矩阵合同变换

矩阵的合同变换
摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。

在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。

关键词：矩阵 秩 合同 对角化
定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ≅
定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B
定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B =
那么就说，在数域F 上B 与A 合同。

以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。

定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似
因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12
m P Q Q Q =。

此时71
1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积
若111
T T T
T m
n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。

所以
A B ≅，从而知合同变换是等价变换。

定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩
证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩 定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1A
B B P AP -=
1||det ||del I B I P AP λλ--=-
又因为I λ为对称矩阵
所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=-
1||||||P I A P λ-=-
||I A λ=-
注①合同不一定有相同特征多项式
定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同 论：设A ，B 为特征根均为12
,n λλλ，因为A 与B 实对称矩阵，所以则在n 阶正 矩
阵，,Q P 使得
112[]Q AQ λλ-=
11
[]n P BP λλ-=
从而有11Q AQ P BP --=
11PQ AQP B -=
由11Q Q E PP E --==
从而有1111PQ QP PEP PP E ----=== 从而111()PQ QP ---=
又由于1111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -= T QQ =
1QQ -=
E =
1QP -∴为正交矩阵
所以A B 且A B ≅
定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质
证明：A B ≅即T P AP B =，若对称阵，则T A A =
()T T T B P AP =
T T P A P =
T P AP = B =
所以B 边为对称阵
[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？
引理6：对称矩阵相似于对角阵⇔A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.
证明：任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ，以其重数以秩||I A r λ-=，则
||r n s n r s I A λ=-⇔-=⇔-1200
0n x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦，线性无关的解向量个数为n r -个，即5个
又因属不同特征根的特征向量线性无关
⇔n 阶对称阵A 有n 个线性无关的特征向量 ⇔n 阶对称阵可对角化
从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点， 如对二次型应用
例 求一非线性替换，把二次型
123122313(,,)262f x x x x x x x x x =-+
二次型`23(,,)f x x x 矩阵为
011103130A ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
对A 相同列与行初等变换，对矩阵E ，施行列初等变换
212103230A -⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦→2
00020006⎡⎤
⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
1001111
101110
01101E ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
112233113111001x y x y x y ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 可把二次型化为标准型
222
123123(,,)226f x x x y y y =-+
解法（2）
212103
230A -⎡⎤
⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
2101020
22⎡⎤
⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
2001022022⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
2001002006⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
此时222
123123
1(,,)262
f x x x z z z =-+ 此时非线性退化替换为
11223311321112
001x z x z x z ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的 特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性
[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？ 例3．用可逆性变换化二次型
222123123123123(,,)(2)(2)(2)f x x x x x x x x x x x x =-+++-+++-
解：222
112132233:666666f x x x x x x x x x --+-+
对二次型矩阵为
6
3336333
6A --⎡⎤⎢⎥--⎢
⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣
⎦
1
006006
00010999
6
3
30
000
002223639
9000336012211
00111
12
101010
2210100
101
02
10
010
01A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥---
⎢⎥⎢⎥=→
→→⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢⎢⎥⎣
⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎢
⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
E B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥
标准形22
12f y y =+
，则11223310
10
1
x y x y x y ⎤⎥⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
PTA B =
[注]当P 改变两行的位置交换后，发现
00016 3 31000363101033600000111
1⎡
⎤⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤
⎡⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥--=⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎣⎦⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎣
⎦
定理2：在A 为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有T P AP B =，则调整P 的任意两行，对角阵形式不变。

证明：设初等变换的对调变换矩阵为J ，显然T T T J J E J AJ JAJ A ===于是有
()()()()()()t T T T T T T T B P AP P EAEP P J J A J J P JP JA JP JP A JP =====
而P 与JP 相比仅是行的排列顺序不同， 因此任意调整P 的行，所得对角阵相同。

