【精选】八年级数学上册轴对称解答题检测题(WORD版含答案)

【精选】八年级数学上册轴对称解答题检测题（WORD 版含答案）
一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）
1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．
（1）求边AD 的长；
（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．
【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜
103)；（2）1769
或32 【解析】
【分析】
（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；
（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；
（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．
【详解】
（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H
∵∠C=45°，DH ⊥BC
∴△DHC 是等腰直角三角形
∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°
∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8
∴HC=8
∴BH=BC －HC=6
∴AD=6
（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G
∵EF ∥AD,∴EF ∥BC
∴∠EFP=∠C=45°
∵EP ⊥PF
∴△EPF 是等腰直角三角形
同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形
∵AE=x
∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x
∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162
x + 同理，PR=
12y ∵AB=8，∴EB=8－x
∵EB=QR
∴8－x=
()11622
x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103
当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值
则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1
∴1≤x ＜103
（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=
83=AE
∴188176662339
ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：
与（2）相同，可得y=3x －10
则当y=2时，x=4，即AE=4
∴()16644322
ABCD S =
⨯++⨯=梯形 【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．
2．如图，在△ABC 中，AB=BC=AC=20 cm ．动点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P ，点Q 的速度都是2 cm/s ，当点P 第一次到达B 点时，P ，Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．
（1）∠A=______度；
（2）当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，求t 的值；
（3）当△APQ 为等边三角形时，直接写出t 的值．
【答案】（1）60；（2）
103或203
；（3）5或20 【解析】
(1)根据等边三角形的性质即可解答；
（2）需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答；
（3）需分以下两种情况进行解答：①由∠A=60°，则当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形；②当P 于B 重合，Q 与C 重合时，△APQ 为等边三角形.
【详解】
解：（1）60°．
（2）∵∠A=60°，
当∠APQ=90°时，∠AQP=90°－60°=30°．
∴QA=2PA ．
即2022 2.t t -=⨯
解得 10.3
t = 当∠AQP=90°时，∠APQ=90°－60°=30°．
∴PA=2QA ．
即2(202)2.t t -=
解得 20.3
t = ∴当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，t 的值为
102033或． （3）①由题意得：AP=2t ，AQ=20-2t
∵∠A=60°
∴当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形
∴2t=20-2t ，解得t=5
②当P 于B 重合，Q 与C 重合，则所用时间为：4÷2=20
综上，当△APQ 为等边三角形时，t=5或20．
【点睛】
本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题，解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.
3．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”.
理解：
（1）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小；
（2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ∆的“好好线”；
在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；
（3）在ABC ∆中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ∆的“好好线”，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数.
【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42°
【解析】
【分析】
（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出∠A 的度数．
（2）根据（1）的解题过程作出△ABC 的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；
（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA ，一边为BC ，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定D 点，再分别考虑AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A 、E 、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC ；根据图形易得∠C 的值；
【详解】
解：（1）∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠C ，
∵BD=BC=AD ，
∴∠A=∠ABD ，∠C=∠BDC ，
设∠A=∠ABD=x ，则∠BDC=2x ，∠C=°180-2
x 可得°180-22
x x = ∴x=36°
则∠A=36°；
（2）如图所示：
（3）如图所示：
①当AD=AE时，
∵2x+x=27°+27°，
∴x=18°；
②当AD=DE时，
∵27°+27°+2x+x=180°，
∴x=42°；
综上所述，∠C为18°或42°的角．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
4．（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－3
4
∠C或∠ABC＝3∠C
或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．
【解析】
试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．
（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．
试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．
(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.
在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－1
2
x，∠A＝180°－x－y.
故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋1
2
x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，
即180°－x－y＝y－
1
90
2
x
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，
∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－3
4
∠C.
②若∠C是底角，
第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.
若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，
∴∠ABC＝3∠C.
若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.
若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．
第二种情况：如图，
当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝
BD，∴∠A＝∠ABD＝1
2
∠BDC＝1
2
∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．
∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．
综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－3
4
∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝
180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．
5．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)．
(1)求证：∠BAD=∠EDC；
(2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC =∠ACB =60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.
