第13章 全等三角形

第13章全等三角形
13．1命题、定理与证明
13．1.1命题
1．了解命题的概念，理解命题的结构．
2．会识别命题的真假，会说明一个命题是假命题．
重点
命题的结构，真命题与假命题的识别．
难点
识别命题的真假．
一、创设情境
情境：小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》．
小亮：“哈！这个黑客终于被逮住了．”
小刚：“是的，现在网络广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”
坐在旁边的两个人一边听着他的谈话，一边也在悄悄地议论着，“这个黑客是个小偷吗？”
“可能是喜欢穿黑衣服的贼．”
你听完这则片段故事，有何想法？
同学们各抒己见后，教师给予同学的各种回答评价后，发表自己的看法：在日常生活中，我们会遇到许多概念，以致无法进行正常的交流．同样，在数学学习中，要进行严格的论证，也必须首先对所涉及的概念下定义．本节课我们就一起来学习命题．
二、探究新知
1．提出问题
我们已经学过一些图形的特性．例如：
(1)三角形的内角和等于180°；
(2)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
(3)两直线平行，同位角相等；
(4)直角都相等．
引导学生观察、分析它们的共性，得出命题的概念．
即它们都是判断某一件事情的语句，像这样表示判断的语句叫做命题．
2．练习
下列句子哪些是命题？
①动物都需要水；
②猴子是动物的一种；
③玫瑰花是动物；
④美丽的天空；
⑤负数都小于零；
⑥你的作业做完了吗？
⑦所有的质数都是奇数；
⑧过直线外一点作l的平行线；
⑨如果a＞b，a＞c，那么b＝c.
3．观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同学交流．
(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
(2)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
(3)如果a2＝b2，那么a＝b.
总结：在数学中，许多命题是由条件和结论两部分组成的．条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这种命题常可写成“如果……，那么……”的形式．其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论．例如，在命题(1)中，“两个角是对顶角”是条件，“这两个角相等”是结论．
例把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的条件与结论．
解：这个命题可以写成：“如果在一个三角形中有三个角相等，那么这个三角形是等边三角形．”这里的条件是“在一个三角形中有三个角相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”．
4．真、假命题
思考：试判断下列句子是否正确．
(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
(2)三角形的内角和是180°；
(3)同位角相等；
(4)同角的余角相等；
(5)一个锐角与一个钝角的和等于180°.
根据已有的知识可以判断出句子(1)、(2)、(4)是正确的，句子(3)、(5)是错误的．从而引导学生概括出真、假命题的定义．
即条件成立，结论一定成立的命题，称为真命题．
条件成立，不能保证结论总是成立的命题，称为假命题．
三、练习巩固
1．指出下列命题的条件和结论，并判断命题的真假，如果是假命题请举一个反例说明．
(1)经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(2)两个无理数之和仍是无理数．
2．命题“一个角的补角一定大于这个角”的条件是____________，结论是________________，它是一个____________，反例为________________．
四、小结与作业
小结
这节课你学到了什么？你有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结．
作业
教材第58页习题13.1第1，2，3题．
本节内容较少，比较简单，但命题的概念比较抽象，应从形式到内容帮助学生分析．命题的条件与结论是辨别命题真假的关键，又是后面学习逆命题的基础，应掌握．针对学习情况对理解不深刻的同学给予单独的辅导．
13．1.2定理与证明
1．理解已学的5个基本事实，理解定理的概念．
2．理解证明的概念，体会证明的必要性．
重点
证明的过程与步骤．
难点
证明的必要性．
一、回顾
1．什么是命题？命题的结构是什么？
2．命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？
3．今天我们将学习说明一个命题是真命题的方法．
二、探究新知
(一)基本事实
教师讲解，并板书：
(1)两点确定一条直线；
(2)两点之间，线段最短；
(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
(5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
上述五个命题是被公认的真命题，我们将它们当作基本事实，是我们用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点．
(二)定理与证明
教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的．从而说明证明的重要性．
1．教师讲解：请大家看下面的例子：
当n＝1时，(n2－5n＋5)2＝1；
当n＝2时，(n2－5n＋5)2＝1；
当n＝3时，(n2－5n＋5)2＝1.
我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数(n2－5n＋5)2的值都是1呢？实际上我们的猜测是错误的，因为当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝25.
2．教师再提出一个问题让学生回答：如果a＝b，那么a2＝b2.由此我们猜想：当a＞b 时，a2＞b2.这个命题是真命题．
答案：上面的说法不正确，举一个反例来看，因为3＞－5，但32＜(－5)2.
