大学物理 第十二讲 静电场2 电势

r
可以看到，若选无限远为 电势零点，
会使积分发散。
8.4.5 电势叠加原理
由
po
E

d
l
及
E
p
Ei
得 ( po p
Ei ) d l
po p
i Ei

d
l

i
i
i
i
（注意：用电势叠加原理时，
各电势的零点应是同一点）
用“点电荷电势叠加的方法”：
dr

q0q
4π0

1 r1

1 r2

A12

q0q
4π0

1 r1

1 r2

此功与起点、终点的位置有关，与移动路径无关，
说明点电荷的静电场是保守力场。
由场强叠加原理 E Ei 可以证明：
任意点电荷系或连续带电体的静电场也是保守力场。
由于静电场的保守性，如果电荷
rˆ

d
r
外

q
4 π0r
均匀带电球面在外部空间的电势分布与全部 电荷集中在球心的点电荷的电势分布一样。
（2）内: r <R 任选一点P
有人说: 因 E内= 0 所以内 = 0 （对不对？）
K
Edl Edl Edl
右端称为 静电势能W ( 或静电能W )的减量。
W = q0
（注意：点点对应）
21
静电势能是属于电荷 q0 和场源所共有的 （正如重力势能是属于物体和地球），
也叫电荷之间的相互作用能。
例 1. 氢原子中的电子在原子核电场中的 静电势能为
W (e)
e2
4 π 0r
e e
22
例 2. 一个电偶极子在均匀电场中的静电势能为

E
说明4：利用环路定理（静电场的保守性）使我们 可以引入一个物理量------电势（见下）。
8.4.4 电势差和电势
一.电势差：
由静电场保守性，说明静电场存在一个势函数。
定义：把一个单位正电荷从静电场中 P1点移到 P2
点，电场力作的功等于
E
A12
P1点p到2 EP2点d电l 势的减量。 p1
q
l
q
E
W

Wp E dWl
p
q




均匀电场 + - -= -E l cos
W q( El cos )

q(El cos ) pE cos W p E
若 = 0 ,则 W = - pE , 静电势能最小（稳定平衡） 若 = ,则 W = + pE , 静电势能最大 (不稳定平衡)
场强与电势的关系为:
p2
E
p1

d
l

1

2
E 2=1+d
p2
Δ
E 积分关系
下面研究

dl
1
p1
E 微分关系:
设两个靠得很近的等势面上各有一点 P1、P2如图，
P1
处场强方向如图 (有d

<
0)
。
有微量关系 E d l El d l d
P1 r P2

A12 F2 d l r q2E1 d l
r
q2 r E1 d l
0
Rr
E d l 电势是电场强度的积分面积！
P
例 3. 求线电荷密度为 的无限长均匀带电直线的
电势分布。
【解】 这是无限大电荷分布，
取某一距离直线为 r0 的 P0点的电势为零。
任一点 P 的电势
P0
rP
Edl P
E
P P0
实际上：常选大地或机壳的公共线 为电势零点。
例1：求点电荷 q 的电势分布。
【解】 利用电势定义（积分法） 取无限远为电势零点,
1
po
E

d
l
p1
()
Edl
q
( p) r
P
q
4 π0r2
rˆ
dr
∞

q> 0
r dl
r
所以

q
r 4π 0r 2

E d l El d l d
d
El dl

电势 在 dl 方向上的变化率的负值等于
场强 E 在 dl 方向上的分量。
若

=
0， d
l

d
n
E
电势的变化率最大。
数学上，若某一标量对 某一方向有最大变化率 （称为方向导数最大），
2=1+d dn
从电P势1点的到减量P2点，A1移2 动单pp12位E正 电d l荷电场1 力作2 的功12等于
设 P0为电势为零的参考点， 0 =0 ，
则静电场中任一点
1 1
P1处电势为：
0 10
po p1
E

d
l
点电荷的电势 q 4 π0r
例. 由均匀带电细圆环（半径为 R，电量为 q） 轴线上的电势分布，求轴线上的电场分布。
【解】前面已求得轴线上的电势分布
dq
r R2 x2
R


4π0
q R2
x2
1/ 2
由对称性分析可知，
0 x Px
Ey=Ez=0，
那么，E=Ex=?


q

E

Ex
x
电势零点的选择可任意。电势零点的 选择改变了，各点的电势也都改变了。
但不影响两点间的电势差。 电势差更为根本，因为它反映电场力做的功。
电场强度是从电场力的角度来描述电场的物理量。 电势是从电场力作功的角度来描述电场的物理量。
电势零点的选择： 习惯
理论上： 对有限电荷分布，选∞=0。
对无限大电荷分布， 选有限远 的适当点为电势零点。
说明2：高斯定律是静电场的第一个重要规律， 环路定理是静电场的第二个重要规律。
说明3：利用环路定理可以分析一些问题：
例1. 电力线闭合的电场
肯定不是 静电 场。
因为 E d l 0
L dl E

E
例2. 电力线为一系列
不均匀平行直线
的静电场
L
是不存在的。
例3. 平行板电容器必有 边缘效应。
等势面有如下特点：
等势面
20V 15V 5V
（1）等势面与电力线 处处正交。
（2）等势面密处场强大。
电力线 （3）等势面的电势沿电 力线的方向逐渐减小。
例2. 两个等量的正电荷的等势面。
E
电场线（实线）和等势面（虚线）
例3. 电偶极子的等势面。
E
人体心脏附近的等势线
电场线（实线）和等势面（虚线）
P’
P0
Edl Edl
P
P
r0
r0
0
dr
r 2 π0r
rP
P’
r0
>0
0 r0
E
r0


dr
r 2 π0r
P0
ln r0
2π0 r
r > r0 的点，电势为负,
r = r0 的点，电势为零,
r < r0 的点，电势为正。
对点电荷系：
对有限的 连续电荷分布：

qi
4 π ori
(选

0)
d q
q 4πor
(选 0)
例. 求半径为 R、带电量为 q 的细圆环 轴线上任意点的电势。
【解】 这是连续带电体, 任取一电荷元dq, 用“点电荷电势叠加法”
dq
R 0
r R2 x2 取轴线上任一点 P，电势:
23
从电偶极子 的静电势能来看，
q