（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA ，然后结合（1）可得∠MDC =∠BAD ，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.
【详解】
解：(1)如图1，
∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠ACB =60°，
∴∠BAD =60°﹣∠DAE ，∠EDC =60°﹣∠E ，
又∵DE =DA ，
∴∠E =∠DAE ，
∴∠BAD =∠EDC ．
(2)由轴对称可得，DM =DE ，∠EDC =∠MDC ，
∵DE =DA ，
∴DM =DA ，
由(1)可得，∠BAD =∠EDC ，
∴∠MDC =∠BAD ，
∵△ABD 中，∠BAD +∠ADB =180°﹣∠B =120°，
∴∠MDC +∠ADB =120°，
∴∠ADM =60°，
∴△ADM 是等边三角形，
∴AD =AM ．
【点睛】
本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.
6．如图，已知DCE ∠与AOB ∠，OC 平分AOB ∠．
(1)如图1，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E ，90AOB DCE ∠=∠=︒，试判断线段CD 与CE 的数量关系，并说明理由.
以下是小宇同学给出如下正确的解法：
解：CD CE =．
理由如下：如图1，过点 C 作 C F OC ⊥，交 O B 于点 F ，则90OCF ∠=︒，
…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
(3)若120AOB ∠=︒，60DCE ∠=︒．
①如图3，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E 时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系？说明理由．
②如图4，DCE ∠的一边与 AO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系；如图5，DCE ∠的一边与 BO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系．
【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC -=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC -=
【解析】
【分析】
（1）通过ASA 证明CDO CEF ∆∆≌即可得到CD=CE ；（2）过点 C 作CM OA ⊥，CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，通过AAS 证明CMD CNE ∆∆≌同样可得到CD=CE ；（3）①方法一：过点 C 作 C M OA ⊥，CN OB ⊥垂足分别为 M ，N ，通过AAS 得到CMD CNE ∆∆≌，进而得到,CD CE DM EN ==，利用等量代换得到
=OE OD ON OM ++，在 Rt CMO ∆中，利用30°角所对的边是斜边的一半得
12OM OC =，同理得到1 2
ON OC =，所以OE OD OC +=；方法二：以CO 为一边作
60
FCO
∠=︒，交O B于点F，通过ASA证明CDO CEF
∆∆
≌，得到
,
CD CE OD EF
==，所以OE OD OE EF OF OC
+=+==；②图4：以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点，利用ASA证得△COD≌△CFE，即有CD=CE，OD=EF
得到OE=OF+EF=OC+OD；图5:以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点，利用ASA证得△CGD≌△COE，即有CD=CE，OD=EF，得到OE=OF+EF=OC+OD.
【详解】
解：(1)OC平分AOB
∠，145
∠=∠2=︒
∴，
390245,123
︒︒
∴∠=-∠=∴∠=∠=∠
OC FC
∴=
又456590︒
∠+∠=∠+∠=
在CDO
∆与CEF
∆中，
13
46
OC FC
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
()
CDO CEF ASA
∴∆∆
≌
CD CE
∴=
(2)如图2，过点C作CM OA
⊥，CN OB
⊥，垂足分别为M，N，
∴90
CMD CNE
∠=∠=︒，
又∵OC平分AOB
∠，
∴CM CN
=，
在四边形O DCE中，
12360
AOB DCE
∠+∠+∠+∠=︒，
又∵90
AOB DCE
∠=∠=︒，
∴12180
∠+∠=︒，
又∵13180
∠+∠=︒，
∴32
∠=∠，
在CMD
∆与CNE
∆中，
32
CMD CNE
CM CN
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴()
CMD CNE AAS
∆∆
≌，
∴CD CE
=.
(3)①(1)中的结论仍成立.OE OD OC
+=.
