201609南开大学《线性代数》复习资料

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线性代数复习资料

线性代数复习资料1. 引言线性代数是一门研究向量空间与线性映射的数学学科。

它是现代数学的核心课程之一，广泛应用于计算机科学、物理学、工程学等领域。

本文将介绍线性代数的基本概念和关键知识，帮助读者进行复习。

2. 向量的基本概念与运算2.1 向量的定义向量是空间中的一个元素，通常用有序数对或有序数组表示。

向量的维度由其元素个数确定。

2.2 向量的运算线性代数中的向量运算包括加法、减法、数量乘法和点积。

这些运算具有相应的性质，如交换律、结合律、分配律等。

2.3 矩阵与向量的乘法矩阵与向量的乘法是线性代数中的重要运算，它将一个矩阵的每一行与一个向量进行点积运算，生成一个新的向量。

3. 线性方程组与矩阵的运算3.1 线性方程组的定义线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合。

线性方程组的解满足所有方程的等式关系。

3.2 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量，它与矩阵的维度和元素有关。

行列式的计算方法是按照一定的规则对矩阵的元素进行加减乘法运算。

3.3 矩阵的逆与转置矩阵的逆是指对于一个矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

3.4 线性方程组的解法线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵的逆解法和特殊矩阵求解法。

这些方法可以根据具体情况选择使用，以求得线性方程组的解。

4. 特征值与特征向量4.1 特征值与特征向量的定义特征值是一个标量，特征向量是与特征值对应的非零向量。

它们在线性代数中有着重要的应用。

4.2 特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解成特征值与特征向量的乘积，用于降低矩阵运算的复杂性，提高计算效率。

4.3 特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的计算可以通过求解矩阵的特征方程来完成。

特征方程的解即为特征值，对应的特征向量可以通过代入特征值求解得到。

5. 奇异值分解与最小二乘法5.1 奇异值分解的定义奇异值分解是将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，其它两个矩阵是正交矩阵。

