201609南开大学《线性代数》复习资料
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( ). ( A) 充分必要条件 (C ) 必要而非充分条件 ( B ) 充分而非必要条件 ( D ) 既非充分也非必要条件
（选 B . ）知识点参看第 6 章 P150 第 4 章 P168 14. 设 A , B 均为 n 阶矩阵，且 A 与 B 合同，则（ ）. A B ( A) A 与 B 相似 ( B) (C ) A 与 B 有相同的特征值 ( D) r ( A ) r ( B ) （选 D ）知识点参看第 6 章 P150 第 4 章 P168 15. 若 a 1i a 2 3 a 3 5 a 5 j a 4 4 是 5 阶行列式中带有正号的一项, 则 i , j 的 值应为（ ）.
1 0 1
( A ) 1 2, 2 0 (C ) 1 2, 2 可为任意数 ( B ) 1 2 2 ( D) 1 , 2 均可为任意数
第 1 章 P1
（选 C . 需先将行列式算出 ) 知识点参看第 1 章 P16 3.
1 a 1 1 已知行列式 D 1 1 b 1 , 则 D ( 1 1 1 b
8. 乘积 1 1 3 4
6 ( A) 20 1 (C ) 4 7
(
).
8 5 6
2 3 5 6
6 7 8 ( B) 20 5 6 6 8 7 ( D) 20 5 6
（选 A . 按矩阵乘法定义计算 ) 知识点参看第 2 章 P57 第 2 章 P51 9. 若 A , B 都 是 三 阶 可 逆 矩 阵 ， 则 下 列 结 论 不 一 定 正 确 的 是 ( ). T T T 1 1 1 ( A ) ( AB ) B A . ( B ) ( AB ) B A . 2 2 2 ( C ) ( AB ) B A . ( D ) ( AB ) B A . （选 D . 注意： 问的是： 不一定正确者 ) 知识点参看第 2 章 P53 第 2 章 P65 10. 若 β ( 0, k , k 2 ) 能由
第 1 章 P1
18. 行列式
0 d
的值等于 (ad bc) ( xv yu ).
（ V）
0 u
（解法提示：直接按行列式展开）知识点参看第 1 章 P16 第 1 章 P1
0 0 0 λ2 λ1 0 0
n ( n 1 ) 2
19. 行列式
0 λn
= λ 1λ 2 λ n .
（ ）
（解法提示：利用矩阵乘法）知识点参看第 2 章 P57 第 2 章 P51 二． 主观题
（三）填空题
0 a1 2 若 n 为奇数，则行列式 D a13 a1 n a1 2 0 a2 3 a2 n a13 a2 3 a3 n a1 n a2 n a3 n 0
27.
的值等于
（
） （答案 D 0. )
a b ab a
知识点参看第 1 章 P1
c abc d abcd 4a 3b 2c d
第 1 章 P51
28. 行列式 D
a 2a b 3a 2b c
等于（
）.
a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
α1 (1 k , 1, 1) , α 2 (1, 1 k , 1) , α 3 (1, 1, 1 k )
）. ( A ) k 0 ( B ) k 3 (C ) k 0 且 k 3 ( D ) k 任意. （选 C . ）知识点参看第 4 章 P112 第 3 章 P127 11. 设向量组 B : b1 , b2 ,, b r 能由向量组 A : a1 , a 2 , , a m 线性表示， 则( ). ( A) 当 r m 时，向量组 A 必线性相关 ( B) 当 r m 时，向量组 A 必线性相关 (C ) 当 r m 时，向量组 B 必线性相关 ( D) 当 r m 时，向量组 B 必线性相关 （选 D . 解法提示： 用反证法排除其余三种可能 ) 知识点参看第 4 章 P112 第 3 章 P127 12. 设 A 为 n 阶方阵，以下结论中成立的是（ ） ．
《线性代数》复习资料（2014 年 7 月修订版）
课程名称 名称 教材信息 （自 建学习中心 使用） 出版社 作者 版次
线性代数
线性代数 清华大学出版社、北京交通大学出版社 刘光旭 苏钰晴 编著 2014 年 4 月第 1 版
此教材用于自建学习中心（此版标注教材页码请见红色字体页 码） 名称 教材信息 （奥 鹏学习中心 使用） 出版社 作者 版次 线性代数 中国人民大学出版社 赵树嫄 主编 2013 年 1 月第 4 版
此教材用于奥鹏学习中心（此版标注教材页码请见蓝色字体页 码）
一． 客观题
（一） 选择题
1.
