厦门市翔安一中2015-2016学年高一下学期3月月考数学试卷 含解析

2015—2016学年福建省厦门市翔安一中高一（下）3月月考数学
试卷
一、选择题：（每题6分,共10小题,在每小题给出的4个选项中只有一个是正确的）
1．已知函数f(x）唯一的零点在区间（1，3）内，那么下面命题错误的是（）
A．函数f(x）在（1，2)或[2，3）内有零点
B．函数f（x）在(3,5)内无零点
C．函数f（x）在(2，5）内有零点
D．函数f（x)在（2，4）内不一定有零点
2．如图所示的水平放置的平面图形的直观图，所表示的图形ABCD是（）
A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形D．平行四边形
3．设集合A=R,集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是（）A．f：x→y=|x｜B．f:x→y=
C．f:x→y=3﹣x D．f：x→y=log2(1+｜x｜）
4．以下四个结论:
①若a⊂α，b⊂β，则a，b为异面直线；
②若a⊂α，b⊄α，则a，b为异面直线;
③没有公共点的两条直线是平行直线；
④两条不平行的直线就一定相交．
其中正确答案的个数是(）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．设函数若f(x0）＞1，则x0的取值范围是（)
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪(0,+∞) D．（﹣∞,﹣1）∪（1，+∞）6．设全集是实数集R，A=｛x｜﹣1＜x＜2}，B={x｜x﹣a≥0｝，且A⊆（∁R B），则实数a 的取值范围为（）
A．｛a｜a＜﹣1｝B．{a|a≤﹣1｝C．｛a|a≥2}D．{a｜a＞2｝
7．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（)
A．﹣3 B．﹣C．2 D．
8．为了了解某地区高一新学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17。

5岁﹣18岁的男生体重(㎏)，得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重大于等于56.5小于等于64。

