2015届高三摸底考试

2015届
高三摸底考试
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题意要求的。

1设集合A={2
|320
x x x
-+=}，则满足A B={0，1，2}的集合B的个数是( )
A 1
B 3
C 4
D 6
2.i为虚数单位，复平面内表示复数z=(1+i)(2+i)的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3．“1
a=”是“函数ax
sin
ax
cos
y2
2-
=的最小正周期为π”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（）
A．11B．11.5C．12D．12.5
5.执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A．5B．7C．9D．11
6、由曲线23
,
y x y x
==围成的封闭图形的面积为（）
A．
7
12
B．
1
4
C．
1
3
D．
1
12
宝安中学，潮阳一中，桂城中学，
南海中学，普宁二中，中山一中，仲元中学
7． 已知O 是坐标原点，点()1,0A -，若()y x M ,为平面区域⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥+212y x y x
上的一个动点，则 OA OM +的取值范围是（ ）
A []51，
B []52，
C []21，
D []
50， 8．对于集合A ，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足下列4个条件： （ⅰ）,a b A ∀∈，都有a b A ⊕∈；
（ⅱ）e A ∃∈，使得对a A ∀∈，都有e a a e a ⊕=⊕=； （ⅲ）a A ∀∈，a A '∃∈，使得a a a a e ''⊕=⊕=； （ⅳ）,,a b c A ∀∈，都有()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕，
则称集合A 对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①{}A =整数，运算“⊕”为普通加法；②{}A =复数，运算“⊕”为普通减法； ③{}
A =正实数，运算“⊕”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有( ) A ①②
B ①③
C ②③
D ①②③
二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题) 9. 若a x f x
x
lg 2
2)(-+=是奇函数，则实数a =_________。

10.在△ABC 中，角A B C ，
，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<，32sin a b A =． 则角B 的大小为 ；
11．已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示.
若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为__________．
12.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有 种。

13．若实数a 、b 、c 成等差数列，点P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，点 N (0, 3)，则线段MN 长度的最小值是
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分） 14、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________
2
1
1
图
A B
C
D
E
1
A 1
B 1
C 1
D 15、如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D
两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 已知函数1
()2sin()3
f x x ϕ=+（,02
x R π
ϕ∈<<）的图象过点(
,3)2
M π
.
（1）求ϕ的值； （2）设,[0,]2
π
αβ∈，1056
(3),(3),1325
f f παπβ+=
+=-求sin()αβ-的值.
17. (本小题满分12分)2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。

甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y
75
80
77
70
81
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x,y 满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。

用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）。

18. （本小题满分14分）
如图6，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且1=AB ，2=BC ，0
60=∠ABC ，E 为BC 的中点，
⊥1AA 平面ABCD ．⑴证明：平面⊥AE A 1平面DE A 1；
⑵若E A DE 1=，试求异面直线AE 与D A 1 所成角的余弦值．
C D M N
O
B
A
P
19 .（本小题满分14分）
已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2
2n n n a a S +=.
（1）求1a
(2) 求数列{}n a 的通项； (3) 若)12
*∈=N n a b n
n （,n n b b b T +++=........21，求证：n T ＜35
20. （本小题满分14分）
已知圆C 与两圆2
2
(4)1x y ++=，2
2
(2)1x y +-=外切，圆C 的圆心轨迹方程为L ，设L 上的点与点(,)M x y 的距离的最小值为m ，点(0,1)F 与点(,)M x y 的距离为n . (Ⅰ)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；
（Ⅱ）求满足条件m n =的点M 的轨迹Q 的方程；
（Ⅲ）试探究轨迹Q 上是否存在点11(,)B x y ，使得过点B 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
1
2。

若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由。

21． （本小题满分14分）
1
)(0:23),(,)(20)(,21,()(121212<<<∞+-=∈-=x f k x x x x x f x f k e R k x ke x f x ）的条件下，试证明）在（（的取值范围。

求有两个极值点）若函数（）上的单调性。

，在区间（判断函数）若（是自然对数的底数）其中已知函数
参考答案
一、选择题：
1 C2.A3． B4. C 5. C 6、D7． A 8．B 二、填空题： 9.
110
，10
60 11．43 12.180 13． 24-
14、
15
2
+ 15、 425
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.解：（1）依题意得2sin()36
π
ϕ+=，3
sin()62πϕ+=
，…………2分 ∵02
π
ϕ<< ∴
26
6
3
π
π
π
ϕ<+
<
……………4分 ∴6
3
π
π
ϕ+
=
，∴6
π
ϕ=
………………………5分
（2）∵10(3)2sin()2cos ,213f π
απαα+=+
==
∴5
cos 13
α=，………7分
又∵56(3)2sin()2sin ,25f πββπβ+=+=-=- ∴3
sin 5
β=，………9分
∵,[0,
]2
π
αβ∈，…………………
∴2
2512sin 1cos 1(
)1313αα=-=-=，2234
cos 1sin 1()55
ββ=-=-=…10分 ∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-1245333
13513565
=⨯-⨯=
……………12分 17. （本小题满分12分）
解：（1）乙厂生产的产品总数为14
53598
÷=；………….2分 （2）样品中优等品的频率为
25，乙厂生产的优等品的数量为2
35145
⨯=；…………4分 （3）0,1,2ξ=， ……………………..5分
223
2
5()i i
C C P i C ξ-==
(0,1,2)i =，………….8分 ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
310 35 110
……………….11分
均值314
()125105
E ξ=⨯
+⨯=………………….12分 ⒙(本小题满分14分) ⑴依题意，CD AB BC EC BE ===
=2
1
……1分，所以ABE ∆是正三角形，060=∠AEB ……2分，又00030)120180(2
1
=-⨯=
∠CED ……3分， 所以0
90=∠AED ，AE DE ⊥……4分，因为⊥1AA 平面ABCD ，⊂DE 平面ABCD ，所以DE AA ⊥1……5分，因为A AE AA = 1，所以⊥DE 平面AE A 1……6分， 因为⊂DE 平面DE A 1，所以平面⊥AE A 1平面DE A 1……7分．
⑵取1BB 的中点F ，连接EF 、AF ……8分，连接C B 1，则D A C B EF 11////……9分，所以AEF ∠是异面直线AE 与D A 1所成的角……10分。