教师总结：在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质．但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性．也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题．
教师讲解：数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
(三)定理的证明
直角三角形两锐角互余．
教师引导：将文字语言转化为几何语言，注意推理步步有据，并在后面的括号里写上每步的依据．
教师讲解：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理．定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题
真假的依据．
三、练习巩固
1．请你说出学过的知识中，哪些是公理，哪组说得又多又准就是获胜者．
如：
(1)两点确定一条直线；
(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
2．试证明：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角的角平分线互相垂直．3．如图，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：AB∥CD.
四、小结与作业
小结
这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结．
作业
教材第58页练习第1，2题．
本节课从同学们已学的五个性质入手，讲解了基本事实的概念作用与地位；从发现命题的结论不具有一般性让学生理解证明的必要性；从直角三角形两锐角互余的证明让学生感知证明的步骤与要求．
本节课有很多理性认识，学生不可能一蹴而就，而是在学习中及时完善与提升．对证明的条理问题应提出更高的要求，以培养学生更严谨的逻辑思维能力．
13.2三角形全等的判定
13．2.1全等三角形
13．2.2全等三角形的判定条件
1．理解全等三角形、对应边、对应角的概念．
2．理解全等三角形的性质．
3．初步感知全等三角形的三种变换方式．
重点
1．全等三角形的对应边，对应角．
2．全等三角形的性质．
难点
全等三角形的变换方式．
一、创设情境
1．先在一张纸板上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，思考得到的图形有何特点？
2．重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，思考得到的图形有何特点？
二、探究新知
学生活动：动手操作、用脑思考、与同伴讨论、得出结论．
教师活动：指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形．
学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸板上画出三角形，然后固定重叠的两张纸板，注意整个过程要细心．
互动交流：剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示．
概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
教师活动：在纸板上任意剪下一个三角形，要求各小组选派学生拿一个三角形做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形是否全等．
学生活动：要求学生实践感知、得出结论：两个三角形全等．
教师活动：要求学生将剪下的两个三角形顶点标上字母，看重合的边角有何关系？
学生活动：将两个三角形按要求标上字母，并注意放置，与同桌交流何时可重合．
教学说明：根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范．
1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．
2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如果图1中△ABC和△DB′C′全等，点A和点D，点B和点B′，点C和点C′是对应顶点，记作△ABC≌△DB′C′.
3．全等三角形的对应边相等，对应角相等．
4．一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．
三、练习巩固
1．如图，△ACE≌△DBF，点A，B，C，D在同一条直线上，且AE＝DF，CE＝BF，AD＝8，BC＝2.(1)求AC的长；(2)求证：CE∥BF.
2．如图，△ABC≌△DEF，AB＝DE，∠A＝∠D，找出图中的所有相等的线段与角．
四、小结与作业
小结
这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结．
作业
完成本课时后面对应的练习．
本节课通过动手剪出两个完全相同的三角形，通过比较、运动，如平移、翻折、旋转来学习全等三角形、对应角、对应边的概念，进而归纳出全等三角形的性质．教师应结合刚开始学习的学生不注意将对应的顶点写在对应的位置的特点并不断强化，因此如何找对应边、对应角是本节的难点，教师应结合例题习题归纳：有公共边(角)的，公共边(角)为对应边(角)；有相等边(角)的，相等的边(角)为对应边(角)；有对顶角的，对顶角是对应角，对应边对的是对应角，对应角对的是对应边．
13．2.3边角边
掌握全等三角形的判定(S.A.S.)，会进行全等的简单推理．
重点
会用S.A.S.证明两个三角形全等．
难点
应用综合法的格式证明三角形全等．
一、动手操作
教师活动：按教材第63页要求同排两个同学各画一个三角形，再放在一起判断它们是否全等．
二、探究新知
要画一个三角形与教师在黑板上画的三角形ABC全等，需要几个与边或角的大小有关
的条件呢？
1．画一画
(1)只给一个条件：一条边BC＝6 cm，大家画出三角形，小组交流画的三角形全等吗？一个角∠B＝30°，大家画出三角形，小组交流画的三角形全等吗？
(2)给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？这两个三角形一定会全等吗？分别按照下面的条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和周围的同学比较一下，所画的图形是否全等．
①三角形的一个内角为60°，一条边为3 cm；
②三角形的两个内角分别为30°和70°；
③三角形的两条边分别为3 cm和5 cm.
你们在画图和同学比较过程中，能得出什么结论？
学生各抒己见后，教师归纳：你们一定会发现，如果只知道两个三角形有一个或两个对应相等的部分(边或角)，那么这两个三角形不一定全等．
2．议一议
如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
教师讲解：如果两个三角形有3组对应相等的元素，那么含有以下四种情况：两边一角、两角一边、三角、三边．
我们将对这四种情况分别进行讨论．
如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？如图所示，此时应该有两种情况，一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一种情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角．
(1)已知两边一夹角作三角形唯一性的体验
教师提出问题，我们按下面的条件画一个三角形．如图，已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为这两条边的夹角，画一个三角形．
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？
换两条线段和一个角试试，看看是否有同样的结论．
教师边讲边按下述步骤作图，要求学生模仿：
第1步：画一条线段AB，使它等于3 cm；
第2步：画∠MAB＝45°；
第3步：在射线AM上截取AC＝2.5 cm；
第4步：连结BC.