《线性代数》复习要点及练习

第一章行列式复习要点：1. 会计算逆序数，余子式，代数余子式2. 熟练掌握行列式的性质，并能利用性质计算行列式3. 掌握克莱姆法则练习题：1. 排列1 6 5 3 4 2的逆序数是（）.A. 8 B ．9 C ．7 D ． 62122.431235-的代数余子式12A 是（）.A 2143-- B2143- C 4125--D4125-3. 排列32514的逆序数是（）.A. 3B. 4C. 5D. 64.关于行列式，下列命题错误的是（）.A. 行列式第一行乘以2，同时第二列除以2，行列式的值不变 B ．互换行列式的第一行和第三行，行列式的值不变 C ．互换行列式的任意两列，行列式仅仅改变符号 D ．行列式可以按任意一行展开 5. 关于行列式，下列命题正确的是（）.A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等B ．互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等C ．如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零D ．以上命题都不对6. 关于行列式，下列正确的是（）.A. 如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零.B. 互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等.C. 行列式中有两行对应成比例，则此行列式为零.D. 行列式与它的转置行列式互为相反数.7. 下列命题错误的是（）.A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组有唯一解 B ．如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组无解 C ．如果齐次线性方程组的系数行列式等于零，则该方程组有非零解 D ．如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解8212431235-的余子式32M =————，代数余子式32A =—————— 9. 已知k341k 000k 1-=，则k =__________.10. 若52k 74356=，则k =__________.11. 计算行列式|12345006|=_________ 12. 计算行列式|1111123413610141020| 13.计算行列式53-120172520-23100-4-14002350D =14. 计算行列式1234248737124088D =15.计算行列式x yyxx x y y yx x y+++第二章矩阵复习要点：1. 掌握矩阵的线性运算，矩阵乘法运算律，转置矩阵的运算律，2. 掌握矩阵的初等变换3. 掌握方阵行列式的性质，转置矩阵的性质，逆矩阵的性质4. 会求逆矩阵.了解待定系数法和伴随矩阵法，掌握用初等变换求解逆矩阵相关问题.能够证明矩阵的可逆性.5. 会用初等行变换求矩阵的秩6. 会求解矩阵方程练习题：1. 设A ，B 均为n 阶可逆阵，则下列公式成立的是( ). A T T T B A AB =)( B T T T B A B A +=+)( C 111)(---=B A AB D 111)(---+=+B A B A2. A,B 均为n 阶方阵，若要22(A B)(A B)A B +-=-不成立，需满足（）.A. A=E B ．B=O C ．A=B D ． AB ≠BA 3. 若方阵2A A,=A 不是单位方阵，则（）.A. A 0= B ． A 0≠ C ．A O = D ．A O ≠4.若矩阵111A 121231⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪λ+⎝⎭的秩为2，则λ=（）. A. 0 B ． 2 C ．1 D ． -15.矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=32015431A 的秩是（） 6. 110201211344⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 的秩是（）7. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321212113A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111012111B 求AB 和BA8. 设矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1021A 求32A A ，. 9. 设矩阵521320A ,B 341201--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求T T T(1)AB ;(2)B A;(3)A A.10.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=210111121A ，求逆矩阵11. 223110121⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.，求逆矩阵 12. 求矩阵X , 使B AX =, 其中.341352,343122321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A13. 求解矩阵方程,X A AX += 其中.010312022⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A.B AX X ,B ,A . 132231 11312221414=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=使求设15. 已知n 阶方阵A 满足矩阵方程2A 3A 2E O --=,其中A 给定，E 为n 阶单位矩阵，证明A 可逆，并求1A -. 16. 设A 、B 为n 阶矩阵，2A B AB E --=，2A A =，其中E 为n 阶单位矩阵.证明：A B -为可逆矩阵，并求()1A B --.17. 设方阵A 满足22A A E O --=，证明A 及2A E +都可逆.第三章线性方程组复习要点：1. 熟练掌握方程组解无解/有解/有唯一解/有无穷多解的充要条件2. 会求向量组的秩；能够验证向量组的线性相关性；会求向量组的极大线性无关组，并可以将其他向量用极大无关组线性表示.3. 熟练掌握基础解系的求解3. 会求解齐次线性方程组的通解，会求非齐次线性方程组的通解和特解练习题：1. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 23124010012⎛⎫ ⎪→λλ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭，当常数λ=（）时，此线性方程组有唯一解.A. -1 B ．0 C ．1 D ． 22. 已知n 元线性方程组b Ax =，其增广矩阵为B ，当（）时，线性方程组有解.A. ()n B r =B. ()n B r ≠C. ()()B r A r =D. ()()B r A r ≠3. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 23124010012⎛⎫ ⎪→λλ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭，当常数λ=（）时，此线性方程组有唯一解.A. -1 B ．0 C ．1 D ． 24. 设A 为m×n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充分必要条件是系数矩阵的秩r (A )（）A. 小于mB. 小于nC. 等于mD. 等于n5. 已知向量组1,,m αα线性相关，则（）.A 、该向量组的任何部分组必线性相关.B 、该向量组的任何部分组必线性无关.C 、该向量组的秩小于m .D 、该向量组的最大线性无关组是唯一的.6. 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D _____0. ( = 或 ≠)7. 已知线性方程组Ax b =有解，若系数矩阵A 的秩r(A)=4,则增广矩阵B 的r(B)=__________.8. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 312400120012⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪λ⎝⎭，则当常数λ=__________时，此线性方程组有无穷多解.9. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 300200a 11⎛⎫→ ⎪+⎝⎭，则当常数a =__________时，此线性方程组无解.10.λ取何值时，非齐次线性方程组 1231232123+1++x x x x x x x x x λλλλλ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解？取何值时，线性方程组当 11..λ ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3313123321321321x λλx x λλx x λλx λx x x λ 有唯一解、无解、无穷多解？当方程组有无穷多解时求出它的解.12.求下列方程组的通解.236222323754325432154321⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-+++=++++x x x x x x x x x x x x x x13. 判断下列向量组的线性相关性：（1）1234=-1,3,2,5=3-1,0-4=2,2,2,2=1,5,4,6αααα（），（，，），（），（）（2）1234=1,1,3,1=10,00=2,2,7,-1=3,-1,2,4αααα（），（，，），（），（） 14. 已知向量组()()()()T4T3T2T13 2 10 0 10 1 11 1 1α-====,,α,,,α,,,α,,,,求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.15. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---140113*********12211的列向量组()54321α,α,α,α,α的一个极大无关组,并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.16. 试证若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 17. 已知向量321ααα，，线性无关，证明向量11232βααα=+-,2123312βαααβαα=--=+，也是线性无关的。

《线性代数》复习重点内容-(详细版)