理由如下：
方法一：如图3(1)，过点C作C M OA
⊥，CN OB
⊥，
垂足分别为M，N，
∴90
CMD CNE
∠=∠=︒，
又∵OC平分AOB
∠，
∴CM CN
=，
在四边形ODCE中，
12360
AOB DCE
∠+∠+∠+∠=︒，
又∵60120180
AOB DCE
∠+∠=︒+︒=︒，
∴12180
∠+∠=︒，
又∵23180
∠+∠=︒，
∴13
∠=∠，
在CMD
∆与CNE
∆中，
13
CMD CNE
CM CN
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴()
CMD CNE AAS
∆∆
≌，
∴,
CD CE DM EN
==.
∴OE OD OE OM DM OE OM EN ON OM +=++=++=+.在Rt CMO
∆中，
14
90590302
AOB ∠=︒-∠=︒-∠=︒， ∴12OM OC =，同理1 2
ON OC =， ∴1122
OE OD OC OC OC +=+=. 方法二：如图3（2），以CO 为一边作60FCO ∠=︒，交 O B 于点 F ，
∵OC 平分AOB ∠，∴1260∠=∠=︒，
∴3180260FCO ∠=︒-∠-∠=︒，
∴13∠=∠，32FCO ∠=∠=∠，
∴COF ∆是等边三角形，
∴CO CF =，
∵4560DCE ∠=∠+∠=︒，
6560FCO ∠=∠+∠=︒，
∴46∠=∠，
在CDO ∆与CEF ∆中，
1346CO CF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴()CDO CEF ASA ∆∆≌，
∴,CD CE OD EF ==.
∴OE OD OE EF OF OC +=+==.
②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC -=.
如图，以OC 为一边，作∠OCF=60°与OB 交于F 点
∵∠AOB=120°，OC 为∠AOB 的角平分线
∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCF=60°
∴△COF 为等边三角形
∴OC=OF
∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°
∴∠OCD=∠FCB
又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°
∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°
∴∠COD=∠CFE
∴△COD≌△CFE（ASA）
∴CD=CE，OD=EF
∴OE=OF+EF=OC+OD
即OE-OD=OC
-=.
在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC
如图，以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点
∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线
∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCG=60°
∴△COG为等边三角形
∴OC=OG
∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE
又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°
∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°
∴∠CGD=∠COE
∴△CGD≌△COE（ASA）
∴CD=CE，OE=DG
∴OD=OG+DG=OC+OE
即OD-OE=OC
【点睛】
本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等.
7．八年级的小明同学通到这样一道数学题目：△ABC为边长为4的等边三角形，E是边AB 边上任意一动点，点D在CB的延长线上，且满足AE＝BD．
（1）如图①，当点E为AB的中点时，DE＝；
（2）如图②，点E在运动过程中，DE与EC满足什么数量关系？请说明理由；
（3）如图③，F是AC的中点，连接EF．在AB边上是否存在点E，使得DE+EF值最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半）
【答案】（1）32）DE＝CE，理由见解析；（3）这个最小值为7；
【解析】
【分析】
（1）如图①，过点E作EH⊥BC于H，由等边三角形的性质可得BE=DB=AE=2，由直角三
角形的性质可求BH=1，EH3
（2）如图②，过E作EF∥BC交AC于F，可证△AEF是等边三角形，AE=EF=AF=BD，由“SAS”可证△DBE≌△EFC，可得DE=CE；
（3）如图③，将△ABC沿AB翻折得到△ABC'，连接C'F交AB于点E'，连接CE'，DE'，过点F作FH⊥AC'于点H，由“SAS”可证△ACE'≌△AC'E'，可得C'E'=CE'，可得当点C'，点
E'，点F三点共线时，DE+EF的值最小，由勾股定理可求最小值.
【详解】
（1）如图①，过点E作EH⊥BC于H，
∵△ABC 为边长为4的等边三角形，点E 是AB 的中点，
∴AE =BE =2=DB ，∠ABC =60°，且EH ⊥BC ，
∴∠BEH =30°，
∴BH =1，EH 3=BH 3=，
∴DH =DB +BH =2+1=3，
∴DE 2293DH EH =+=+=23.
故答案为：23；
（2）DE =CE.理由如下：
如图②，过E 作EF ∥BC 交AC 于F .
