黑龙江省大庆市第四中学2020届高三上学期第一次检测数学(理)试题

黑龙江省大庆市第四中学2020届高三上学期第一次检测数学
（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{1,2}A =-， {}|02B x Z x =∈≤≤，则A B 等于
A ．{0}
B ．{}2
C ．{0,1,2}
D ．φ
2．在复平面内，复数21i
i
+对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知平面向量a ，b 满足()
3b a b ⋅+=，且1a =，2b =，则向量a 与b 的夹角（ ） A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 4．命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ） A ．对任意实数x, 都有x > 1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x, 都有x ≤1
D ．存在实数x ，使x ≤1
5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且111313a S ==，则9a =（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
6．若偶函数()y f x =在(],0-∞上的解析式为()2
f x x x =+，则切点横坐标为1的切线方程是（ ） A ．10x y --=
B ．10x y +-=
C ．310x y --=
D ．310x y -+=
7．已知α，β，γ是三个不同的平面，1l ，2l 是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（ ）
A ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ
B ．若1//l α，1l β⊥，则//αβ
C ．若//αβ，1//l α，2//l β，则12l l //
D ．若αβ⊥，1l α⊥，2l β⊥，则12l l ⊥
8．若13tan ,(,)tan 242ππ
ααα-
=∈，则sin(2)4
πα+的值为（ ） A
．5-
B
．
5
C
．10
-
D
．
10
9．函数()y f x =是R 上的奇函数，满足()()33f x f x +=-，当()0,3x ∈时，()2x
f x =，
则()5f -=（ ） A ．2
B ．2-
C ．
1
2
D ．12
-
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．12π
C ．2π
D ．7π
11．已知数列{}n a 满足:()
*111,2n n n a a a n N a +==
∈+.若21log 1n n b a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，则数列
{}n b 的通项公式是（ ）
A ．1
2
n
B ．1n -
C ．n
D ．2n
12．设
'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（e 为自然
对数的底数），则不等式2
(ln )f x x <的解集为（ ） A ．0,2e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B
．
C ．1,
2e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
D
．2e ⎛
⎝
二、填空题
13．已知0.302a =.，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则a 、b 、c 从小到大的顺序为_______<______<_______．
14．已知正方形ABCD 边长为3，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为______．
15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积()
21
2
弦矢矢=
⨯+.弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差.现有圆心角为
2
3
π，弦长等于9米的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为__________．（实际面积-弧田面积） 16．已知{}n a 满足
()
*211112311,,4?4?44n
n n n n n a a a n N S a a a a -+⎛⎫
=+=∈=+++
+ ⎪⎝⎭
，
类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得4
5
n
n n S a -=__________．
三、解答题
17．已知向量3sin ,
4a x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()cos ,1b x =-，()()
2f x a b b =+⋅． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的增区间
18．锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin a B =． （1）求角A 的大小；
（2）若5a =，8+=b c ，求ABC 的面积．
19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA PD =，PA ⊥平面PDC ，
E 为棱PD 的中点．
（1）求证：//PB 平面EAC ；
（2）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （3）求二面角E AC B --的余弦值． 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()221n n S a n N n +⎛⎫
=-+∈
⎪⎝⎭
． （1）求证：数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列；
（2）设数列{
}1
2
1n n a ++的前n 项和为n T ，求
123
1111n
T T T T ++++
． 21．函数()ln f x x ax a =+-．
（1）当1a =-时，判断函数()f x 零点个数；
（2）当1≥x 时，不等式()()1xf x a x ≤-恒成立，求a 的取值范围 22．
在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin (02)ρθθθπ=+≤<，点(1,)2
M
π
，
以极点O 为原点，以极轴为x
轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线
2:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）与曲线C 交于,A B 两点，且MA MB >. （1）若(,)P ρθ为曲线C 上任意一点，求ρ的最大值，并求此时点P 的极坐标； （2）求||
||
MA MB .