10. 方阵 A 是可逆矩阵 ⇐⇒ A 是非奇异矩阵 ⇐⇒ A 是满秩矩阵 ⇐⇒ |A| ̸= 0. 方阵 A 是不可逆矩阵 ⇐⇒ A 是奇异矩阵 ⇐⇒ A 是降秩矩阵 ⇐⇒ |A| = 0.
11. n 元线性方程组 Ax = b
(i) 无解的充要条件是
;
(ii) 有唯一解的充要条件是
(iii) 有无穷多个解的充要条件是
第3页
...
...
3. ak1 · · · akk
=
c11 · · · c1k b11 · · · b1n
...
...
...
...
cn1 · · · ank bn1 · · · bnn
. 【P. 7 例 5】 . 【P. 7 例 6】 . 【P. 14 例 10】
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三、16 个重要概念 1. 行列式【P. 6 定义】 2. 余子式、代数余子式【P. 16】 3. 矩阵【P. 29 定义 1】 4. 伴随矩阵【P. 41 例 9】 5. 逆矩阵【P. 43 定义 7】
6. 奇异矩阵、非奇异矩阵【P. 43】 7. 两个矩阵的等价【P. 59】 8. 矩阵的秩【P. 66】 9. 满秩矩阵、降秩矩阵【P. 66】 10. 线性相关、线性无关【P. 87 定义 4】 11. 最大无关组、向量组的秩【P. 90 定义 5、P. 91 推论】 12. 基础解系【P. 95】 13. 正交矩阵【P. 115 定义 4】 14. 特征值、特征向量【P. 117 定义 6】 15. 两个矩阵的相似【P. 121 定义 7】 16. 两个矩阵的合同【P. 129 定义 9】
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复习重点：第一部分行列式1．排列的逆序数（P .5例4；P .26第2、4题）2．行列式按行（列）展开法则（P .21例13；P .28第9题） 3．行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）第二部分矩阵 1．矩阵的运算性质2．矩阵求逆及矩阵方程的求解（P .56第17、18题；P .78第5题） 3．伴随阵的性质（P .41例9；P .56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P .116） 4．矩阵的秩的性质（P .69至71；P .100例13、14、15）第三部分线性方程组1．线性方程组的解的判定（P .71定理3；P.77定理4、5、6、7），带参数的方程组的解的判定（P.75例13；P .80第16、17、18题）2．齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3．非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换） 1．向量组的线性表示 2．向量组的线性相关性 3．向量组的秩第五部分方阵的特征值及特征向量 1．施密特正交化过程2．特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题）3．矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P .135第15、16、19、23题）要注意的知识点：线性代数1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-g⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值 5. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O，则： Ⅰ、12s A A A A =L ；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nE OF OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ :； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X :，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x :，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭Oλλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B :，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A -=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话） ②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L ； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M O M M M L（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭LM （全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ）； ④、1122n n a x a x a x β+++=L （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m αααL 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =L ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tm βββL 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4. ()()T r A A r A =；(101P 例15) 5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关 ⇔0α=；②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s αααL 线性相关，则121,,,,s s αααα+L 必线性相关；若12,,,s αααL 线性无关，则121,,,s ααα-L 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔= 向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P L ，使12l A P P P =L ；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~c A B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯L 可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯L 线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =L L （B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=Q ；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；。

线性代数考试重点

第一章行列式容易出选择填空题的内容：(1)求逆序数；(2)含某个因子的项（注意正负号）；(3)与余子式或代数余子式相关的内容；(4)已知|A| 求某个与A相关的行列式。

容易出大题的内容：行列式的计算。

其中，若已知行列式的阶数和每个元素的数值，则问题很简单，但要注意，对于2阶和3阶行列式，可用划斜线的方式（对角线法则）来计算。

而对于4阶或更高阶的行列式，不能采用对角线法则计算，此时必须利用行列式的性质将其化为上三角行列式从而得出结果，或者当某一行（列）非零元很少时，运用展开定理将该行（列）展开从而得到经过降阶的行列式计算。

对于n阶行列式的情形或者行列式元素中出现未知数，求解的难度较大，需要灵活的结合运用行列式的性质和展开定理。

一般来说，考试中都会出课本中已有的例题、习题，或者非常相似的题目。

第二章矩阵本章是《线性代数》中最重要的一章。

这里首先要注意行列式与矩阵在书写形式和表达意思上的区别（行列式用竖线表示，它是一个算式，能求出数值；矩阵用括号表示，它是一个数表，进行任何变动后矩阵都不再相等）。

此外，本章的初等变换（一共三种变换方式，尤其是行变换）虽然不会直接出大题，但很多大题与此相关，需重点掌握通过初等行变换将矩阵化为最简行阶梯矩阵的步骤，这里要注意两点：①初等变换与行列式变换的异同，②运用初等变换的第二种变换时，λ一定不能为0。

容易出选择填空题的内容：(1)低阶矩阵的加法、数乘和乘法运算；(2)与可逆矩阵（|A|≠0）相关的一些定性理论；(3)矩阵与行列式之间的综合运算，常用性质：|AB|=|A||B|，|kA|=k n|A|，|A-1|=1/|A|等，注意|A+B|≠|A|+|B|；(4)已知|A| 求与A*, A-1相关的行列式，通常会利用关系式A*=|A|A-1，将伴随矩阵化为逆矩阵，然后再计算行列式；容易出大题的内容：(1)矩阵求逆（最好用初等行变换方法）；(2)矩阵方程的计算，此类题目具有一定的灵活性，一般都先将方程写成诸如CX=B的形式，并通过初等行变换将矩阵(C B) 化成(E X) 即得结果，若方程化为XC = B 则可将方程两边进行转置后再计算，若化为CXD=B，则可令Y=CX，求出Y后再进一步求X，当然这里也先可以计算出C-1和D-1，然后再计算X=C-1BD-1，但要注意C-1和D-1的左右位置；(3)给出矩阵的一元二次方程，再求证某个矩阵可逆或者不可逆，证明可逆时，通常把方程化为(A+aE)(A+bE)=cE 的形式(c非零)，然后可的出结论(A+aE)-1=(A+bE)/c，证明不可逆时，通常可以把方程化为(A+aE)(A+bE)=0，然后对两边求行列式，并得出|A+aE|=0或者|A+bE|=0，（注：此处不能得出A+aE=0或A+bE=0）。