5的学生人数是（）
A．20 B．30 C．40 D．50
9．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()
A．B．C．D．
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于(）A．AC B．BD C．A1D D．A1A
二、填空题：（每题5分，共4小题）
11．如图是一个几何体的三视图,若它的体积是3,则a=．
12．三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥P ﹣ABC的体积等于．
13．已知U={y｜y=log2x，x＞1｝,P=，求∁U P．
14．将十进制数258化成四进制数是．
三、解答题：(共5题，共70分，写出必要的步骤）
15．若集合A={x|x≤3}，B=｛x|2≤x＜10},求：
（1）∁R(A∪B）
（2）（∁R A)∩B．
16．在P是直角梯形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AD∥
BC,AB=BC=a,AD=2a，PD与底面成30°角，BE⊥PD于E，求直线BE与平面PAD所成的角．
17．掷一对不同颜色的均匀的骰子，计算：
（1）所得的点数中一个恰是另一个的3倍的概率；
(2）两粒骰子向上的点数不相同的概率；
（3）所得点数的和为奇数的概率．
18．已知函数f（x）=log2（x+1），点（x，y)在函数y=f（x)的图象上运动，点(t，s)在函数y=g（x）的图象上运动，并且满足．
①求出y=g（x)的解析式．
②求出使g(x）≥f（x）成立的x的取值范围．
③在②的范围内求y=g（x）﹣f(x）的最小值．
19．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心．
（1)证明：PQ∥平面DD1C1C；
（2）求线段PQ的长；
（3）求PQ与B1C所成的角．
2015-2016学年福建省厦门市翔安一中高一（下)3月月考
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题6分，共10小题，在每小题给出的4个选项中只有一个是正确的）1．已知函数f（x）唯一的零点在区间（1,3）内，那么下面命题错误的是（）
A．函数f（x)在（1，2)或[2，3）内有零点
B．函数f（x）在（3,5）内无零点
C．函数f(x)在（2,5)内有零点
D．函数f（x）在（2，4）内不一定有零点
【考点】函数的零点．
【分析】利用零点所在的区间之间的关系,将唯一的零点所在的区间确定出，则其他区间就不会存在零点，进行选项的正误筛选．
【解答】解:由题意，可知该函数的唯一零点在区间（1,3)内，在其他区间不会存在零点．故A、B选项正确，
函数的零点可能在区间（2，3）内，也可能在（1，2）内，故C项不一定正确,
函数的零点可能在区间(2,3)内，也可能在（1，2）内，故函数在（2，4)内不一定有零点，D 项正确．
故选C．
2．如图所示的水平放置的平面图形的直观图，所表示的图形ABCD是（）
A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形D．平行四边形
【考点】平面图形的直观图．
【分析】由直观图可知，BC,AD两条边与横轴平行且不等，边AB与纵轴平行，得到AB 与两条相邻的边之间是垂直关系,而另外一条边CD不和上下两条边垂直，得到平面图形是一个直角梯形．
【解答】解：根据直观图可知，BC，AD两条边与横轴平行且不等，边AB与纵轴平行，∴AB⊥AD,AB⊥BC ,∴平面图形ABCD是一个直角梯形，
故选B．
3．设集合A=R,集合B=正实数集,则从集合A到集合B的映射f只可能是()
A．f：x→y=|x｜B．f：x→y=
C．f：x→y=3﹣x D．f:x→y=log2（1+|x｜)
【考点】映射．
【分析】逐一分析答案，找函数的定义域为R，值域为正实数集的映射即可．
【解答】解：指数函数的定义域是R,值域是（0，+∞）,
所以f是x→y=3﹣x．
答案：C
4．以下四个结论：
①若a⊂α，b⊂β,则a，b为异面直线；
②若a⊂α,b⊄α，则a，b为异面直线;
③没有公共点的两条直线是平行直线；
④两条不平行的直线就一定相交．
其中正确答案的个数是(）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】异面直线的判定．
【分析】分别根据条件结合异面直线的定义,判断空间直线的位置关系即可．
【解答】解：①满足若a⊂α，b⊂β的直线a,b可能是异面直线，可能是平行直线也可能是相交直线．所以①错误．
②根据直线和平面的位置关系可知，平面内的直线和平面外的直线,可能是异面直线,可能是平行直线，也可能相交，所以②错误．
③在空间中，没有公共点的两条直线是平行直线或者是异面直线，所以③错误．
④在空间中，两条不平行的直线可能是异面直线,所以④错误．
故选A．
5．设函数若f（x0）＞1,则x0的取值范围是(）
A．(﹣1，1) B．（﹣1,+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪(0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪(1，+∞）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．
【解答】解:当x0≤0时，，则x0＜﹣1，
当x0＞0时，则x0＞1，
故x0的取值范围是（﹣∞,﹣1）∪(1，+∞),
故选D．
6．设全集是实数集R，A=｛x｜﹣1＜x＜2｝，B=｛x｜x﹣a≥0}，且A⊆（∁R B），则实数a 的取值范围为（）
A．｛a｜a＜﹣1}B．｛a｜a≤﹣1｝C．｛a｜a≥2｝D．{a|a＞2}
【考点】补集及其运算．
【分析】求出B中不等式的解集确定出B，进而表示出B的补集，由A为B补集的子集,求出a的范围即可．
【解答】解：由B中不等式解得：x≥a，即B={x｜x≥a｝，
∵全集为R,
∴∁R B={x｜x＜a｝，
∵A={x|﹣1＜x＜2｝,且A⊆（∁R B），
∴a的范围为{a|a≥2}，
故选：C．
7．执行如图所示的程序框图，输出的s值为(）
A．﹣3 B．﹣C．2 D．
【考点】循环结构．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，s的值，当i=4时，不满足条件i＜4,退出循环，输出s的值为2．
【解答】解：执行程序框图，可得
i=0，s=2
满足条件i＜4，i=1，s=
满足条件i＜4，i=2，s=﹣
满足条件i＜4,i=3,s=﹣3
满足条件i＜4，i=4，s=2
不满足条件i＜4,退出循环,输出s的值为2．
故选:C．
8．为了了解某地区高一新学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17。

5岁﹣18岁的男生体重（㎏），得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重大于等于56。

5小于等于64.5的学生人数是（）
A．20 B．30 C．40 D．50
【考点】频率分布直方图．
【分析】由图分析可得:易得56.5﹣64.5段的频率,根据频率与频数的关系可得频数．
【解答】解:由图可知：则56。

