2020版高考数学大一轮复习第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第1节函数及其表示课件

解析 (1)令 x＋1＝t，则 x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， 所以 f(x)＝x2－1(x≥1). (2)当－1≤x≤0 时，0≤x＋1≤1， 由已知 f(x)＝12f(x＋1)＝－12x(x＋1).
(3)当x∈(－1，1)时， 有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1).① 将x换成－x，则－x换成x， 得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1).② 由①②消去f(－x)得，
(2) 若 函 数
y ＝ f(x) 的 定 义 域 是 [1 ， 2
020] ， 则 函 数
g(x)
＝
f（x＋1） x－1
的
定
义
域
是
____________.
解析 (1)由 3－2x－x2≥0，得－3≤x≤1，所以函数 y＝ 3－2x－x2的定义域为[－3，1]. 当 x＝－1 时，y＝ 3－2x－x2取得最大值 2，当 x＝1 或－3 时，y＝ 3－2x－x2取得最小值 0，所以函数 y＝ 3－2x－x2的值域为[0，2].
(2)∵y＝f(x)的定义域为[1，2 020]，
∴g(x)有意义，应满足1x－≤1x＋ ≠10≤ . 2 020，
∴0≤x≤2 019，且x≠1. 因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 019，且x≠1}. 答案 (1)[－3，1] [0，2] (2){x|0≤x≤2 019，且x≠1}
【训练 2】 (1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，则 f(x)＝________. (2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋1)＝2f(x).若当 0≤x≤1 时，f(x)＝x(1－x)，则当 －1≤x≤0 时，f(x)＝________. (3)定义在(－1，1)内的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则 f(x)＝__________.
解得 3－h＝12－3h⇒h＝92，此时 a＝－13， f(5)＝－13(5－1)(5－2)5－92＋1＝－1.
(2)令 t＝2x＋1(t>1)，则 x＝t－2 1，
∴f(t)＝lgt－2 1，即 f(x)＝lgx－2 1(x>1). (3)在 f(x)＝2f1x· x－1 中， 将 x 换成1x，则1x换成 x， 得 f1x＝2f(x)· 1x－1，
得不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞).若函数的定义域为R，即不等式2x2－2ax＋
a≥1恒成立，等价于x2－2ax＋a≥0恒成立，只需Δ＝4a2－4a≤0，解得a∈[0，1].
答案 (1)D (2)(－∞，0]∪[2，＋∞) [0，1]
考点二 求函数的解析式
【例 2】 (1)已知 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，f(1)＝f(2)＝1，f(3)＝f(4)＝2，则 a＝________，
3.设函数 y＝ 4－x2的定义域为 A，函数 y＝ln(1－x)的定义域为 B，则 A∩B＝( )
A.(1，2)
B.(1，2]
C.(－2，1)
D.[－2，1)
解析 由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2]，由1－x＞0得x＜1， ∴B＝(－∞，1).∴A∩B＝[－2，1)，故选D.
答案 D
函数 设A，B是两个___非__空__数__集___
映射 设A，B是两个_非__空__集__合____
如果按照某种确定的对应关系f，使 如果按某一个确定的对应关系f，
对应关系f： 对于集合A中的_任__意___一个数x，在 使对于集合A中的_任__意__一个元
A→B 集合B中都有__唯__一__确__定__的数f(x)和 素x，在集合B中都有_唯__一__确__定__
解得 a＝14，∴f1a＝f(4)＝2(4－1)＝6.
由f（x）＝2f1x· x－1， f1x＝2f（x）· 1x－1，
解得 f(x)＝23 x＋13.
答案
(1)－13
－1
2 (2)lgx－1(x>1)
2 (3)3
x＋13
规律方法 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法. (2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (3)构造法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式， 通过解方程组求出 f(x). (4)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式.
规律方法 求函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.
(3) 若 已 知 f(x) 的 定 义 域 为 [a ， b] ， 则 f(g(x)) 的 定 义 域 可 由 a≤g(x)≤b 求 出 ； 若 已 知 f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域.
(2)如果两个函数的_定___义__域___相同，并且对__应___关__系_____完全一致，则这两个函数为相 等函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有__解__析__法__、图象法和_列___表__法___.
4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因__对__应__关__系___不同而分别用几个不同的式子来 表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_并__集____，其值域等于各段函数的值域 的__并__集___，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
4.已知 a 为实数，设函数 f(x)＝xlo－g22（a，x－x≤2）2，，x＞2，则 f(2a＋2)的值为(
)
A.2a
B.a
C.2
D.a 或 2
解析 因为2a＋2＞2，所以f(2a＋＝log2(2a＋2－2)＝a，故选B.
答案 B
5.设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)＝__________. 解析 由题意得g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1， ∴g(x)＝2x－1. 答案 2x－1
f(5)＝________. (2)已知 f2x＋1＝lg x，则 f(x)＝________； (3)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f(x)＝2f1x· x－1，则 f(x)＝________.
解析 (1)设f(x)＝a(x－1)(x－2)(x－h)＋1， 则f(3)＝2a(3－h)＋1＝2，f(4)＝6a(4－h)＋1＝2，
第1节 函数及其表示
考试要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映 射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列 表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不 超过三段).
1.函数与映射的概念
知识梳理
两个集合A，B
它对应
的元素y与之对应
称__f_：__A_→__B___为从集合A到集合B的一个 称__f_：__A_→__B__为从集合A到集
名称
函数
合B的一个映射
记法
函数y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_定__义___域_____； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值集的合__{_f(_x_)_|_x_∈__A_}___叫做函数值的域________.
f(x)的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是________.
解析 (1)由题意，得 1<x2<2，解得－ 2<x<－1 或 1<x< 2，即函数 f(x2)的定义域是(－ 2， －1)∪(1， 2)，故选 D.
(2)当a＝1时，f(x)≥1⇔2x2－2x＋1≥2，由指数函数的单调性可得x2－2x＋1≥1，解
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.( 必 修 1P25B2 改 编 ) 若 函 数 y ＝ f(x) 的 定 义 域 为 M ＝ {x| － 2≤x≤2} ， 值 域 为 N ＝ {y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析 A中函数定义域不是[－2，2]，C中图形不表示函数图象，D中函数值域不是 [0，2]. 答案 B
【训练 1】 (1)(2019·杭州高级中学测试)已知函数 f(x)＝ x的定义域为(1，2)，则函数 f(x2)
的定义域是( )
A.(1，2)
B.(1，4)
C.R
D.(－ 2，－1)∪(1， 2)
(2)已知函数 f(x)＝ 2x2－2ax＋a－1，当 a＝1 时不等式 f(x)≥1 的解集是________；若函数
[常用结论与易错提醒] 1.由函数解析式确定定义域的原则
(1)分式中，分母不为 0； (2)偶次根式中，被开方数非负； (3)对于幂函数 y＝xα，如果 α≤0，要求 x≠0； (4)对数函数中，真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1； (5)指数函数的底数大于 0 且不等于 1； (6)正切函数 y＝tan x 要求 x≠kπ＋12π，k∈Z. 2.与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有 1 个交点.
基础自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数 y＝1 与 y＝x0 是同一个函数.( ) (2)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( ) (3)函数 y＝ x2＋1－1 的值域是{y|y≥1}.( ) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )
解析 (1)函数 y＝1 的定义域为 R，而 y＝x0 的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是 同一函数. (3)由于 x2＋1≥1，故 y＝ x2＋1－1≥0，故函数 y＝ x2＋1－1 的值域是{y|y≥0}. (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.
6. 设 函 数
f(x)
＝
ex，x≤0，