行列式
k 1 2
2 k 1
0 的充分必要条件是（
）.
( A) k 1 (C ) k 1 且 k 3
(B ) k 3 (D ) k 1 或 k 3
（选 C . 需先将行列式算出 ) 知识点参看第 1 章 P16 1 0 2 2. 若 3 1 2 0 , 则 1 , 2 必须满足（ ）.
Βιβλιοθήκη Baidu
n 阶范德蒙行列式的计算公式是：
Vn 1 x1 n 1 x1 1 x2 n 1 x2 1 xn ( x j xi ) . 1 i j n n1 xn
（ ）
（解法提示：有公式）知识点参看第 1 章 P16 第 1 章 P1 22. A
1
1 A
a a
2
b b
2
c c
2
0 的充
( B ) abc (b a )(c a )(c b) ( D ) (b a )(c a )(c b) 1
（答案：选 A .）知识点参看第 1 章 P16 第 1 章 P1
2 x ky c1 7. 如果线性方程组 kx 2 y c2
（ X）
（第 1 章．. 解法提示：正确答案是： (1 )
1 2 n . ）
知识点参看第 1 章 P16 第 1 章 P1 20. 排列 32514 的逆序数为 5. （V ）
（第 1 章． 解法提示： 分别计算每个数的逆序，再相加）知识点参 看第 1 章 P16 21. 第 1 章 P1
唯一线性表示，则 k 等于（
( A) 若 A 可逆，则矩阵 A 属于特征值 的特征向量也是
矩阵 A
1
的属于特征值
1 的特征向量．
( B ) A 的特征向量即为方程 (E A) x o 的全部解． (C ) 若 A 存在属于特征值 的 n 个线性无关的特征向量， 则 A E ． ( D ) A 与 AT 不可能有相同的特征值． （选 A ）知识点参看第 5 章 P130 第 4 章 P168 13. n 阶方 阵 A 具有 n 个不 同的特 征值是 A 与对 角矩阵 相似的
k1 a1 k 2 a 2 k m a m o ,
则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关. （ X） （解法提示： 要求 k1 , k 2 , , k m 不全为零）知识点参看第 4 章 P112 第 3 章 P127 25. 设 n 阶方阵 A, B, C 满足关系式 ABC = E , 其中 E 是 n 阶单位 矩阵, 则必有关系式 BCA = E. （V） （解法提示：由 ABC = E 知 A, B, C 均为可逆矩阵,且 A 与 BC 互为逆矩阵, 因而 BCA = E. ） 知识点参看第 2 章 P63 第 2 章 P73 26.
i
) ( a0
i 1
1 ). ( C ) ai
a
i 1
n
i
.
( D )
i0
a
n
i
.
（选 B . 需先将行列式算出) 知识点参看第 1 章 P16 第 1 章 P1
bc ca ab
6. 设 a, b, c 两两互不相同，则行列式 D 分必要条件是 (
(A ) a b c 0 (C ) (a b c)(b a )(c a )(c b) 0 ).
第 1 章 P1
）.
（选 D . 需先将行列式算出) 知识点参看第 1 章 P16
a0 1 1 a1 0 0 1 0 0 1 0 0 an
n n
第 1 章 P1
5.
1 1
a2
(
).
( 其中 a1 a 2 a n 0 )
（ A ） 0.
( B )
(
a
i 1
（二） 判断题( 对的, 在后面的括号内打”V”,
1 x 2 1 x 1 1 1 1 x 0 的解为 x1 = 3 , x2 = 3 , x3 = 3 . （
错的，打”X”）
17. 方程
2 1
）
（解法提示：展开后解方程）知识点参看第 1 章 P16
a 0 b 0 y 0 v 0 c x 0 0
（第 1 章．答案： a 4 ）知识点参看第 1 章 P16
第 1 章 P1
29. 齐 次线 性 方程 组的 解 的结 构 是： 齐次 线 性方 程 组的 通解 = （ ）. （答案： （基础解系的全体线性组合）知识点参看第 4 章 P117 第 3 章 P140 ). 30. m×n 矩阵阶 A m × n 的秩有性质： 0 ≤ r ( A m × n ) ≤ (
A . 其中 A 是 A 的伴随矩阵.