201609南开大学《线性代数》复习资料.

《线性代数》复习资料（2014 年 7 月修订版）课程名称线性代数名称线性代数教材信息（自出版社清华大学出版社、北京交通大学出版社作者刘光旭苏钰晴编著建学习中心使用）版次2014年 4月第 1版此教材用于自建学习中心（此版标注教材页码请见红色字体页码）名称线性代数教材信息（奥出版社中国人民大学出版社作者赵树嫄主编鹏学习中心使用）版次2013年 1月第 4版此教材用于奥鹏学习中心（此版标注教材页码请见蓝色字体页码）一．客观题（一）选择题1.行列式k12）.2k0 的充分必要条件是（1( A)k1( B ) k3(C ) k 1 且 k 3( D ) k 1 或 k 3（选 C . 需先将行列式算出) 知识点参看第 1 章 P16第1章P1 1022.若 3120,则1,2必须满足（）.101( A) (C )112,2,220( B )122可为任意数( D ) 1,2 均可为任意数（选 C . 需先将行列式算出) 知识点参看第 1 章 P16第1章P11a113. 已知行列式D 1 1b1,则D ( ).111b( A ) a b 2b2( B )(a 1) b2(C ) a b2( D ) a b 2（选 B . 需先将行列式算出 ) 知识点参看第 1 章 P16第1章P1a114.行列式0100 的充分必要条件是（）.4a a(A )a2(B ) a2(C )a2( D ) a 2（选 D . 需先将行列式算出 ) 知识点参看第 1 章 P16第1章P1 a01115.1a10010 a20() .( 其中 a1 a2a n0 )100a nn n1n na i .（A） 0. (B)( a ) ( a) .( C )( D ) a .i0a i i 1ii 1i 1i0（选 B . 需先将行列式算出 ) 知识点参看第 1 章 P16第1章P1b c c a a b6. 设a, b, c两两互不相同，则行列式D a b c0 的充分a 2b 2c 2必要条件是 () .( A ) a b c 0(B )abc(b a)(c a)(c b)(C ) (a b c)(b a)(c a)(c b) 0( D )(b a)(c a)(c b)1（答案：选 A .）知识点参看第 1 章 P16第1章P17. 如果线性方程组2x ky c1 ( c , c为不等于零的常数）有唯一kx2y c212解，则k 必须满足（）.(A) k0(B) k2或 k2(C) k 2 或 k 2(D) k2且 k2（选 D ）知识点参看第 3 章 P83第 3章 P1091 3 1 8. 乘积2 1 4 0 0 1 2 ). 11 3 41 3 ( 142( A)67 8 67 8205 6( B)5620(C)1 2 3 (D )7 6 8 456 2056（选 A . 按矩阵乘法定义计算 ) 知识点参看第 2 章 P57第 2章P519. 若A ,B 都是三阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是().( A )(AB)TB T A T .( B )(AB) 1 B 1A 1.(C ) (AB) B A . ( D ) ( AB)2 B 2A 2 .（选 D . 注意：问的是：不一定正确者 ) 知识点参看第 2 章 P53 第2章P6510. 若 β ( 0, k, k 2 ) 能由α1 (1 k, 1,1) ,α2 (1, 1 k, 1) ,α3 (1, 1, 1 k )唯一线性表示，则 k 等于（）.( A ) k0 (B) k3 (C ) k 0 且 k 3 ( D) k 任意 .（选 C . ）知识点参看第 4 章 P112 第 3章 P12711. 设向量组 B : b 1 , b 2 , ,b r 能由向量组 A : a 1 , a 2 , , a m 线性表示，则( ).( A) 当 r m 时，向量组 A 必线性相关(B) 当 r m时，向量组 A 必线性相关 (C) 当 rm 时，向量组 B 必线性相关(D) 当 rm时，向量组 B 必线性相关（选 D . 解法提示：用反证法排除其余三种可能 ) 知识点参看第 4章 P112 第 3 章 P127 12. 设 A 为 n 阶方阵，以下结论中成立的是（）．( A) 若 A 可逆，则矩阵 A 属于特征值的特征向量也是矩阵 A 1 的属于特征值1 的特征向量．(B) A 的特征向量即为方程 ( E A ) x o 的全部解．(C) 若 A 存在属于特征值的 n 个线性无关的特征向量，则A E ．(D )A 与 A T不可能有相同的特征值．（选 A ）知识点参看第 5 章 P130 第4章P16813. n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是A 与对角矩阵相似的 ().