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC =∠ACB =∠A =60°，AB =AC =BC.
∵EF ∥BC ，
∴∠AEF =∠ABC =60°，∠AFE =∠ACB =60°，
∴∠AEF =∠AFE =∠A =60°，
∴△AEF 是等边三角形，
∴AE =EF =AF ，
∴AB ﹣AE =AC ﹣AF ，
∴BE =CF.
∵∠ABC =∠ACB =∠AFE =60°，
∴∠DBE =∠EFC =120°，且AE =EF =DB ，BE =CF ，
∴△DBE ≌△EFC (SAS)，
∴DE =CE ，
（3）如图③，将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC '，连接C 'F 交AB 于点E '，连接CE '，DE '，过点F 作FH ⊥AC '于点H.
∵将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC '，
∴AC =AC '=BC =BC '=4，∠BAC =∠BAC '=60°，且AE '=AE '，
∴△ACE '≌△AC 'E '(SAS)，
∴C 'E '=CE '，
由（2）可知：DE '=CE '，
∴C 'E '=CE '=DE '.
∵DE +EF =C 'E +EF =C 'E '+EF ，
∴当点C '，点E '，点F 三点共线时，DE +EF 的值最小.
∵F 是AC 的中点，
∴AF =CF =2，且HF ⊥AC '，∠FAH =180°﹣∠CAB ﹣∠C 'AB =60°，
∴AH =1，HF 3=AH 3=，
∴C 'H =4+1=5，
∴C 'F 22'253C H HF =+=+=27，
∴DE +EF 的最小值为27.
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，添加恰当辅助线是解答本题的关键.
8．已知ABC 为等边三角形，E 为射线AC 上一点，D 为射线CB 上一点，AD DE =. （1）如图1，当点E 在AC 的延长线上且CD CE =时，AD 是ABC 的中线吗？请说明理由；
（2）如图2，当点E 在AC 的延长线上时，写出,,AB BD AE 之间的数量关系，请说明理由；
（3）如图3，当点D 在线段CB 的延长线上，点E 在线段AC 上时，请直接写出,,AB BD AE 的数量关系.
【答案】（1）AD 是ABC 的中线，理由详见解析；（2）AB BD AE +=，理由详见
=+.
解析；（3）AB AE BD
【解析】
【分析】
（1）利用△ABC是等边三角形及CD=CE可得∠CDE=∠E=30°，利用AD=DE，证明
∠CAD=∠E =30°，即可解决问题．
（2）在AB上取BH=BD，连接DH，证明AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，（3）在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．
【详解】
（1）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，
∴∠E=30°，
∵DA=DE，
∴∠DAC=∠E=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠CAD，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∴AD是△ABC的中线．
（2）结论：AB+BD=AE，理由如下：
如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，
∵BH=BD，∠B=60°，
∴△BDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD，
∴∠BHD=60°，BD=DH，AH=DC，
∵AD=DE，
∴∠E=∠CAD，
∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，
∴180°-∠BHD=180°-∠ACB,
∴∠AHD=∠DCE，
∴在△AHD和△DCE，
BAD CDE
AHD DCE
AD DE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△AHD≌△DCE（AAS），
∴DH=CE，
∴BD=CE，
∴AE=AC+CE=AB+BD．
（3）结论：AB=BD+AE，理由如下：如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，
∴EF∥BC，
∴∠EDB=∠DEF，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴∠DEF=∠DAF，
∵DF=DF，AF=EF，
在△AFD和△EFD中，
AD DE
DF DF
AF EF
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
,
∴△AFD≌△EFD（SSS）
∴∠ADF=∠EDF，∠DAF=∠DEF，
∴∠FDB=∠EDF+∠EDB ，∠DFB=∠DAF+∠ADF ，
∵∠EDB=∠DEF ，
∴∠FDB=∠DFB ，
∴DB=BF ，
∵AB=AF+FB ，
∴AB=BD+AE ．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．
9．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边ABC ∆，如图1，并在边AC 上任意取了一点F （点F 不与点A 、点C 重合），过点F 作FH AB ⊥交AB 于点H ，延长CB 到G ，使得BG AF =，连接FG 交AB 于点l .