参考答案
1．B 【解析】
试题分析：因为{}{}|020,1,2B x Z x =∈≤≤=，{}1,2A =-，所以A B ⋂={}2，故选B.
考点：1、集合的表示；2、集合的交集. 2．A 【分析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】 在复平面内，复数
21i
i +=
()(
)()211+11i i i i i -=+- ∴复数所对应的点（1，1）位于第一象限． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．C 【分析】
设出夹角，根据b •（a +b ）=3，展开由已知和数量积公式可得夹角的余弦值，由角的范围确定角. 【详解】
设向量a 与b 的夹角为θ，θ∈[0，π]
由b •（a +b ）=2||+||||cos =3b a b θ⋅，代入数据可得22+2×1×cosθ=3， 解之可得cosθ=12
-， 故可得θ=2π3
. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查向量的数量积的运算，属于基础题.
4．C 【详解】
解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词． ∵命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是 “对任意实数x ，都有x ≤1” 故选C ． 5．B 【解析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,∵111313a S ==,∴a 1+10d =13a 1+1312
2
⨯d =13， 解得a 1=−17，d =3. 则a 9=−17+8×3=7. 故选B. 6．A 【分析】
利用函数是偶函数，得到 0x >时，函数()y f x =的表达式，然后利用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】
解：设 0x >，则0x -< ，则()()()2
2f x x x x x -=-+-=-， 因为()y f x =是偶函数，所以 0x >时，()()2
f x f x x x =-=-，
所以此时函数的导数()'
12f
x x =-，
0x >，当x =1时，()()'
1211110f f =⨯-==，， 所以切点坐标为(1,0)，所以切线方程为1y x =-，即10x y --=. 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，利用函数的奇偶性求出函数的解析式是解决本题的关键，要求熟练掌握导数的基本应用，属于基础题. 7．D 【解析】
试题分析：对于A ，B 选项，,αβ可能相交；对于C 选项，12,l l 可能异面，故选D. 考点：空间点线面的位置关系. 8．D 【分析】
由题意，化简整理得
cos23
sin24
αα=-，又由三角函数的基本关系式，求得cos2,sin2αα的值，
再利用两角和的正弦函数的公式，即可化简求解，得到答案． 【详解】
由题意，可知13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫
-
=∈ ⎪⎝⎭
，即sin cos 3cos sin 2αααα-=， 整理得cos23sin24αα=-，∵42ππα<<，∴22
π
απ<<，
又由22cos 2sin 21αα+=，解得3cos25α=-，4
sin25
α=，
∴sin 2sin2cos24πααα⎛
⎫
+== ⎪
⎝
⎭，故选D. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及两角和的正弦函数的公式，合理、准确运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 9．B 【分析】
由()()33f x f x +=-可求出(5)f ，再由()y f x =是R 上的奇函数即可求出(5)f -. 【详解】
()()33f x f x +=-，
(5)323212f f f f ，
()y f x =是R 上的奇函数，
(5)
(5)2f f .
故选：B. 【点睛】
本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题. 10．A 【分析】
由三视图可知几何体是个三棱锥，可看作棱长1a =的正方体的一部分，则此几何体的外接球就是正方体的外接球．
由正方体的外接球半径与正方体的棱长间的关系可得外接球半径r ==
．其表面积为24πR 3πS ==．故本题选A ．
点睛：本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图. 11．C 【分析】
根据题干得到1121,n n a a +=+变形为11112(1)n n a a ++=+，故11n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
是等比数列,公比为2，
根据等比数列的公式得到112n n
a +=，进而得到121
log (1)n n b n a +=+=.
【详解】 由12n n n a a a +=
+得1121,n n a a +=+所以11112(1)n n a a ++=+,故11n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
是等比数列,公比为2
,
11
1112(1)2n n n a a -+=+=,1221
log (1)log 2n n n b n a +=+==.