[注]以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢？
例4．求实对称矩阵2
202
1202
0A -⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求可逆阵P 使得T P AP 为对角阵 32212132222
2
02
002
02120120100200
200
041001
101
120100100120
10
10
1c c c c r r r r A E -++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎡⎤=−−−
→−−−
→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
11
1
24
001
1201
0001002T P P AP B
B -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
12112110
0P -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
我们得到11T
P AP B =
定理7：设,T P AP B A = 对称矩阵，B 为对角矩阵，若要调换B 对角线上任意两个元素
的位置得到1B ，则只要调控B 中对左的两列，可得到P ，使得11T
P AP B =，即P 的列与B
中元素的对应性。

证明：初等调换矩阵为J ，显然T J J =
11
11()()T T T T B J BJ J P APJ PJ A PJ P AP ====
P ∴与1P 相比，只是列的排列顺序发生了改变 P ∴的列与B 的对角线上元素具有对应性
自己写例
定理8：如果对角线上的元素分别扩大222
12,,n C C C -得2B ，则不要将P 中对应的对应角
线元素扩大11C ，即可得到2P 使得222T P AP B =
证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为2J （2J 对角线上第J 个元素1C ）形1221C J C ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则有22222()T T B J BJ J J ==
2222211()T T T T
B J P PJ PJ J APJ P AP ===
2B ∴中第J 个元素为B 的21C 倍而22P PJ =，且其2P 中对角线J 个元素是P 中对角线元
素CJ 倍。

例：已知对称矩阵121
1211
311311310A -⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥⎢
⎥--⎣⎦
求可逆矩阵P ，使T P AP 且对角形式 解101110
010
3110311113101221
1
1
011
2
0A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢
⎥⎢
⎥→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢
⎥----⎣⎦⎣⎦
1
00
010********
01030
003117770001220003330
1
2
17000
30113⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎡⎤--⎢
⎥⎢
⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥→→→
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎣⎦---⎢⎥
⎣⎦⎢⎥⎣⎦
对单位阵E 进行相应列初等变换得
1122310
10300
110
01E P ⎡⎤--
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-→=⎢⎥
⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则有1313733T P AP ⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦ 141111B E ⎡⎤
⎢⎥
-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则此时有11122
3100300100
P ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
-⎢⎥
⎢⎢⎢⎣
得111T P AP B = 综上所述合同变换不仅与相似变换有着某千丝万缕的联系，而且其本身也有着变换矩阵多样多样，和结果的不确性，在对其特 性与性质的联系中带来许多解题更多思路与方法。

主要参考文献
[1]北大数学系，高等代数第二版
[2]上海交大线性代数编写。

线性代数（第三版）[M] [3]张禾瑞 高等代数[M]
[4]付立志《对称矩阵对角化相似变换模型》 [5]王晓玲《矩阵三种关系问联系》
[6] Brickell EF A Few Results in message Autheutication congress Numerantium 1984 43 141－154
矩阵的合同变换及性质
定义：设A ，B 是数域F 上两个阶矩阵，如果存在一个阶可逆矩阵P 使得T B P AP =成立，那么 B 与A 合同
特性：合同变换具有模型化，程序化的简便性。

引理1：在矩阵中，任意对角矩阵与合同J 对角阵
证明：①数学归纳法 当1n =时，定理显然成立
设1n >时，定理对1n -阶对称阵成立，A 上阶对称囝 若0A =则A 本身已为对角阵 不妨设0A ≠
（1）讨论A 的对角线上元素不全为0的情况，这都可通过三行或列初等变换，使得
1112112
1000
0s s a
E E E AE E E A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
这里1A 是1n -阶对称阵，由归纳假设，存在则有1n -阶可逆阵1a ，使
2
11100
T c
Q A Q cn ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
现取12
1
1000,0
s Q P E E
E Q Q ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则1111
2112
21110
00000T T T
T T S S T n a a P AP Q E E E AE E E Q c Q A Q c ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
（2）若0,1,2,,ii a i n ==，由0A =，可通过对应的行列初等变换，使问题归结到i 的
情怀
合同矩阵变换的应用，主要应用于二次型上，而二次型主要对积矩阵，而二次型
12(,,)T n f x x x x AX =化简，一般都归结为对称实矩阵A 的合同变换在
特性1：合同变换具有模型化，程序化的简便性
定理1：若在对称矩阵A 的下六并上一个单位矩阵，作列变换，则对的行与列分别六色以一系列的对称，初等变换使其式为对角阵时， 单位阵成为A 的合同变换矩阵。