ln
x，x＞0，
则
f

f

1 2


＝
__________
，方程
f(f(x)) ＝1
的解集为
__________.
解析
因为 f12＝ln
12，所以
f

f

1 2
＝f


ln

12＝eln
12＝12.令 f(x)＝t，由 f(t)＝1，解得 t
)
A.2
B.4
C.6
D.8
(2) 设
f(x)
＝
2ex－1，x＜2， log3（x2－1），x≥2，
则
f(f(1)) ＝ ________ ； 不 等 式
f(x) ＞ 2
的解集为
________.
解析 (1)由已知得0＜a＜1，∴a＋1>1.
∵f(a)＝f(a＋1)，∴ a＝2(a＋1－1)，
＝0 或 t＝e，所以再解 f(x)＝0 及 f(x)＝e，解得 x＝1 或 x＝ee，所以方程 f(f(x))＝1 的
解集为{1，ee}.
答案
1 2
{1，ee}
考点一 求函数的定义域
【例 1】 (1)(2019·金丽衢十二校联考)函数 y＝ 3－2x－x2的定义域是________，值域是
________.
f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1，1).
答案 (1)x2－1(x≥1) (2)－12x(x＋1) (3)23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，(－1<x<1)
考点三 分段函数
多维探究
角度 1 求分段函数的函数值
【例 3－1】 设函数 f(x)＝12＋x－1l，ogx2≥（12，－x），x<1， 则 f(－2)＋f(log212)＝(
)
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 根据分段函数的意义，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3.又log212>1， ∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6， 因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
答案 C
角度 2 求参数的值或取值范围
【例 3－2】 (1)设 f(x)＝2（x，x－0<1x）<1，，x≥1，若 f(a)＝f(a＋1)，则 f1a＝(