△ABC即为所求．
通过学生亲自实践，初步体会已知三角形两边一夹角作三角形的确定性，为证明S.A.S.提供实践体验．
(2)S.A.S.的证明
教师给出证明S.A.S.定理的条件：如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠B ＝∠B′，BC＝B′C′，我们要证明这两个三角形是全等的．
由于AB＝A′B′，我们移动其中的△ABC，使点A与点A′、点B与点B′重合．因为∠B ＝∠B′，因此可以使∠B与∠B′的另一边BC与B′C′重叠在一起，而BC＝B′C′，因此点C 与点C′重合，这就说明这两个三角形全等．由此可得判定三角形全等的一种简便方法：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为S.A.S.(或边角边)．
(3)已知两边一对角问题探究
教师提出问题：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边画一个三角形．
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，那么所有的三角形都全等吗？此时符合条件的三角形的形状能有多少种呢？
上图中，∠B＝45°，AB＝3 cm，AC＝AC′＝2.5 cm，可以看出．我们可以作出两个不全等的三角形，可见已知两个三角形的两边和其中一边的对角分别对应相等，三角形不一定全等．
三、练习巩固
1．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.求证：△ABD≌△ACE.
2．如图，AB∥CD，AB＝CD.求证：AD∥BC.
四、小结与作业
小结
1．两边一夹角分别对应相等，两个三角形全等．
2．两边和其中一边的对角分别对应相等，两个三角形不一定全等．
作业
教材第76页习题13.2第2题．
这节课学习全等三角形的判定方法，通过学生画一画、比一比，得出基本事实S.A.S.，再利用S.A.S.证明两个三角形全等．教师应着重强调角应为夹角，防止学生任意找两边及一角证明两个三角形全等．学生刚学严格证明，应注意强化，条理要清晰，说理有据，因果关系分明．
13.2.4角边角
理解和掌握全等三角形的判定方法A.S.A.和A.A.S.
重点
用A.S.A.和A.A.S.证明两个三角形全等．
难点
用综合法解决几何难题．
一、创设情境
小菁做了一个如图1所示的风筝，其中∠EDH＝∠FDH，ED＝FD，将上述条件注在图中，小明不用测量就能知道EH＝FH吗？与同伴交流．
二、探究新知
1．引入：请问到本节为止，我们探讨两个三角形满足三个条件的哪几种情况三角形全等，情况如何呢？
(如果两个三角形有两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形就一定全等．如果两个三角形的两边及其一边所对的角对应相等，那么这两个三角形不一定全等．) 还有哪些情况还没有探讨呢？
(如果两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？)
本节我们探讨两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这两个三角形是否全等的课题．
2．问题如果已知一个三角形的两角及一条边，那么有几种可能的情况呢？
(一种情况是两个角及两角的夹边；另一种情况是两个角及其中一角的对边．)
每一种情况下得到的三角形都全等吗？
3．请同学们动手做一个实验：同桌两位同学为一组．
(1)共同商定画出任意一条线段AB，与两个角∠A，∠B(∠A＋∠B＜180°)；
(2)两位同学各自在硬纸板上画线段A′B′的长等于商定线段AB的长，在A′B′的同旁，画∠B′A′C′等于商定的∠A，画∠A′B′C′等于商定的∠B，设A′C′与B′C′相交于点C′，便得到△A′B′C′；
(3)用剪刀各自剪出△A′B′C′，将同桌同学剪出的两个三角形重叠在一起发现了什么？其他各桌的同学是否也有同样的结论呢？
同学们各抒己见后，总结：已知两个角和一条线段，以该线段为夹边，所画的三角形都是全等的．
由此得到另一种识别全等三角形的简便方法：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．简记为A.S.A.(或角边角)．
4．思考：如图，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这
两个三角形是否一定全等？
动手画一画：比如∠A＝45°，∠C＝60°，AB＝3 cm，你能画这个三角形吗？
提示：这里的条件与实验中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为实验中的条件吗？
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
现在两组同学按45°角所对的边为3 cm画，另两组同学换两个角和一条线段，试试看，你们得出什么结论？
同学们各抒己见后，总结：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简记为A.A.S.或(角角边)．
三、练习巩固
1．如图，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.求证：△ABC≌△DCB，AB＝DC.
2．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD 的延长线于点E.求证：AD＝ED.
3．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，EF⊥AB 于点F，且AB＝DE.