特性2：合同变换具有变换和结果的多样性，采取不同的合同变换，不仅可以得到不同的对角矩阵而且还可以得到相同的对角陈
例：已知实对称矩阵0
1001
00000210
1
2A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
求可逆矩阵P ，使()()T AP AP 为对角矩阵 解由于t A A =且2()()T T AP AP P A P =，可见为使()()T AP AP 为对角矩阵，实质上是使
0000010000540
45A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
合同于对角矩阵 4334
25
4455100
0100001000100005000549000
004551
000100001000100001
0400150
00
100
01A r r L c A E --⎡⎤
⎢⎥⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎛⎫⎢⎥⎢⎥=−−−−→ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
故可逆矩阵21
00
01
000010001
004005000159000
00015T P P A P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥==⎢
⎥
⎢⎥-⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
（2
）100001
000
000
P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣
当 2
()()T T AP AP P A P ==10000
10000100
9⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
定理3：设,T P AP B A =为对称矩阵，B 为对角矩阵，若要调换B 的对角线上任意两个
元素的位置得到1B ，则只要调换P 中对应两列，可得到1P ，使得7
111P
AP B =，即P 的列与的列与B 具有对应性。

说明：没妆等变换的对调多换矩阵为J ，显然1T J J =，
1111111111()T
B J BJ J P APJ PJ APJ P AP ''====
P ∴与11P PJ =相比， 列的排列顺序不同，因此，P 的列与B 的对角线上元素具
有对应性。

特性3：合同变换具有变换矩阵列但是与对角线元素的对应性。

定理4：若要将B 的对角线上第j 个元素扩大2C 得到2B ，则只要得P 中对应第j 列扩大c 倍，即得到2P ，使得222T P AP B =
证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为2J （2J 的对角线上第j 个元素为c ，其余为1）显
然1
2
2J J = 111222222222()B J BJ J P APJ PJ APJ P AP ''====
2B ∴中的第j 个元素B 的
我们发现j 合同变换在对角化中有简易行，凸现其方法（变换矩阵）和结果（对角阵）的
二、合同变换的本质
在n 阶实对称阵A 和B 的正负惯性指标都一样，则(,)a S A B 有表示为A 到B 的合同变换矩车构成的集合。

引理1：假设实对称矩阵A 和B 的正负惯性指标都一样，则1()c S A B 为群
证明：对于任意的12(,),(,)c c P S A B P S A B ∈∈，则存在1020(,),(,)C S A B C S A B ∈∈，使
得111122,P c c P c c --==因此1112122(),PP c c P c c --==，因此1111
121212()()()PP c c c c c c c c ----=⋅=⋅，而11111111111111121221112222222()()()()c c c A c c c c c c Ac c c c c Bc c c Ac c Ac B ------=====，则
1120(,)c c c S A B -∈所以12(,)c P P S A B ⋅∈亦即有(,)c S A B ，
关于矩阵乘法封闭，易知(,)c s A B 关于矩阵乘法满足结合律，有单位矩阵，下设每个元素都有逆远，假设(,)c P S A B ∈存在
10(,)C S A B ∈，使得11P c c -=，所以11111()p c c c cc c ----==，因
11111111111111111()()()()cc A cc c c c c Acc c c c Bc c c Ac B ------====，则110(,)cc c S A B -∈所以11(,)c c c S A B -∈即1(,)c P S A B -∈，综上所述(,)c S A B 成群
注：10(,){|,,S A B c c AC B A B ==为已知的实对称矩阵}，c 为可逆复矩阵，
11010(,){|(,),(,)}c S A B c c c S A B c S A B =∈为中任一给定矩阵
引理2：假设实对称阵A 和B 正负惯性指标都一样，则(,)c S A B 有表示为
1(,){|,}c S A B m m BM B m ==为可逆阵
证明：110(,)(,)(),,.c m S A B cm S A B cm Acm B mJ M BM B M ∈⇔∈⇔=⇔=连可逆。