( A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件(C)必要而非充分条件 (D ) 既非充分也非必要条件（选B . ）知识点参看第 6 章 P150 第 4 章 P16814. 设 A , B 均为 n 阶矩阵，且 A 与 B 合同，则（）.( A) A 与B 相似(B) A B(C)A 与B 有相同的特征值 (D ) r ( A ) r ( B )（选 D ）知识点参看第 6 章 P150 第 4 章 P16815. 若 a 1ia 23a 3 5a 5 ja4 4是 5 阶行列式中带有正号的一项 , 则 i , j 的值应为（）.( A ) i 1, j 3 ( B) i 2, j 3 (C) i 1, j 2(D ) i2, j1（选 C.）知识点参看第 1 章 P16第1章P116. 设 D 是 n 阶行列式 , 则下列各式中正确的是（）.nn( A)ai jA i j0 , j 1,2,, n (B)a i jAi jD , j 1,2,, ni 1i 1nn(C )a 1 j A 1 jD( D )a i jAi j0 , i 1,2, , nj 1j 1（选. 解法提示：根据行列式展开定理知选 . 它是行列式按B B第 j 列展开的公式 . ）知识点参看第 1 章 P16 第1章P1（二）判断题 ( 对的 , 在后面的括号内打” V ” ,错的，打” X ”）17. 方程1 x2 121 x 1 0 的解为 x 1 =3, x 2 = 3, x 3 =3.（）111 x（解法提示：展开后解方程）知识点参看第 1 章 P16第1章P1a 0b 018. 行列式0 x 0 y的值等于 (adbc) (xvyu).（ V ）c 0d 00 u 0v（解法提示：直接按行列式展开）知识点参看第 1 章 P16第1章P1 00λ119.行列式λ20（ X）= λ1λ2λn .λn00（第 1 章． . 解法提示：正确答案是：(1)n ( n 1 )1 2n .）2知识点参看第 1 章 P16第1章P120.排列 32514的逆序数为 5.（V ）（第 1 章．解法提示：分别计算每个数的逆序，再相加）知识点参看第 1章 P16第1章P121.n阶范德蒙行列式的计算公式是：111x1x2x nV n( x j x i ) .（）1 i j nx n 1x n 1x n 112n（解法提示：有公式）知识点参看第 1 章 P16第1章P122.A11A .其中A是A的伴随矩阵.（）A（解法提示：有公式）知识点参看第 2 章 P51第 2章 P4923. 关于逆矩阵 , 有性质：(A B)1B1A1.（）（解法提示：有公式）知识点参看第 2 章 P63第 2章 P73 24.给定向量组 A : a1 , a2 , ,a m，如果存在数 k1 , k2 , ,k m使得k1a1k2a2k m a m o,则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关.（X）（解法提示：要求k1,k2,, k m不全为零）知识点参看第4章P112第3章P12725.设 n 阶方阵A, B, C满足关系式ABC=E,其中E是n阶单位矩阵, 则必有关系式BCA = E .（V）（解法提示：由 ABC = E 知 A, B, C 均为可逆矩阵 ,且 A 与 BC互为逆矩阵 , 因而 BCA = E .）知识点参看第 2 章 P63 第 2 章P7311a 12a 13140 0 1a 31a32a33a 34aa26. 设 A a 21a 22 a 23a 24 , 则0 1 0 Aa 21a 22 a 23 a 24 .（）a31a32a33a341 0 0a11a12a13a14（解法提示：利用矩阵乘法）知识点参看第 2 章 P57 第 2 章P51二．主观题（三）填空题0 a12a13a1 n27. 若 n 为奇数，则行列式a 1 2a 23a 2 nDa 1 3 a 2 3a 3 n 的值等于a 1 na 2 na 3n（）（答案 D 0.)知识点参看第 1 章 P1第 1章 P51a bcd28. 行列式 Da abab c a b c d 等于（）.a 2ab 3a2b c4a 3b2c da 3ab 6a 3bc 10a 6b 3c d（第 1 章．答案： a 4 ）知识点参看第 1 章 P16 第 1 章 P129. 齐次线性方程组的解的结构是：齐次线性方程组的通解=（）.（答案：（基础解系的全体线性组合）知识点参看第 4 章 P117 第 3 章 P14030. m ×n 矩阵阶 A m ×n 的秩有性质： 0 ≤ r ( A m ×n ) ≤ () .（答案： min { m, n }. ）知识点参看第 4 章第 5 章第 3 章第 4 章 31. 对任意向量 α和 β，其模的性质有三角不等式： α+ β ≤ ( ).（答案：α +32. 给定实二次型β . 