北京市2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(1)

一、单选题
二、多选题
1.
二项式
的展开式中
的系数是（ ）
A
．B ．12C ．6D
．
2. 下列关于随机变量X 的四种说法中，正确的编号是（ ）
①若X 服从二项分布
，则
；
②若从3男2女共5名学生干部中随机选取3名学生干部，记选出女学生干部的人数为X ，则X 服从超几何分布，且；
③若X 的方差为，则；④已知
，
，则
．
A ．②③
B ．①③
C ．①②
D ．①④
3. 锐角三角形的内角､
满足：
，则有（ ）
A
．B
．C
．
D
．
4. 在四面体
中，
平面
，三内角，，成等差数列，
，
，则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
5. 函数
在区间
上单调，且
恒成立，则此函数图象与轴交点
的纵坐标为（ ）
A
．
B
．C
．D
．
6. 函数
在区间上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标
不变），再向右平移
个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则的最小值为（
）
A
．B
．C
．D
．
7.
已知双曲线
的半焦距为，斜率为的直线过点，且与轴交于点
，若点在
的右支上，且
是线段EM 的中点，则的离心率为（ ）
A
．B
．C
．
D
．
8. 已知函数，如果关于x
的方程有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是（ ）
A
．
B
．C
．
D
．
9. 对函数
，
公共定义域内的任意x ，若存在常数
，使得
恒成立，则称
和是伴侣函
数，则下列说法正确的是（ ）
A ．存在常数，使得与
是伴侣函数
B
．存在常数
，使得
与
是
伴侣函数
北京市2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(1)
北京市2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(1)
三、填空题
四、解答题
C ．与
是伴侣函数
D ．若
，则存在常数，使得
与
是伴侣函数
10.
已知数列
满足
，且
，等差数列
的前n 项和为
，且，，若恒成立，则实
数λ的值可以为（ ）
A ．－36
B ．－54
C ．－81
D ．－108
11.
已知定义
的奇函数，满足
，若
，则（ ）
A
．
B ．4是的一个周期C
．
D ．的图像关于对称
12. 若直线
与曲线
相交于不同两点
，
，曲线
在A ，点处切线交于点
，则（ ）
A
．
B
．
C
．
D ．存在
，使得
13. 若拋物线
的焦点也是双曲线的焦点，则
___________.
14. 已知
，则
_________.
15. 在
的二项展开式中，常数项的值为_______．
16. 因新冠肺炎疫情线上学习期间，儿童及青少年电子产品的使用增多、户外活动减少，进而增加了近视发生和进展的风险．2022年春季由
于奥密克戎及其变异株传染能力强、感染后缺乏特异性症状等特点，让奥密克戎防控难上加难．某市也受到了奥密克戎病毒的影响，全市中小学生又一次居家线上学习，该市某部门为了了解全市中学生的视力情况，采用分层抽样方法随机抽取了该市120名中学生，已知该市中学
生男女人数比例为
，统计了他们的视力情况，结果如表：
近视
不近视合计
男生30
女生40
合计
120
(1)请把表格补充完整，并判断是否有
的把握认为近视与性别有关？附：
，其中
．
2.706
3.841
6.6350.10
0.05
0.01
(2)如果用这120名中学生男生和女生近视的频率分别代替该市中学生男生和女生近视的概率，且每名同学是否近视相互独立．现从该市中学
生中任选4
人，设随机变量表示4
人中近视的人数，试求的分布列及其数学期望
．
17. 已知椭圆
的左右焦点分别为
是椭圆的中心，点
为其上的一点满足．
(1)求椭圆的方程；(2)设定点
，过点的直线交椭圆于两点，若在上存在一点，使得直线
的斜率与直线的斜率之和为定值，求的范
围．
18. 已知正项数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求.
19. 随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加.下表是某购物网站2017年1-8月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据.
（1）根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（系数精确到0.001）
（2）建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需投入促销费用多少万元（结果精确到0.01）.
参考数据：，，，，，其中，分别为第个月
的促销费用和产品销量，.
参考公式：（1）样本的相关系数
（2）对于一组数据，，，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
.
20. 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”．每次租车收费的标准由两部分组成：①里程计费：1元/公
里；②时间计费：元/分．已知陈先生的家离上班公司公里，每天上、下班租用该款汽车各一次．一次路上开车所用的时间记为
（分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示
将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为分．
（1）估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于分钟的概率；
（2）若公司每月发放元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车（每月按天计算），并说明理
由.（同一时段，用该区间的中点值作代表）
21. 定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且在P处的切线相同，则称C1与C2在点P处相切．
(1)设．若曲线与曲线在点P处相切，求m的值；
(2)设，若圆M：与曲线在点Q（Q在第一象限）处相切，求b的最小值；
(3)
若函数是定义在R上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立.是否存在
点P，使得曲线和曲线y=1在点P处相切？证明你的结论．。