人教2018版第2章章末分层突破

章末分层突破
[自我校对]
①对应关系
②函数的值域
③解析法
④简单的幂函数
⑤单调性的定义
⑥函数的奇偶性
⑦奇偶性的判定方法
函数的定义域
1.已知函数解析式求其定义域，就是求使解析式有意义(分母不为零，偶次根式的被开方数非负等)的自变量的取值范围．
2．已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，求函数f [φ(x )]的定义域，可解不等式a ≤φ(x )≤b 求得；如果已知函数f [φ(x )]的定义域，可通过求函数φ(x )的值域，求得函数f (x )的定义域．
(1)若函数y ＝3
x －7
ax 2＋4ax ＋3
的定义域为R ，则实数a 的取值范围是
________．
(2)已知函数f (x )的定义域为[0,1]，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x －1的定义域为________．
【精彩点拨】 (1)对任意x ∈R ，都有ax 2＋4ax ＋3≠0成立，分a ＝0，a ≠0两种情况，a ≠0时，Δ<0即可；
(2)由0≤1
2x －1≤1解出x 的范围即为所求．
【规范解答】 (1)依题意，x ∈R ，解析式有意义，即对任意x ∈R ，都有ax 2＋4ax ＋3≠0成立，故方程ax 2＋4ax ＋3＝0无实根．
①当a ＝0时，3≠0满足要求；
②当a ≠0时，则有Δ＝16a 2－12a ＜0，即0＜a ＜3
4时满足要求．综上可知a ∈⎣⎢⎡
⎭
⎪⎫0，34.
(2)由题意知，0≤1
2x －1≤1， 解得2≤x ≤4.
因此，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x －1的定义域为[2,4]．
【答案】 (1)⎣⎢⎡
⎭⎪⎫0，34 (2)[2,4]
[再练一题]
1．已知函数f (2x －1)的定义域为[0,1)，求f (1－3x )的定义域.
【导学号：04100036】
【解】 ∵f (2x －1)的定义域为[0,1)，∴0≤x ＜1， ∴－1≤2x －1＜1， ∴f (x )的定义域为[－1,1)， 即－1≤1－3x ＜1,0＜x ≤2
3. 故函数f (1－3x )的定义域为⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，23.
函数的性质
函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要的性质：
(1)利用函数的单调性，可将函数值之间的关系转化为自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是比较大小、证明不等式、求值域或最值等方面的应用较为广泛．判定单调性的方法主要有定义法，图像法．
(2)利用奇偶函数图像的对称性，可以减少对变量的讨论，常能使求解的问题避免复杂的讨论．
已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝5
3.
(1)求实数a ，b 的值；
(2)判断函数f (x )在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明． 【精彩点拨】 (1)利用奇函数定义和f (2)＝5
3，求a ，b 的值；
(2)根据单调性的定义证明． 【规范解答】 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴ax 2＋2－3x ＋b
＝－
ax 2＋23x ＋b
，∴－3x ＋b ＝－3x －b ，
因此b ＝－b ，即b ＝0.
又f (2)＝5
3，∴4a ＋26＝53，∴a ＝2. (2)由(1)知，f (x )＝2x 2＋23x ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋1x ，
f (x )在(－∞，－1]上为增加的． 证明：设x 1＜x 2≤－1， 则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－1x 1x 2
＝2
3(x 1－x 2)⎝
⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2， ∵x 1＜x 2≤－1， ∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，
x 1x 2－1>0，因此，(x 1－x 2)⎝
⎛⎭⎪⎫
x 1x 2－1x 1x 2<0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－1]上为增加的．
[再练一题]
2．设f (x )是R 上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的，f (－2)＝0，若f (m －1)<0，求m 的取值范围．
【解】 ∵f (x )是R 上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的，
∴f (x )在(0，＋∞)上是减少的， ∵f (－2)＝f (2)＝0，由f (m －1)<0， ∴|m －1|>2，∴m －1<－2或m －1>2， ∴m <－1或m >3.
函数图像及其应用
函数的图像是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图像能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图像正确的画出．函数图像广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．
对于函数f (x )＝x 2－2|x |.
(1)判断其奇偶性，并指出图像的对称性； (2)画此函数的图像，并指出单调区间和最小值．
【精彩点拨】 (1)按照奇、偶函数的定义对f (x )的奇偶性作出判断；(2)利用f (x )的对称性画出f (x )的图像，根据图像写出f (x )的单调区间和最小值．
【规范解答】 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称， f (－x )＝(－x )2－2|－x |＝x 2－2|x |. 则f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数， 图像关于y 轴对称．
(2)f (x )＝x 2
－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－2x ＝(x －1)2－1(x ≥0)，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＜0).