有公式）知识点参看第 4 章第 3 章f ( x 1 , x 2 ,, x n ) , 它对应的实对称矩阵为A ，则我们可将它写成矩阵形式： f ( x1 ,x2 ,, x n ) = ().（第 5 章．答案：x T A x .利用二次型的矩阵表示）知识点参看第 7 章 P190第 5章 P2031231012333. 矩阵方程2012X3011的解是X () .110112201314(第2章.答案：100 3 .2121)知识点参看第 2 章P51第2章P4934. 设A, B, C均为n阶方阵，且AB B C CA E ,则A2B2C2().( 第 2 章. 答案：3E. )知识点参看第 2章P51第2章 P49（四）计算题121135. 求三次方程1x230的解 . 00x2002x解x1 x22,x3 2.36.设A x0, B u v,C3u,且A2B C O ,试7y y2x v求 x, y, u, v 的值.(第 2 章x5, y6, u 4, v 2. )知识点参看第2章P51第2章 P490 1 037.已知 A 1 0 0，求A2012.001解A 2012= ( A 4 )503 = = E . 要求复习时补上省掉的 .1 2 3 038. 给定矩阵 A0 1 2 1 ,试求矩阵 A 的秩.2 46 0解 2.39. 设 A2 5 ,求A 1.1 3解请复习时自己写出）1 2 340.设A 0 11, 求A 1.1 41解不存在逆矩阵 .1 0 041. 设 A 01 3 ,求 (A )T 1.其中 A 是 A 的伴随矩阵 .220 15242.1 1 1,矩阵X 满足A X A 1设矩阵 A1 1 12 X ,111其中 A 是A 的伴随矩阵, 求矩阵 X .43. 求未知量的值，使 A B ，其中x 2 3 2z y z 6 Ax, B18zy 2.6 y2y6z（第二章．按定义，先列出联立方程组，再解出：x 11, y 9, z3. 要求会写出过程）知识点参看第 2 章 P51第 2章 P49a1a2a300144. 已知A P10b1b2b3P m,m N，其中 P010,求矩阵c1c2c3100A .（第二章．提示：P 是交换一、三行的初等矩阵, 矩阵左乘P10相当于交换 10次一、三行的位置，仍为原矩阵 .矩阵右乘 P m相当于交换 m 次一、三列的位置.故当 m 为奇数时, A 为原矩阵交换一、a3a2a1三列后的矩阵 , 即b3b2b1；当 m 为偶数时,A为原矩阵.）知c3c2c1识点参看第 2 章 P51第 2章 P490001000100 245. 设 n 阶行列式A1,求 A 中所有元素的0000n110000n代数余子式之和 .（第二章．提示 :A中所有元素代数余子式,即A其中 A是矩阵A的伴随矩阵.而 A A A 1中的所有元素 ,( n 1 ) ( n 2 ) ( 1)20001000100211,因此A中所有元素的代数n !0000n110000n( n 1) ( n 2 )余子式之和 , 即A中的所有元素之和为( 1)2n ( n1) .)知2 n !识点参看第 2章 P51第2章P4946. 已知A22E,B A22A2E,证明B可逆,并求B的逆矩阵.（第二章．提示：由已知条件可得B A 2 2 A A 3A(A 2E)(A E),而由A22E, 可推出A可逆，且A11A2；(A E)(A2 A E )E,即A E可逆,且2(A E)1 A 2 A E；由 A 38 E10 E,得(A 2E)( A22A 4E) 10E,所以A2E可逆,且(A 2E) 11( A22A 4E).于是B可逆,且可推出B11( A2 3 A4E).）1010知识点参看第2章 P51 第 2章 P4947. 已知 A , B均为三阶矩阵 ,且满足2A1B B4E ,其中E是三120阶单位矩阵 .试证明矩阵 A2E可逆.若已给B120 ,求出002矩阵 A.020A110.)002121148. 已知方程组11k x 2 无解，试求k的值 .5k8 34（第 3 章按定义，列出联立方程组 . 然后解方程组 . 可求出k0.要求会写出计算过程）. 知识点参看第 3 章 P83第3章P109 11049. 设α 2 ,β2, γ 2 , 若T Tαβ xβγ x3β,试求此方1k1程组的通解 .（解由于112kT2 1 2k24 2 k,αβ112k1021T2021042,βγk02k k故所给的线性方程组可改写为14k13282k2x 6 .12k 22k3k对其增广矩阵作初等行变换，使之化为阶梯形矩阵14k 1 314k13A28 2 k 2 6(r ) 0 2k 2k 1 3 k 3B.1 2 k 2 2 k 3k000014k 13当 k 1 时 ,此时 A可化为矩阵 B10213,易知0000r (A) r ( B1 ) 2 3 . 