E
电总偶是极 倾子 向在 于均电匀偶电极场矩中P,
l
q
转向电场的方向,
因为这个位置静电势能最小,最稳定。
从电偶极子所受的力矩来看， 也应这样转动。
（有极分子在外电场中总是倾向于其 电偶极矩 P 转向外电场的方向）
24
回顾 :

静电场的环路定理 E d l 0
P
P
K

q
PK
R
r
0
q
0 R 4π0r2 d r
内

4
q
π0R
均匀带电球面的内部空间是等电势空间。



4
q
π0r
(球外)

4
q
π
0
R
(球
内)

q
4π0R
0
qE
4 π 0R2
r
Rr
从几何上来理解电势 与电场强度的关系

r
根据功能关系：外力克服静电力（保守力） 所作的功，应等于带电体自身静电势能的增量。
如果我们把一个带电体系看成一个不可分割的整体， 它自身的静电势能也叫做“自能”。
自能公式
（1）对相距为 r 的两个点电荷q1、q2 带电系统：
让 q1不动，将 q2移到无限远的过程中，
q2受到的电场力作的功为

q1
q2 F2


d
dl

El l



Ex x , Ey y , Ez z
E


x
iˆ


y
ˆj


z
kˆ

E
这是 “场强等于电势梯度矢量的负值”的数学表示。 它就是 场强与电势的微分关系。 利用它，可以由电势分布求场强分布。
例4. 静电透镜（能使电子束聚焦）的等势面
F

E z
Er
E
待续
8.4.6 电荷在外电场中的静电势能
q
q01
2
1
2
W1
W2
把电荷 q0 从电场中的 1点移到 2点过程中， 电场力作的功为
2
A12 q0 E d l q0 1 2 W1 W2 1
P1
P2
1 2 12
两点之间的电势差，
并不仅由这两点处的电场决定，
它取决于电场的分布。
二. 电势：
设 Po为电势为零的参考点，o =0
则静电场中任一点P1处电势为：
1 1 0 10
po
E

d
l
p1
即P1点的电势，就是P1点与电势零点P0之间的 电势差。
q0在静电场中沿一闭合环路移动
P1
一圈，设P1、P2是闭合环路上的
两点，那么从P1P2与从P2P1
静电场力的功正好抵消。
P2
常用下式表示静电场 的保守性：

Edl 0 ……称为静电场的环路定理
说明1：上式中的E 是 d l 处的 E 。
此式 左端的积分称为静电场的环流， 它是场强沿闭合路径的线积分。
梯度矢量算符 用“grad”(gradient ---梯度) 或“”表示：
iˆ ˆj kˆ x y z
电势梯度矢量用 表示 ,有 iˆ ˆj kˆx y z
将
El


d
dl

El l
有 所以有 即
El

p2 dl
则定义此最大变化率为
1
p1
该标量的梯度。

定义：电势梯度矢量
E
大小：为电势的最大 变化率，即电场 强度的大小
E d
dn
方向：为电势升高最快 的方向，
即与电场强度的 方向相反。
2=1+d dn

p2 dl
1
p1
电势梯度 矢量
即“场强等于电势梯度矢量的负值”。
qx
x 4 π 0
R2
x2
1/2
4 π 0 R2 x2 3/ 2 (与前面结果相同 )）
8.5 电荷系的静电能
讨论: 一个带电体，它自身 有没有静电能？
如图，由于同号电荷之间有静电斥力， q
在带电体形成的过程中必须 有外力克服静电力作功。
（它也等于带电体的各个电荷分散至 无限远的过程中，静电力所作的功）
x
x
P
d q
(q)4 π0r
所以


4π 0
q R2 x2
1/ 2
1

dq
4 π0r (q)
思考： 环上电荷均匀或不均匀结果一样吗？
等势面：
电场中电势相等的点组成的面称为等势面。 等势面是形象描述电场的一种表示方法。 画法：相邻等势面的电势差为常数。
例1. 正点电荷电场的等势面。
8.4.1 静电场力的功
这一节研究静电场力做功的性质。
点电荷的静电场中，移动电荷 qo，从P1 P2
电场力作功：
A12
p2
F

d
l
p1
q0 E d l
P1

F
dr E
r1
q0 r
dl
r
q0 E d r
q
r2
P2

r2
q0
r1
q
4 π0r2
无限长均匀带电直线的电势 ln r0 2π0 r
均匀带电球面的电势 等势面有如下特点：



4
q
π0r
(球外)

4
q
π
0
R
(球
内)
（1）等势面与电力线 处处正交。 （2）等势面密处场强大。 （3）等势面的电势沿电 力线的方向逐渐减小。
8.5 电势与电场强度的微分 关系
dr

q
4π 0r
0
q< 0
q 4 π0r
--------点电荷的电势公式
例 2.求电量为 q(设 q >0)的均匀带电球面的电势分布。
【解】 取无限远为电势零点,
（1）外: r >R 任选一点P

Edl
P
q
r
R
0
P

q
P 4 π 0r 2