故选C. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质. 12．B 【分析】 构造函数F （x ）=
()2x
f x e ，求出导数，判断F （x ）在R 上递增．原不等式等价为F （lnx ）＜F （
1
2
），运用单调性，可得lnx ＜1
2
，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集． 【详解】
可构造函数F （x ）=
()2x
f x e
，
F′（x ）=
()()2222
2()
x x
x f x e f x e e -=
()()
2'2x
f x f x e
-，
由f′（x ）＞2f （x ），可得F′（x ）＞0，即有F （x ）在R 上递增． 不等式f （lnx ）＜x 2即为
()2
f lnx x
＜1，（x ＞0），即
()2lnx
f lnx e
＜1，x ＞0．
即有F （12）=12f e
⎛⎫
⎪⎝⎭=1，即为F （lnx ）＜F （1
2
），
由F （x ）在R 上递增，可得lnx ＜1
2
，解得0＜x
． 故不等式的解集为（0
）， 故选B ． 【点睛】
利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()
x f x g x e
=
，
()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()
f x
g x x
=， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等
13．c b a 【分析】
根据对数函数和指数函数单调性可得到答案. 【详解】
由指数函数0.2x y =的性质和单调性有：0.3002021..a =<=,则01a << 由对数函数0.2log y x =的单调性有：0.20.20.20log 1log 3log 4=>>， 所以c b a << 故答案为：c ， b ， a 【点睛】
本题考查了根据指数函数和对数函数单调性比较大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用，属于基础题. 14．9 【分析】
根据平面向量数量积的几何意义可知DE 在DC 方向上的投影的最大值为3，进一步得到答案. 【详解】
根据平面向量数量积的几何意义得：当点E 在点B 时，DE DC ⋅值的最大， 此时DE 在DC 方向上的投影为3，又=3DC
所以DE DC ⋅的最大值为9. 故答案为：9. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的几何意义，涉及到向量的投影，属于常见的基础题型．
15．27
98
π 【解析】
扇形半径r =扇形面积等于(()
2
212923
m π
π⋅⋅=，弧田面积
)
22
129sin 923r m πππ=-=圆心到弦的距离等于12r ，所以矢长为12r ．按照上
述弧田面积经验公式计算，得
()
21127271922442⎫
⨯+==⎪⎭
弦矢矢（）．∴
27127
99428
ππ⎫-=⎪⎭，按照弧田面积经验公式，计算结果比实际
少27928π-- 平方米．故答案为27
928
π--
． 16．
5
n 【解析】
由21
123444n n n S a a a a -=+⋅+⋅+⋯+⋅ ①；得
2311231444444n n n n n S a a a a a --⋅=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅+⋅ ②；①+②得：
()()()2111223154444n n n n n n S a a a a a a a a --=+++⋅++⋯+⋅++⋅
21
2111114444444n n n n
a a --⎛⎫⎛⎫
=+⨯+⋅+⋯+⋅+⋅ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
111144n
n
n n a n a =+++⋯++⋅=+⋅．所以45455
n n
n n n n n
S a n S a -⋅=∴-⋅=．
点睛：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n 项和公式的方法的理解和掌握．等比数列前n 项和公式的推导主要利用错位相减法，其关键点是在前n 项和的等式两边同时乘以公比，然后利用错位相减求出结果.（错位相减法：针对数列{}n n a b ⋅（其中数列{}{},n n a b 分别是等差数列和等比数列（公比1q ≠）），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤是:1.112233...n n n S a b a b a b a b =++++…①；2.等式112233...n n n S a b a b a b a b =++++两边同时乘以等比数列{}n b 的公比，得到
112233...n n n qS a b q a b q a b q a b q =++++…②；3.最后①-②，化简即可求出结果.）
17．（1）T π=；（2）3,88k k ππππ⎡⎤
-++⎢
⎥⎣⎦
，k Z ∈ 【分析】
（1）由()()
2
222f x a b b a b b =+⋅=⋅+，将a b ，的坐标代入可得出
()3
242f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，从而得到答案.