(1)求证：BD＝BC；
(2)若BD＝8 cm，求AC的长．
四、小结与作业
小结
两角一夹边对分别应相等，两个三角形全等；两角一对边分别对应相等，两个三角形全等．
作业
教材第76页习题13.2第4，5题．
本节课从复习S.A.S.入手，导入新课，让学生动手操作得出基本事实“A.S.A.”，进而由三角形的内角和得出“A.A.S.”，整个教学过程以学生为主体，教师是引线人，注重学生获得知识的过程．
在运用“A.S.A.”或“A.A.S.”时，注重引导学生分析已有条件，寻找需要转化的条件，提升了学生逆向思维能力与分析问题能力，本节课内容较多，注意对学习困难的学生给予适当的辅导．
13．2.5边边边
掌握S.S.S.判定两个三角形全等，会用S.A.S.，
A．S.A.，A.A.S.，S.S.S.判定三角形全等．
重点
会用S.S.S.判定两个三角形全等．
难点
证明全等时，判定方法的选择．
一、创设情境
教师出示道具
提出问题：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图1所示的残片，你对图中的残片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃、与同伴交流．
教师引导学生观察，思考，回答教师的问题．方法如下：可以将图1的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形．如图2，剪下模板就可以去割玻璃了．
其中的教学道理，让我们一起来探究！
二、探究新知
1．问题1如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形会全等吗？
做一做：给你三条线段a，b，c，分别为4 cm、3 cm、4.8 cm，你能画出这个三角形吗？
先请几位同学说说画图思路后，教师指导，同学们动手画，教师演示并叙述画图步骤．步骤：
(1)画一条线段AB使它的长度等于c(4.8 cm)；
(2)以点A为圆心，以线段b(3 cm)的长为半径画圆弧；以点B为圆心，以线段a(4 cm)的长为半径画圆弧；两弧交于点C；
(3)连结AC，BC.
△ABC即为所求．
把你画的三角形与其他同学的图形叠合在一起，你们会发现什么？
换三条线段，再试试看，是否有同样的结论？
请你结合画图、对比，说说你发现了什么？
同学们各抒己见，教师总结：给定三条线段，如果它们能组成三角形，那么所画的三角形都是全等的．
这样我们就得到识别三角形全等的一种简便的方法：三边分别相等的两个三角形全等．简记为S.S.S.或(边边边)．
2．问题2你能用三角形全等的识别法“S.S.S.”解释三角形具有稳定性吗？
(只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了．)
3．试一试：已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°，80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，你发现了什么？
(所画出的三角形都是相似的，但大小不一定相同．)
三个对应角相等的两个三角形不一定全等．
4．让学生阅读教材第72页“读一读”和“概括”，并填写所给表格，总结出证明三角形全等的规律．
教师强调所总结的规律，并给予学生适当时间思考记忆．
三、练习巩固
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．求证：∠B＝∠C.
2．如图，在△ABC与△DCB中，AB＝DC，AC＝BD，AC与BD交于点M.求证：BM ＝CM.
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.求证：AD∥BC.
四、小结与作业
小结
本节课探讨出可用S.S.S.来识别两个三角形全等，并能灵活运用S.S.S.来识别三角形全等．三个角对应相等的两个三角形不一定会全等．学会如何依据题中所给条件，寻求证明方法等．
作业
教材第76页习题13.2第1题．
这节课探索S.S.S.时，学生通过全过程的画图、观察、比较、交流，逐步得出基本事实S.S.S..在这个过程中不仅得到了全等三角形全等的判定方法，同时增加了学生的数学体验，在探索过程中体验了数学的乐趣．
基于课程标准，让不同的学生得到不同的发展，典例精析中两次用到全等三角形，可能有少数学生还不是很适应，教师应引导他们如何逆向分析，寻找证明条件，提升解题能力．
13．2.6斜边直角边
1．会用“H.L.”判定两个直角三角形全等．
2．会综合应用各种方法判定两个直角三角形全等．
重点
用“H.L.”判定两个直角三角形全等．
难点
用综合法证明两个直角三角形全等．
一、创设情境
问题：舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
(1)你能帮他想个办法吗？
(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
问题(1)学生可以回答去量斜边和一锐角，或直角边和一个锐角；但对于问题(2)，学生则难肯定．工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？
二、探究新知
我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相等，那么这两个三角形一定全等；如果有“角角角”分别对应相等，那么不能判定这两个三角形全等，这两个三角形可以有不同的大小；如果有“边边角”分别对应相等，也不能保证这两个三角形全等．
那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形能否全等吗？
如图，已知两条线段(这两条线段长不相等)，以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边，画一个直角三角形．
把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较，所有的直角三角形都全等吗？
换两条线段，试试看，是否有同样的结论？
步骤：
1．画一线段AB，使它等于2 cm；
2．画∠MAB＝90°；
3．以点B为圆心，以3 cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C；
4．连结BC.
△ABC即为所求．
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.。