（ ） 第 2 章 P49 （ ） 第 2 章 P73
（解法提示： 有公式） 知识点参看第 2 章 P51 23. 关于逆矩阵, 有性质： ( A B ) 1 B 1 A 1 . （解法提示：有公式）知识点参看第 2 章 P63
24. 给定向量组 A : a1 , a 2 , , a m ，如果存在数 k1 , k 2 , , k m 使得
( A ) i 1, j 3 (B) i 2 , j 3 (C) i 1 , j 2 ( D) i 2 , j 1
（选 C.）知识点参看第 1 章 P16 第 1 章 P1 16. 设 D 是 n 阶行列式, 则下列各式中正确的是（
( A)
）.
n
n
i 1
a i j A i j 0 , j 1,2, , n ( B ) a1 j A 1 j D ( D)
第 1 章 P1
).
(A) a b2 b2 (C ) a b 2
( B ) (a 1) b 2 ( D) a b 2
（选 B . 需先将行列式算出) 知识点参看第 1 章 P16 4. 行列式
a 1 1 0 1 0 0 的充分必要条件是（ 4 a a
(A) a 2 (C ) a 2 (B ) a 2 ( D) a 2
n j 1
n
i 1
a i j A i j D , j 1,2, , n a i j A i j 0 , i 1,2, , n
(C )
j 1
（选 B. 解法提示：根据行列式展开定理知选 B. 它是行列式按 第 j 列展开的公式. ）知识点参看第 1 章 P16 第 1 章 P1
( c1 , c2 为不等于零的常数）有唯一
解，则 k 必须满足（ (A) k 0
）. (B) k 2 或 k 2
(C) k 2 或 k 2
(D) k 2 且 k 2
（选 D ）知识点参看第 3 章 P83 第 3 章 P109
2 1 4 0 1 1 3 0 1 2 1 3 1 4 0 2
a11 设A a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33 a14 则 a 24 , a34 0 0 1 a31 0 1 0 A a 21 a11 1 0 0
a32 a 22 a12 a33 a 23 a13 a34 a 24 . a14
（选 B . ）知识点参看第 6 章 P150 第 4 章 P168 14. 设 A , B 均为 n 阶矩阵，且 A 与 B 合同，则（ ）. A B ( A) A 与 B 相似 ( B) (C ) A 与 B 有相同的特征值 ( D) r ( A ) r ( B ) （选 D ）知识点参看第 6 章 P150 第 4 章 P168 15. 若 a 1i a 2 3 a 3 5 a 5 j a 4 4 是 5 阶行列式中带有正号的一项, 则 i , j 的 值应为（ ）.
1 0 1
( A ) 1 2, 2 0 (C ) 1 2, 2 可为任意数 ( B ) 1 2 2 ( D) 1 , 2 均可为任意数
第 1 章 P1
（选 C . 需先将行列式算出 ) 知识点参看第 1 章 P16 3.
1 a 1 1 已知行列式 D 1 1 b 1 , 则 D ( 1 1 1 b
8. 乘积 1 1 3 4
6 ( A) 20 1 (C ) 4 7
(
).
8 5 6
2 3 5 6
6 7 8 ( B) 20 5 6 6 8 7 ( D) 20 5 6
（选 A . 按矩阵乘法定义计算 ) 知识点参看第 2 章 P57 第 2 章 P51 9. 若 A , B 都 是 三 阶 可 逆 矩 阵 ， 则 下 列 结 论 不 一 定 正 确 的 是 ( ). T T T 1 1 1 ( A ) ( AB ) B A . ( B ) ( AB ) B A . 2 2 2 ( C ) ( AB ) B A . ( D ) ( AB ) B A . （选 D . 注意： 问的是： 不一定正确者 ) 知识点参看第 2 章 P53 第 2 章 P65 10. 若 β ( 0, k , k 2 ) 能由
第 1 章 P1
18. 行列式
0 d
的值等于 (ad bc) ( xv yu ).
（ V）
0 u
（解法提示：直接按行列式展开）知识点参看第 1 章 P16 第 1 章 P1
0 0 0 λ2 λ1 0 0
n ( n 1 ) 2
19. 行列式
0 λn
= λ 1λ 2 λ n .