画出图像如图所示．
根据图像知，函数f (x )的最小值是－1.
单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]．
[再练一题]
3．对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2
－4x ＋3中的较大者，
则f (x )的最小值是________．
【解析】 如图，分别画出三个函数的图像，得到三个交点A (0,3)，B (1,2)，C (5,8)．
从图像观察可得函数f (x )的表达式：
f (x )＝⎩⎪
⎨⎪⎧
x 2－4x ＋3(x ≤0)，
－x ＋3(0＜x ≤1)，32x ＋1
2(1＜x ≤5)，x 2
－4x ＋3(x ＞5).
f (x )的图像是图中的实线部分，图像的最低点是点B (1,2)，所以f (x )的最小值是2.
【答案】 2
分类讨论思想
分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增
加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏．本章中涉及到分类讨论的知识点为：二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等．
设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 【精彩点拨】 分抛物线的对称轴x ＝1在区间[t ，t ＋1]的左侧、内部和右侧三种情况讨论．
【规范解答】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝
1.
当t ＋1＜1，即t ＜0时，函数图像如图(1)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；
当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图像如图(2)，最小值为f (1)＝1； 当t ＞1时，函数图像如图(3)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.
综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
t 2
＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，
t 2－2t ＋2，t ＞1.
[再练一题]
4．已知函数f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－32，2上的最大值为1，求实
数a 的值．
【解】 当a ＝0时，f (x )＝－x －3，f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－32，2上不能取得1，故a ≠0.
f (x )＝ax 2
＋(2a －1)x －3(a ≠0)的对称轴方程为x 0＝1－2a
2a .
(1)令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32＝1，解得a ＝－103，
此时x 0＝－2320∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－32，2，
因为a ＜0，f (x 0)最大，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32＝1不合适．
(2)令f (2)＝1，解得a ＝3
4， 此时x 0＝－13∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－32，2.
因为a ＞0，x 0＝－13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－32，2，且距右端点2较远，
所以f (2)最大，合适．
(3)令f (x 0)＝1，得a ＝1
2(－3±22)， 验证后知只有a ＝1
2(－3－22)才合适．
综上所述，a ＝34或a ＝－1
2(3＋22).
1．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧
1，x >0，
0，x ＝0，
－1，x <0，
则( )
A ．|x |＝x |sgn x |
B ．|x |＝x sgn|x |
C ．|x |＝|x |sgn x
D ．|x |＝x sgn x
【解析】 当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.
【答案】 D
2. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2
＋(4a －3)x ＋3a ，x ＜0，
log a (x ＋1)＋1，x ≥0
(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调
递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，23 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
23，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫34 【解析】 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得
0<a <1.
又由f (x )在R 上单调递减，则
⎩⎪⎨⎪
⎧
02＋(4a －3)·
0＋3a ≥f (0)＝1，3－4a 2≥0
⇒13≤a ≤34.
如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象． 由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解，故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a >2，即a >2
3时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x <0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x <0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝3
4或a ＝1(舍去)；
当1≤3a ≤2，即13≤a ≤2
3时，由图象可知，符合条件．
综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧
⎭⎬⎫34.故选C.
【答案】 C
3. (2016·山东高考) 已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －12，则f (6)＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．2
D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －12，
则f (x ＋1)＝f (x )．
又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.]
4. (2016·北京高考) 设函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 3
－3x ，x ≤a ，
－2x ，x ＞a .
(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；
(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 由当x ≤a 时，f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.
如图是函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 在没有限制条件时的图象．
①若a ＝0，则f (x )max ＝f (－1)＝2. ②当a ≥－1时，f (x )有最大值；
当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >(x 3－3x )max ，所以a <－1.
【答案】 (1)2 (2)a <－1
5．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝
⎩⎨⎧
－4x 2
＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.
【解析】 函数的周期是2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，根据题意f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝
－4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122＋2＝1. 【答案】 1
6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________. 【解析】 若a ＞0，则f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，得a ＝ 2. 若a ≤0，则f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，
f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．
【答案】 2
7. (2015·山东高考) 已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是
[－1,0]，则a ＋b ＝________.
【解析】 当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a －1＋
b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧ a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.
【答案】 －32
初中数学试卷
金戈铁骑 制作。