（1）若10AC =，求HI 的长度；
（2）如图2，延长BC 到D ，再延长BA 到E ，使得AE BD =，连接ED ，EC ，求证：ECD EDC ∠=∠.
【答案】（1）HI =5；(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）作FP ∥BC 交AB 于点P ，证明APF ∆是等边三角形得到AH=PH ， 再证明
PFI BGI ∆≅∆得到PI=BI ，于是可得HI =12
AB ，即可求解； （2）延长BD 至Q ，使DQ=AB ，连结EQ ，就可以得出BE=BQ ，得出△BEQ 是等边三角形，就可以得出BE=QE ，得出△BCE ≌△QDE 就可以得出结论．
【详解】
解：如图1，作FP ∥BC 交AB 于点P ，
∵ABC
∆是等边三角形,
∴∠ABC=∠A=60°,
∵FP∥BC,
∴∠APF=∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI,
∴∠APF=∠A=60°,
∴APF
∆是等边三角形,
∴PF=AF,
∵FH AB
⊥，
∴AH=PH,
∵AF=BG,
∴PF=BG,
∴在PFI
∆和BGI
∆中，
PIF BIG
PFI BGI
PF BG
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴PFI BGI
∆≅∆,
∴PI=BI,
∴PI+PH=BI+AH=
1
2
AB,
∴HI=PI+PH =
1
2
AB=
1
10
2
⨯=5；
(2)如图2，延长BD至Q，使DQ=AB，连结EQ，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=60°．
∵AE=BD，DQ=AB，
∴AE+AB=BD+DQ，
∴BE=BQ．
∵∠B=60°，
∴△BEQ为等边三角形，
∴∠B=∠Q=60°，BE=QE．
∵DQ=AB，
∴BC=DQ．
∴在△BCE和△QDE中，
BC DQ
B Q
BE QE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BCE≌△QDE（SAS），
∴EC=ED．
∴∠ECD=∠EDC.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时作出相应辅助线构造全等三角形是关键．本题难度较大，需要有较强的综合能力.
10．探究题：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．
（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝；
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；
（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝cm．（请直接写出答案）
【答案】（1）4cm；（2）PB＝PC，理由见解析；（3）4
【解析】
【分析】
（1）根据AAS定理证明△ABP≌△PCD，可得BP＝CD；
（2）延长线段AP、DC交于点E，分别证明△DPA≌△DPE、△APB≌△EPC，根据全等三角形的性质解答；
（3）根据等腰直角三角形的性质计算．【详解】
解：（1）∵BC＝5cm，BP＝4cm，
∴PC＝1cm，
∴AB＝PC，
∵DP⊥AP，
∴∠APD＝90°，
∴∠APB+∠CPD＝90°，
∵∠APB+∠CPD＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠CPD，
在△ABP和△PCD中，
B C
BAP CPD
AB PC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABP≌△PCD，
∴BP＝CD＝4cm；
（2）PB＝PC，
理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠EDP．
∵DP⊥AP，
∴∠DPA＝∠DPE＝90°，
在△DPA和△DPE中，
ADP EDP
DP DP
DPA DPE
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△DPA≌△DPE（ASA），
∴PA＝PE．
∵AB⊥BP，CM⊥CP，
∴∠ABP ＝∠ECP ＝Rt ∠．
在△APB 和△EPC 中，
ABP ECP APB EPC PA PE ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩
，
∴△APB ≌△EPC （AAS ），
∴PB ＝PC ；
（3）∵△PDC 是等腰三角形，
∴△PCD 为等腰直角三角形，即∠DPC ＝45°，
又∵DP ⊥AP ，
∴∠APB ＝45°，
∴BP ＝AB ＝1cm ，
∴PC ＝BC ﹣BP ＝4cm ，
∴CD ＝CP ＝4cm ，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了三角形的全等的证明、全等三角形的性质以及等腰三角形的性质.做出辅助线证明三角形全等是本题的关键.。