B 两点之间的距离为 米
.
三．、解答题:本大题共5小题,满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分6分) 已知21cos =
α，)2
,0(πα∈ （1）求αtan 的值；
（2）求α2sin 的值。

D
C
B
A
图1
17(本小题满分8分)
一批食品,每袋的标准重量是50g ,为了了解这批食品的实际重量情况,从中随机抽取10袋食品,称出各袋的重量(单位:g ),并得到其茎叶图(如图).
⑴求这10袋食品重量的众数,并估计这批食品实际重量的平均数;
⑵若某袋食品的实际重量小于或等于47g ,则视为不合格产品,试估计这批食品重量的合格率.
18、（本小题满分8分）如图，已知三棱锥ABC V -中，VA ⊥平面ABC,且
AC=2,VA=2 ,0
90=∠ABC
（1）求证：BC 垂直平面VAB. （2）求C V 与平面C AB 所成的角.
19.(本题8分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()3,1A ，()1,0C . （1）求以点C 为圆心，且经过点A 的圆C 的标准方程；
（2）若直线l 的方程为290x y -+=，判断直线l 与（1）中圆C 的位置关系，并说明理由.
20.(本题10分）设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，3212a a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．
第二部分：能力测试（共50分）
21.（5分）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率是2，则21
3b a
+的最小值为
（ ）
A ．
3
B ．
3
C ．2
D ．1
22．（5分）若直线10x y -+=与圆22
()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围
是 ．
23、(13分）已知函数21
()cos cos ,2
f x x x x x R =--∈． (1)求函数)(x f 的最小值和最小正周期；
(2)已知ABC ∆内角A B
C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =平行，求a b 、的值．
24.(13分）已知函数c bx ax x f ++=3
)(，在点2=x 处取得极值为16-c .
(1)求b a ,的值；
(2)若)(x f 有极大值28，求)(x f 在[]3,3-上的最小值.
25.(14分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求⋅的最小值
湘潭凤凰中学2014年上学期高二期中考试
数学（文科）试题答案
一．选择题。

本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知等比数列{}n a 的前3项分别为4、6、x ,则x 为 ( C ) A.7 B.8 C.9 D.10
2.
如图是一个几何体的三视图,则该几何体为( C ) A.球 B.圆柱 C. 圆锥 D.圆台 3．设集合{}{}0,1,2,0,1M N ==，则M U N=（ D ）
A ．{}2
B ．{}0,1
C ．{}0,2
D ．{}0,1,2 4．函数x y 2sin =的最小正周期是( C ) A ．4π B ．2π C ．π D ．2
π
5．下列函数中，在()0,+∞上是减函数的是( A )
A ．1y x =
B ．2
x y = C ．2x y = D ．()()
00x x y x x >⎧⎪=⎨
-≤⎪⎩
6.若直线3y ax =+与直线62--=x y 垂直，则实数a 的值为( B ). A.2- B.
12 C.1
2
- D.2 7．已知31log 2a =，2
21-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=b ，3
2-=c ，则,,a b c 的大小顺序为（ C ）
A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．c a b << 8．已知向量a (2,1)=，b (3,)λ=，且a ⊥b ，则λ=( A )
A ．6-
B ．6
C ．32
D ．3
2-
9．函数52)(1
-+=-x x f x 的零点所在的区间为（ C ） A.（0，1） B.（1,2） C.（2,3） D.（3，4) 10. 如图1，在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P ，分别以 A B 、、C D 、为圆心、1为半径作圆，在正方形ABCD 内的四 段圆弧所围成的封闭区域记为M （阴影部分），则点P 取自区 域M 的概率是( C ). A.
2
π
B.
4
π
C. 14π-
D.12
π- 侧视俯视
（第2题图）
D
C
B
A
M
图1
二．填空题:本大题共5小题,每小题4分,满分20分
11．某田径队有男运动员30人，女运动员10人．用分层抽样的
方法从中抽出一个容量为20的样本，则抽出的女运动员有 5 人 12．对于右边的程序框图，若输入x 的值是5，则输出y 的值是0.5 ．
13.已知圆()2
2
4x a y -+=的圆心坐标为()3,0,则实数a
= 3
14．不等式组10
1
x y x -+≥⎧⎨≤⎩表示的平面区域与x 轴围成图形的面积为
___2____
15.如图,A,B 两点在河的两岸,为了测量A 、B 之间的距离,测量者在A 的同侧选定一点C,测出A 、C 之间的距离是100
米,105BAC ∠=,45ACB ∠=,则A 、B
米.
三．、解答题:本大题共5小题,满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分6分)
已知21cos =
α，)2
,0(πα∈ （3）求αtan 的值； 求α2sin 的值。

解：(1)3 (2)2
3
17(本小题满分8分)
一批食品,每袋的标准重量是50g ,为了了解这批食品的实际重量情况,从中随机抽取10袋食品,称出各袋的重量(单位:g ),并得到其茎叶图(如图). ⑴求这10袋食品重量的众数,并估计这批食品实际重量的平均数; ⑵若某袋食品的实际重量小于或等于47g ,则视为 不合格产品,试估计这批食品重量的合格率. 解：（1）众数为50；平均数为49
（2）10
7
=p 即合格率为70％
C （第15题图 ）
45
18、（本小题满分8分）如图，已知三棱锥ABC V -中，VA ⊥平面ABC,且
AC=2,VA=2 ,0
90=∠ABC
（1）求证：BC 垂直平面VAB.
（2）求C V 与平面C AB 所成的角. 解：（1）略
（2）0
45
19.(本题8分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()3,1A ，()1,0C .
（1）求以点C 为圆心，且经过点A 的圆C 的标准方程；
（2）若直线l 的方程为290x y -+=，判断直线l 与（1）中圆C 的位置关系，并说明理由.
20.(本题10分）设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，3212a a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ． 20.解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由12a =，3212a a -=，
得222120q q --=，即2
60q q --=．---------------2分
解得3q =或2q =-，-----------------------3分 ∵0q >∴2q =-不合舍去，∴1
23n n a -=⨯；----------------4分
（2）∵数列{}n b 是首项11,b =公差2d =的等差数列，
∴n b =21n -， ----------------6分 ∴n S 1212()()n n a a a b b b =++
+++++
2(31)(121)
312
n n n -+-=+
-231n n =-+． ----------------------10分
21.（5分）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率是2，则21
3b a
+的最小值为 （ A ）
A ．3
B ．3
C ．2
D ．1
23、(13分）已知函数21
()cos cos ,2
f x x x x x R =--∈． (1)求函数)(x f 的最小值和最小正周期；
(2)已知ABC ∆内角A B
C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =平行，求a b 、的值．
25.(13分）已知函数c bx ax x f ++=3
)(，在点2=x 处取得极值为16-c .
(3)求b a ,的值；
(4)若)(x f 有极大值28，求)(x f 在[]3,3-上的最小值.
解：(1)由已知得0)2('
=f ，16)2(-=c f ，12,1-==b a
（2）28)2(=-f ，12=c ，)(x f 在[]3,3-上的最小值为4-
25.(14分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程； (2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RQ RP ⋅的最小值。