（ ）
（解法提示：利用矩阵乘法）知识点参看第 2 章 P57 第 2 章 P51 二． 主观题
（三）填空题
0 a1 2 若 n 为奇数，则行列式 D a13 a1 n a1 2 0 a2 3 a2 n a13 a2 3 a3 n a1 n a2 n a3 n 0
27.
的值等于
（
） （答案 D 0. )
a b ab a
知识点参看第 1 章 P1
c abc d abcd 4a 3b 2c d
第 1 章 P51
28. 行列式 D
a 2a b 3a 2b c
等于（
）.
a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
α1 (1 k , 1, 1) , α 2 (1, 1 k , 1) , α 3 (1, 1, 1 k )
）. ( A ) k 0 ( B ) k 3 (C ) k 0 且 k 3 ( D ) k 任意. （选 C . ）知识点参看第 4 章 P112 第 3 章 P127 11. 设向量组 B : b1 , b2 ,, b r 能由向量组 A : a1 , a 2 , , a m 线性表示， 则( ). ( A) 当 r m 时，向量组 A 必线性相关 ( B) 当 r m 时，向量组 A 必线性相关 (C ) 当 r m 时，向量组 B 必线性相关 ( D) 当 r m 时，向量组 B 必线性相关 （选 D . 解法提示： 用反证法排除其余三种可能 ) 知识点参看第 4 章 P112 第 3 章 P127 12. 设 A 为 n 阶方阵，以下结论中成立的是（ ） ．
《线性代数》复习资料（2014 年 7 月修订版）
课程名称 名称 教材信息 （自 建学习中心 使用） 出版社 作者 版次
线性代数
线性代数 清华大学出版社、北京交通大学出版社 刘光旭 苏钰晴 编著 2014 年 4 月第 1 版
此教材用于自建学习中心（此版标注教材页码请见红色字体页 码） 名称 教材信息 （奥 鹏学习中心 使用） 出版社 作者 版次 线性代数 中国人民大学出版社 赵树嫄 主编 2013 年 1 月第 4 版
此教材用于奥鹏学习中心（此版标注教材页码请见蓝色字体页 码）
一． 客观题
（一） 选择题
1.
行列式
k 1 2
2 k 1
0 的充分必要条件是（
）.
( A) k 1 (C ) k 1 且 k 3
(B ) k 3 (D ) k 1 或 k 3
（选 C . 需先将行列式算出 ) 知识点参看第 1 章 P16 1 0 2 2. 若 3 1 2 0 , 则 1 , 2 必须满足（ ）.
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n 阶范德蒙行列式的计算公式是：
Vn 1 x1 n 1 x1 1 x2 n 1 x2 1 xn ( x j xi ) . 1 i j n n1 xn
（ ）
（解法提示：有公式）知识点参看第 1 章 P16 第 1 章 P1 22. A
1
1 A
a a
2
b b
2
c c
2
0 的充
( B ) abc (b a )(c a )(c b) ( D ) (b a )(c a )(c b) 1
（答案：选 A .）知识点参看第 1 章 P16 第 1 章 P1
2 x ky c1 7. 如果线性方程组 kx 2 y c2
（ X）
（第 1 章．. 解法提示：正确答案是： (1 )
1 2 n . ）
知识点参看第 1 章 P16 第 1 章 P1 20. 排列 32514 的逆序数为 5. （V ）
（第 1 章． 解法提示： 分别计算每个数的逆序，再相加）知识点参 看第 1 章 P16 21. 第 1 章 P1
唯一线性表示，则 k 等于（
( A) 若 A 可逆，则矩阵 A 属于特征值 的特征向量也是
矩阵 A
1
的属于特征值
1 的特征向量．
( B ) A 的特征向量即为方程 (E A) x o 的全部解． (C ) 若 A 存在属于特征值 的 n 个线性无关的特征向量， 则 A E ． ( D ) A 与 AT 不可能有相同的特征值． （选 A ）知识点参看第 5 章 P130 第 4 章 P168 13. n 阶方 阵 A 具有 n 个不 同的特 征值是 A 与对 角矩阵 相似的
k1 a1 k 2 a 2 k m a m o ,
则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关. （ X） （解法提示： 要求 k1 , k 2 , , k m 不全为零）知识点参看第 4 章 P112 第 3 章 P127 25. 设 n 阶方阵 A, B, C 满足关系式 ABC = E , 其中 E 是 n 阶单位 矩阵, 则必有关系式 BCA = E. （V） （解法提示：由 ABC = E 知 A, B, C 均为可逆矩阵,且 A 与 BC 互为逆矩阵, 因而 BCA = E. ） 知识点参看第 2 章 P63 第 2 章 P73 26.