5～64。

5段的频率为（0.03+0。

05×2+0。

07）×2=0.4,
则频数为100×0.4=40人．
故选C．
9．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（)
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．
【解答】解：由几何概型的计算方法,可以得出所求事件的概率为P=．故选C．
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于（) A．AC B．BD C．A1D D．A1A
【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系．
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，求出向量的坐标，以及、、
的坐标,可以发现•=0,因此,⊥，即CE⊥BD．
【解答】解：以A为原点,AB、AD、AA1所在直线分别为x,y，z轴建空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则A（0，0，0)，C（1，1，0），B（1，0，0)，
D（0，1，0)，A1(0，0，1)，E（，，1),
∴=（﹣，﹣,1)，
=（1，1，0），=（﹣1，1，0),
=（0，1，﹣1），=(0，0，﹣1），
显然•=﹣+0=0，
∴⊥，即CE⊥BD．
故选：B．
二、填空题：（每题5分，共4小题)
11．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3,则a=．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】该几何体是放倒的三棱柱,依据所给数据求解即可．
【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为3,底面是底边长为2，
底边上的高为a的等腰三角形，
所以有，
所以a=1．
故答案为：1
12．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥P﹣ABC的体积等于．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由题意求出底面面积,然后求出三棱锥的体积．
【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，
在底面ABC内,过A作AD⊥BC，垂足为D，则AD=，
∴底面面积为：=．
三棱锥的体积为：．
故答案为:．
13．已知U=｛y|y=log2x，x＞1｝，P=,求∁U P．
【考点】补集及其运算．
【分析】根据函数的性质求出集合U和P，然后利用集合的基本运算求∁U P．
【解答】解：∵U={y｜y=log2x，x＞1}=｛y｜y＞0｝，
P=｛y｜y=，x＞2}={y｜0＜y＜}
∴∁U P={y｜y}=[，+∞)．
14．将十进制数258化成四进制数是．
【考点】进位制．
【分析】用十进制的数（即258)，除以4,得到商和余数;再用得到的商除以4，…直到商为0止．把余数从下往上排序即可．
【解答】解：258÷4=64…2，
64÷4=16…0，
16÷4=4…0，
4÷4=1…0，
1÷4=0…1,
把余数从下往上排序：10002．
即:4．
故答案为：
15．若集合A={x｜x≤3｝，B={x｜2≤x＜10｝,求：
（1）∁R（A∪B）
（2）(∁R A）∩B．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】（1)根据所给的两个集合，先写出两个集合的并集，在求并集的补集;
(2）写出A集合的补集,再求两个集合的交集．
【解答】解：（1）∵A=｛x|x≤3｝，B={x|2≤x＜10｝，
∴A∪B=｛x|x＜10｝
∴C R（A∪B）={x｜x≥10｝
（2）∵A={x|x≤3｝，
∴C R A={x｜x＞3｝
∴（C R A）∩B={x|3＜x＜10}
16．在P是直角梯形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°,AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PD与底面成30°角，BE⊥PD于E，求直线BE与平面PAD所成的角．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】先证明AB⊥平面PAD，可得∠BEA为BE与平面PAD所成的角．根据条件解直角三角形ABE，求得∠BEA的大小．
【解答】解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA为PD与底面所成的角，PA⊥AB．
∵∠BAD=90°，∴AB⊥AD．