（2）由函数sin y x =的单调区间，可直接求出答案. 【详解】 由向量3sin ,
4a x ⎛
⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b x =-，则313
sin cos sin 2424
a b x x x ⋅=-=- 2
21cos 2cos 112
x
b x +=+=
+
所以()()
2
33222sin 2cos 232242f x a b b a b b x x x π⎛
⎫=+⋅=⋅+=-++=++ ⎪⎝
⎭ 所以()f x 的最小正周期22
T π
π=
=
（2）由（1）()3242f x x π⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭
222,242
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈
则3,88
k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈ 所以()f x 的增区间为3,88k k π
π
ππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈ 【点睛】
本题考查向量的运算，三角函数的化简运算和三角函数的周期和单调性，属于中档题.
18．（1）3
A π
=；（2）
4
. 【分析】
（1）先根据边角互化得sin 2
A =
，再根据锐角三角形得3A π=；
（2）先根据余弦定理得：2225bc b c =+-，再根据8+=b c 两边平方得22642bc b c -=+，
进而得13=bc ，故1sin 24
ABC
S bc A ==
. 【详解】
解：（1）根据正弦定理边角互化得：2sin sin A B B =， 因为0,
2B π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，sin 0B ≠，
所以sin A =，由于锐角三角形中，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
所以3
A π
=
.
（2）结合（1）由余弦定理222
cos 2b c a A bc
+-=得：2225bc b c =+-，
由于8+=b c ，故两边平方得：22642bc b c -=+， 所以有：2225642bc b c bc +=+=-，解得：13=bc .
所以11sin 1322ABC
S
bc A =
=⨯=
. 【点睛】
本题考查正弦定理边角互化，余弦定理，三角形面积公式，考查运算能力，是中档题.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）11
-． 【分析】
（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ，证明//PB EO 即可； （2）根据条件证明CD ⊥平面PAD 即可；
（3）在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥，由Dz ，DA ，DC 建立空间坐标系，利用向量法求解二面角. 【详解】
（1）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ， 因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点， 因为E 为棱PD 中点， 所以//PB EO ，
因为PB ⊄平面EAC ，EO ⊂平面EAC ， 所以直线//PB 平面EAC ；
（2）证明：因为PA ⊥平面PDC ，所以PA CD ⊥， 因为四边形ABCD 为正方形，所以AD CD ⊥， 所以CD ⊥平面PAD ，CD ⊂平面ABCD 所以平面PAD ⊥平面ABCD ；
（3）在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥，
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ，
由Dz ，DA ，DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，
设4AB =，则()0,0,0D ，()4,0,0A ，()4,4,0B ，()0,4,0C ，()2,0,2P ，()1,0,1E ， 所以()3,0,1EA =-，()4,4,0AC =-，
设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =，则有0
n EA n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，
所以30
440x z x y -=⎧⎨-+=⎩
，取1x =，得()1,1,3n =，又()0,0,1v =是面 ACB 的法向量
所以311
cos ,n v n v n v
⋅=
=
由图可知二面角E AC B --的平面角是钝角， 所以二面角E AC B --的余弦值为 【点睛】