故线性方程组有无穷多解：x1k 13 x x2c113,其中 c为任意常数.x3221101423当 k 1 时 ,此时 A可化为矩阵 B20000,易知0000r (A)r ( B2 )1 3.故线性方程组有无穷多解：x1423 x x2c11c2 00,其中 c1 , c2为两个任意常数 .）x3010x y z1,50. 已知方程组2x(a3) y3z3,有无穷多解 , 试求a, b的取2x( a1) y b z a1值及方程组的解 .（第3章答案：当a0, b1, 方程组的通解为(0, 1, 0 ) T k( 0, 1, 1)T .当a1, b 2,则方程组的通解为(0, 0, 1) T k( 1, 1, 0 )T . 要说明理由）知识点参看第2章P51第2章 P4951. 设A,B都是n阶矩阵,且 A 2 A B E,求矩阵( AB BA 2A)的秩.（第 4 章答案：r( AB BA2A )=r(2 A) =r( A ) = n. ）知识点参看第 6 章 P150第 4章 P16852.已知向量组β10,β2a b与向量组1 2 ,31β110139有相同的秩，且β3可由α1,α2,α31236α 2 , α0 , α317线性表出，求 a , b的值.（第 4 章b5, a 15 .）知识点参看第4章P107第4章P16853.已知α是齐次线性方程组 A x = 0 的基础解系,其中12113aA =1, 求a的值.a1260（第 4章答案：因为 A是43矩阵,基础解系中仅有一个解向量α, 故3 r (A)1, 即 r (A ) 2. 而12112113a011, 可见a0. ）知识点参看第4章a1100a260004aP107第4章P1681 2 354. 已知矩阵 A = 0 4 a 中 a0 , 且齐次线性方程组A x = 0 有非1 a 9零解 . A *是 A 的伴随矩阵 , 试求齐次方程组 A * x = 0 的通解 .（第4章答案：因齐次方程 A x = 0 有非零解 , 故1 2 3A 0 4 a24 2 aa 2 0.于是a 6 或 a4.因 a 0, 故取1 a 9a4.因 r ( A ) = 2, 所以 r ( A * ) = 1. 于是齐次方程组 A * x = 0有 nr (A *)=3 12. 又因 A * A = A E = 0 ,所以矩阵 A 的列向量是齐次方程组A * x = 0 的解. 故 A *x =0 的通解为k 1 (1, 0, 1) T + k 2 (1, 2, 2) T .）知识点参看第 4 章 P107 第 4章 P16855.设A 是3 4矩阵, 秩 r ( A ) = 1, 若 α1(1,2,0,2)T ,α2( 1, 1, a, 5 )T , α3 ( 3, a, 3, 5 )T , α4( 1, 1, 1, a) T 线性相关 , 且可以表示齐次线性方程组 A x = 0 的任一解 , 求 A x = 0 的基础解系 . （第 4章答案：因设 A 是 34矩阵, 秩 r ( A ) = 1, 所以 A x = 0 的基础解系有nr ( A ) = 3 个解向量. 由此知向量组α1 , α2 , α3 , α4 的秩为 3, 且其最大线性无关组就是A x = 0 的基础解系 . 对矩阵1 12 11 12 1 2 1 a 1施行初等变换得 03 a4 1 , 0 a 3 1 0a 3 1 a 02 55a0 (a3) (a 4) 0当且仅当 a3, 4或 1 时，向量组 α ,α , α , α的秩为 3, 从而1234推出 α , α , α123是 A x = 0 的基础解系 .）知识点参看第 4 章 P107第 4 章 P16856. 已知向量组（I ） α1 (1, 3, 0, 5 ) T, α2 ( 1, 2, 1, 4 ) T, α3 向量组（ II ） β (1, 3, 6, 1)T , β ( a, 0, b, 2) T 等价， 1 2（第 4 章答案 a 1 , b 3.解法提示：由于 α1(1,1, 2, 53)T 与求 a , b 的值 .2 α α, 只需2 3考察 α αβ , β的互相线性表出问题 . 作初等变换：1,2与 121 1 1 a 1 1 1 a [ α1 α2β1 , β2 ]3 2 3 0 0 1 63a16 b 0 16b5 4 1 216 2 5a1 1 1 a0 1 63a.方程组 x 1α1 x 2α2 β2有解0 0 0 b 3a 00 2 2ab 3 a 0a 1, b3.即（II ）可由( I )线性表出的充分必22 a要条件是 a1 , b3.11 1 1 反之，当 a1 , b 3. 时1 ,2123 0 3 2, [ β β α α ]6 3 0 112 5 41 1 1 10 3 6 5 方程组1 1 221与1 12 22均有解 ,. x x x0 0 0ββαxββα0 0 0 0 0说明 (I )可由 (II )线性表出 , 所以 (I )与(II )等价时 , a 1 , b 3. )知识点参看第 4 章 P107 第 4章 P168（五）证明题57. 