再由PA∩AD=A，可得AB⊥平面PAD，AE是BE在平面PAD内的射影，∴∠BEA为BE 与平面PAD所成的角．
∵BE⊥PD，∴AE⊥PD，
在Rt△PAD中，∠PDA=30°，AD=2a,
∴AE=a=AB，∠BEA=45°，即直线BE与平面PAD所成的角为45°．
17．掷一对不同颜色的均匀的骰子，计算：
（1）所得的点数中一个恰是另一个的3倍的概率；
（2）两粒骰子向上的点数不相同的概率；
（3）所得点数的和为奇数的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1)掷一对不同颜色的均匀的骰子,先求出基本事件总数，再用列举法求出所得的点数中一个恰是另一个的3倍包含的基本事件个数,由此能求出所得的点数中一个恰是另一个的3倍的概率．
（2）两粒骰子向上的点数不相同的对立事件是两粒骰子向上的点数相同，由此利用对立事件概率计算公式能求出两粒骰子向上的点数不相同的概率．
（3）利用列举法求出所得点数的和为奇数包含的基本事件个数,由此能求出两粒骰子向上的点数和为奇数的概率．
【解答】解:（1）掷一对不同颜色的均匀的骰子,
基本事件总数n=6×6=36，
所得的点数中一个恰是另一个的3倍包含的基本事件有：
(1，3），（3，1）,（2,6),（6,2），共有m=4个，
∴所得的点数中一个恰是另一个的3倍的概率p1==．
(2）两粒骰子向上的点数不相同的对立事件是两粒骰子向上的点数相同，
两粒骰子向上的点数相同包含的基本事件有：
（1，1），（2，2）,（3,3），（4,4），（5，5)，（6，6）,共有6个,
∴两粒骰子向上的点数不相同的概率:
p2=1﹣=．
(3)所得点数的和为奇数包含的基本事件有：
（1，2），（2，1），（1，4）,(4，1），（1，6)，（6,1），(2，3），（3，2），（2，5），
(5,2），(3，4）,(4，3），（3,6),（6，3)，（4，5),(5，4），（5，6）,（6，5)，
共有18个，
∴两粒骰子向上的点数和为奇数的概率p3=．
18．已知函数f(x）=log2（x+1），点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动，点（t，s)在函数y=g（x）的图象上运动,并且满足．
①求出y=g（x）的解析式．
②求出使g(x)≥f（x）成立的x的取值范围．
③在②的范围内求y=g(x）﹣f（x)的最小值．
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】①根据变量关系利用代入法进行求解即可．
②根据对数不等式的解法进行求解即可．
③求出函数的解析式，结合分式函数与对数函数的性质进行求解即可．
【解答】解：①∵．
∴x=3t，y=s,
∵点(x,y）在函数y=f（x)的图象上运动,
∴s=log2（3t+1），
即y=g（x）=log2(3x+1）．
②由g（x）≥f（x)得log2（3x+1）≥log2（x+1）．
则,即得x＞0,即实数x的取值范围是（0,+∞）．
③当x＞0时,y=g(x）﹣f（x）=log2（3x+1）﹣log2（x+1）
=log2=log2=log2（3﹣）≥log2（3﹣）=log21=0，
即函数y=g（x）﹣f（x）的最小值是0．
19．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心．
(1）证明：PQ∥平面DD1C1C；
(2）求线段PQ的长；
（3）求PQ与B1C所成的角．
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定;点、线、面间的距离计算．【分析】（1）证明线面平行，转化成线线平行即可证明．要证明PQ∥平面DD1C1C；只需要在平面DD1C1C内找一条直线与PQ即可．
（2）求长度问题，要构造出三角形．
(3）求异面直线所成的角，分别找到两条异面直线的平行线，且交于一点，即可得到异面直线的角．
【解答】解:（1）∵P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心，即P、Q分别是AD1与B1D1的中点；
取DD1的中点E,取C1D1的中点F，连接PE、QF,EF，可得PE A1D1，QE C1B1,
∴平面QPEF是平行四边形，QP∥EF，
∵EF∈平面DD1C1C；
∴PQ∥平面DD1C1C
得证
(2)取A1D1的中点M,连接MP,MQ，
∵P、Q分别是A1D与B1D1的中点；
∴PM DD1,QM A1B1，
∵DD1⊥平面A1B1C1D1,
∴PM⊥QM
∴△MPQ是等腰直角三角形．
PM=QM=
∴PQ==
（3）∵B1C A1D,B1C交PQ于P，
∴PQ与B1C所成的角即为A1D与PQ所成的角，即是∠PA1Q，∵PA1=A1Q=B1C=，
由(2)可知PQ=，△A1PQ是等边三角形，
∴∠PA1Q=．
所以PQ与B1C所成的角为：．
2016年10月11日。