i
) ( a0
i 1
1 ). ( C ) ai
a
i 1
n
i
.
( D )
i0
a
n
i
.
（选 B . 需先将行列式算出) 知识点参看第 1 章 P16 第 1 章 P1
bc ca ab
6. 设 a, b, c 两两互不相同，则行列式 D 分必要条件是 (
(A ) a b c 0 (C ) (a b c)(b a )(c a )(c b) 0 ).
第 1 章 P1
）.
（选 D . 需先将行列式算出) 知识点参看第 1 章 P16
a0 1 1 a1 0 0 1 0 0 1 0 0 an
n n
第 1 章 P1
5.
1 1
a2
(
).
( 其中 a1 a 2 a n 0 )
（ A ） 0.
( B )
(
a
i 1
（二） 判断题( 对的, 在后面的括号内打”V”,
1 x 2 1 x 1 1 1 1 x 0 的解为 x1 = 3 , x2 = 3 , x3 = 3 . （
错的，打”X”）
17. 方程
2 1
）
（解法提示：展开后解方程）知识点参看第 1 章 P16
a 0 b 0 y 0 v 0 c x 0 0
（第 1 章．答案： a 4 ）知识点参看第 1 章 P16
第 1 章 P1
29. 齐 次线 性 方程 组的 解 的结 构 是： 齐次 线 性方 程 组的 通解 = （ ）. （答案： （基础解系的全体线性组合）知识点参看第 4 章 P117 第 3 章 P140 ). 30. m×n 矩阵阶 A m × n 的秩有性质： 0 ≤ r ( A m × n ) ≤ (
A . 其中 A 是 A 的伴随矩阵.
（ ） 第 2 章 P49 （ ） 第 2 章 P73
（解法提示： 有公式） 知识点参看第 2 章 P51 23. 关于逆矩阵, 有性质： ( A B ) 1 B 1 A 1 . （解法提示：有公式）知识点参看第 2 章 P63
24. 给定向量组 A : a1 , a 2 , , a m ，如果存在数 k1 , k 2 , , k m 使得
( A ) i 1, j 3 (B) i 2 , j 3 (C) i 1 , j 2 ( D) i 2 , j 1
（选 C.）知识点参看第 1 章 P16 第 1 章 P1 16. 设 D 是 n 阶行列式, 则下列各式中正确的是（
( A)
）.
n
n
i 1
a i j A i j 0 , j 1,2, , n ( B ) a1 j A 1 j D ( D)
第 1 章 P1
).
(A) a b2 b2 (C ) a b 2
( B ) (a 1) b 2 ( D) a b 2
（选 B . 需先将行列式算出) 知识点参看第 1 章 P16 4. 行列式
a 1 1 0 1 0 0 的充分必要条件是（ 4 a a
(A) a 2 (C ) a 2 (B ) a 2 ( D) a 2
n j 1
n
i 1
a i j A i j D , j 1,2, , n a i j A i j 0 , i 1,2, , n
(C )
j 1
（选 B. 解法提示：根据行列式展开定理知选 B. 它是行列式按 第 j 列展开的公式. ）知识点参看第 1 章 P16 第 1 章 P1
( c1 , c2 为不等于零的常数）有唯一
解，则 k 必须满足（ (A) k 0
）. (B) k 2 或 k 2
(C) k 2 或 k 2
(D) k 2 且 k 2
（选 D ）知识点参看第 3 章 P83 第 3 章 P109
2 1 4 0 1 1 3 0 1 2 1 3 1 4 0 2
a11 设A a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33 a14 则 a 24 , a34 0 0 1 a31 0 1 0 A a 21 a11 1 0 0
a32 a 22 a12 a33 a 23 a13 a34 a 24 . a14