本题考查线面平行、面面垂直的证明以及用向量法求二面角，属于综合题. 20．（1）证明见解析；（2）13112212n n ⎛⎫
-- ⎪++
⎝⎭
． 【分析】
(1)先根据n S 求出递推关系式，然后利用等比数列的定义进行证明； （2）先求出n T ，然后利用裂项相消法求和. 【详解】
由()221n n S a n N n +⎛⎫
=-+∈
⎪⎝⎭
可得，当1n =时，112a =
当2n ≥时，有112211n n S a n --⎛⎫
=-+
⎪-⎝⎭
，将以上两式相减. 122111n n n a a n n a --⎛⎫⎛⎫
=++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
,整理得()1
12121
n n a a n n n n -=⨯≥--
即
1121
n
n a n a n -=-， 所以数列n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等比数列． （2）由（1）可得1
111222
n n n a n -⎛⎫
=⨯=
⎪
⎝⎭
所以1
2
121n n a n ++=+，
()2n T n n =+，
111122n T n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 123
11111311=2212n T T T T n n ⎛⎫++++
-- ⎪++⎝⎭
． 【点睛】
本题主要考查等比数列的证明及数列求和，等比数列证明一般是利用定义法，数列求和一般是根据通项公式的特点选择合适的方法求解，属于中档题. 21．（1）有一个零点；（2）12
a ≤-． 【分析】
（1）当1a =-时，()ln 1f x x x =-+，求导得()'
1x
f x x
-=
，分析导函数取得正负的区间，得原函数的单调性，从而得出函数的最值和图象趋势，可得答案； （2）原不等式等价于1≥x ，ln 0a x ax x +-
≤，令()()ln 1a
h x x ax x x
=+-≥，等价于()()01h x x ≤≥，求导得()()2'
2
1ax x a
h x x x ++=≥．分0a ≥和0a <两种情况讨论所构
造的函数的单调性，得出最值，从而求得a 的取值范围．
【详解】
（1）当1a =-时，()ln 1f x x x =-+，()'
1x
f x x
-=
， 所以01x <<时，()'
0f
x >，()f x 在()01，上单调递增，
1x >时，()'
0f x <，()f x 在()1
+∞，单调递减， 所以()()max 10f x f ==，所以函数()f x 有一个零点． （2）当1≥x 时，()()1xf x a x ≤-等价于1≥x ，ln 0a
x ax x
+-
≤， 令()()ln 1a h x x ax x x =+-≥，等价于()()01h x x ≤≥，则()()2'
2
1ax x a h x x x
++=≥． 1︒，0a ≥，()'
0h x ≥，()h x 在()1,+∞单调递增，因为1≥x ，所以()()10h x h ≥=，不
合题意；
2︒，0a <，令()'
0h x =，
即20ax x a ++=，其中214a ∆=-， 当0∆≤，1
2a ≤-，()h x 在()1,+∞单调递减，因为1≥x ，()()10h x h ≤=，符合题意． 当>0∆，12
a >-，设 ()'0h x =的两根是1x ，2x ，且1x <2x ，又()'
12+1>0h a =，
所以1
21x x ，
所以21x x <<时，()h x 单调递增，()()10h x h >=，不合题意． 综上得，1
2
a ≤-． 【点睛】
本题考查利用导函数研究函数的零点个数，根据不等式的恒成立求参数的范围，关键在于构造合适的函数，求导，研究其导函数取得正负的区间，得出原函数的最值，属于较难题．
22．（1）ρ取得最大值P 的极坐标为)4
π
.；（2）2．
【解析】
试题分析：
(1)利用题意结合辅助角公式可得当4
π
θ=
时，ρ取得最大值P 的极
坐标为4π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭.
(2)联立直线的参数方程和圆的直角坐标方程，结合韦达定理可得MA MB
的值是
2．
试题解析：
（1
）22
4
cos sin
π
ρθθθ⎛⎫
=+=+
⎪
⎝⎭
，02
θπ
≤<，
∴当
4
π
θ=时，ρ
取得最大值P
的极坐标为
4
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
.
（2）由22
cos sin
ρθθ
=+，得222
cos sin
ρρθρθ
=+，即22220
x y x y
+--=，故曲线C的直角坐标方程为()()
22
112
x y
-+-=.
将
2
1
2
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
代入()()
22
112
x y
-+-=
并整理得：210
t-=
，解得
t=，
∵MA MB
>，∴由t
的几何意义得，
2
MA=
，
2
MB=，
故2
MA
MB
==。