因为3=
DE ，2211AE A A E A +=，所以21=A A ……11分，
2
2
=
BF ，2
6121=+==EF AF ……12分， 所以6
6
2cos 222=⨯⨯-+=∠EF AE AF EF AE AEF ……14分（列式计算各1分）．
（方法二）以A 为原点，过A 且垂直于BC 的直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴、1AA 所在直线为z 建立右手系空间直角坐标系……1分，
设a AA =1（0>a ），则)0 , 0 , 0(A ，)0 , 2 , 0(D ，) , 0 , 0(1a A ，)0 , 2
1
, 23(E ……3分．
⑴设平面AE A 1的一个法向量为) , , (1p n m n =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅0
02
12311
1
ap AA n n m AE n …4分， 0=p ，取1=m ，则3-=n ，从而)0 , 3 , 1(1-=n ……5分，
同理可得平面DE A 1的一个法向量为)2
, 1 , 3(2a
n =……7分， 直接计算知021=⋅n n ，所以平面⊥AE A 1平面DE A 1……8分． ⑵由E A DE 1=即22222)2
1
()23(0)212()23(a ++=+-+……9分， 解得2=
a ……10分。

)0 , 2
1
, 23(=AE ……11分，
)2 , 2 , 0(1-=D A ……12分，
所以异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值6
6
|
|||||cos 11=
⋅⋅=
D A A
E D A AE θ……14分． 注：由于给分板按方法一设置，即第⑴问7分，第⑵问7分。

若学生按方法二答题，得分7≤时，得分记在第⑴问；得分7>的部分，记在第⑵问。

19解：（1）令1=n ，得1112
122a S a a ==+，1011=∴>a a ………2分
(2)又n n n S a a 22
=+………①
有112
12+++=+n n n S a a ………… ②……………………3分
②-①得n n n S S a -=++11…………………4分
0)1)((11=--+++n n n n a a a a
001>+∴>+n n n a a a
∴11n n a a +-= ……………………6分 ∴n n a n =-⨯+=)1(11 …………………………8分 (3)n=1时1b =1＜
3
5
符合………………………9分 2≥n 时，因为⎪
⎭⎫ ⎝⎛+--=-=
-
<
121121
2144
4111222n n n n n
,………………………………11分 所以3532112112151
3121112
=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k
n
k ………….13分 ∴n n b b b T +++=........21＜
3
5
…………………………14分 第二问方法不唯一，请酌情给分
20.（本小题满分14分） 解析：（Ⅰ）两圆半径都为1，两圆心分别为1(0,4)C -、2(0,2)C ，由题意得12CC CC =，可知圆心C 的轨迹是线段12C C 的垂直平分线，12C C 的中点为(0,1)-，直线12C C 的斜率等于零，故圆心C 的轨迹是线段12C C 的垂直平分线方程为1y =-，即圆C 的圆心轨迹L 的方程为1y =-。

(4分)
（Ⅱ）因为m n =，所以(,)M x y 到直线1y =-的距离与到点(0,1)F 的距离相等，故点M 的轨迹Q 是以1y =-为准线，点(0,1)F 为焦点，顶点在原点的抛物线，12
p
=，即2p =，所以，轨迹Q 的方程是2
4x y = (8分) （Ⅲ）由（Ⅱ）得214y x =， 12y x '=，所以过点B 的切线的斜率为11
2
k x =，切线方程为1111()2y y x x x -=
-，令0x =得2111
2
y x y =-+，令0y =得1112y x x x =-+，
因为点B 在2
4x y =上，所以21114
y x = 故2114y x =-
，112
x x = 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为23
11111111||||224216
S x y x x x =
=-= 设12S =
，即3111
162
x =得12x =，所以12x =± 当12x =时，11y =，当12x =-时，1y =，
所以点B 的坐标为(2,1)或(2,1)-. (14分)
221.1=2,22............1(0+220...................................3()(0+...................................4(2)()x x x e x e x x e x f x f x '----'∈∞--<∞'（）解：k=-2,f(x ）则f (x)=分当，）时，f (x)=分故函数的单调递减区间为，）分函数有两个极值点，即方程f (x)=2=0222-2=
,............50............601............71.......x x x x
e x x x x
e e e x x x φφφφφφφφφφφ-''<'<<'>k 有两个实根,即方程k 有两个实根，设（x)=则（x)=分当时，（x ）>0,函数（x ）单调递增且（x ）<0;分当时，（x ）>0,函数（x ）单调递增且（x ）>0;分当时，（x ）<0,函数（x ）单调递减且（x ）>0;11
111
1
1222
111111.....822=.2
0............922=0............102=
=x (2-x )(x 1+1.....x x x x x x x e e
k e
x e x k e
x e x e x e
φ'-=--=--1212
11分要使k 有两个实根，只需0<k<（1）=故实数的取值范围是（，）分
（3）由（2)可知，函数f(x)的两个极值点x ,x 满足0<x <1<x 由f (x )=k 得分所以f(x )=k ）2
11.......12(0,1),0(x 1+1 1............130(x )+1 1............14f ∈<--<<<1分由于x 所以）分所以分
第二问答案中更正：方程有两个不等实根，第二问也可二次求导，请酌情给分。