若已知a 1 0 0Aa 2,其中 a i0 ( i 1, 2,, n ) .0 0a n求证其逆矩阵100a11100.A a2001 a nn （证因为A a i 0,所以 A 1存在.又i1100a100a110a2000a2 E ,00a n001 a n100a1a1001000a20a2 E .00100a na n所以58.证明线性方程组100a11A 100. ）a2001a nx12x2x31,2x1x22x32, 无解3x1x23x3 4.1 2 11（证方程组的增广矩阵为A2 1 2 2 ,对A施行适当3 1 34的初等行变换，将其化成阶梯形矩阵，即A r2r1( 2)121112110500r2(1)0100 r3r1( 3)0501505011211r3r250100,0001会求出 A 与A的秩，从而知r ( A )r ( A ) .故方程组无解.）59.试证明向量 b = ( 3, 5, 6 )可以用向量a1(1, 0, 1) ,a2( 1, 1,1), a3( 0, 1, 1),线性表示，并写出表示式.（证按定义，设存在数x1 , x2 , x3 , 使得b x1a1x2 a2x3a3成立 . 为此，应解如下线性方程组x1 x23x2x35x1x2x3 6.x111容易求得此方程组的唯一解为x214x39 ,故有 b 11a114 a29a3 . ）60. 证明f ( x1, x2, x3) 3x12 6 x1x3x22 4 x2 x38 x32是正定二次型 .(证因二次型f ( x1, x2, x3) 的矩阵为303A01 2 .328会写出 A 的各顺序主子式，并验证皆大于零.故由赫尔维茨定理知 f ( x1 , x2 , x3 ) 是一个正定二次型. )61.设 A = [ a i j]是n阶矩阵,如果a i j> ∑ a i j, i = 1, 2, , n ,j≠i证明矩阵 A 的列向量 αj = [ a 1 j , a 2 j , , a n j ]T ( j = 1, 2, , n ) 线性无关 .(第 4章答案：可用反证法 . 若存在不全为零的数 k 1, k 2 , , k n , 使得k α+ k2 α ++ k n α0 , 然后，设k i = max{k 1 , k 2 ,, k n},1 12n =显然 k i > 0.由 k ≠ 0, 知α可以由其余n 1个 αiij 线性表出，且αk 1α1k i1αi 1k i 1 αi1k nαn. 那么 , 其第 i个分量就ik ik ik ik i满足关系式： a i ik 1a i 1k i 1 a i i 1 ki 1a i i 1k na i n .从而有k ik ik ik iai ik j ai jk j ai ja i j . 这与已知条件矛盾 , 所以jik ijik ij iα1, α2 , , αn 线性无关 . )62. 设 A 是 n 阶矩阵 , α α , , αA x = 0 的基础解1 ,2 t是齐次方程组系, 若存在 βi, 使 A β=α, i = 1, 2, , t ,证明向量组i iα , α,, α,β1, β2, , βt12t线性无关 .(第 4章答：若存在不全为零的数 k 1 ,k 2 , , k t , l 1 , l 2 , , l t , 使得k α+ k 2 α + + k α+ l β+ + l β =0 , （ 1）1 12tt1 1ttα = 0 , A β α , i = 1, 2, , t 代入 , 得用A 左乘上式, 并把Aii = il α+ l2α ++ l tα0 ,（ 2）112t =因 α1 , α2 , , αt 是齐次方程组 A x =0 的基础解系 , 它们线性无关, 故对（ 2）必有 l 1 = 0, l 2 = 0, l t = 0.（1）式 , 有k α+ k 2 α + + k α = 0, 即向量α , α, , α , β1, β2, , βt112tt12t线性无关 . )63. 设 A 是 m ×n 矩阵 ,对矩阵 A 做初等行变换得到矩阵B , 证明矩阵 A 的列向量与矩阵 B 相应的列向量有相同的线性相关性 .(第 4章证法提示：因经初等行变换由 A 可得到 B ,故存在初等矩阵 P 1, P 2 , , P k 使 P kP 2P 1A B . 把矩阵 A , B 写成列向量形式：A = [ α1 α2αn], B = [ β1 β2βn ] , P =k 21 则有PP PP [ α1 α2αn ] = [ β1 β2 βn ] , 于是 P αi = βi (i = 1,2, , n ). A 的x列向量 α , α ,, α线性相关[ αj, αj , , αjx 2 0有非零解]j 1j 2j k 12kx kxxP[ α , α ,, α x 2 0有非零解[ β ββ ]x 2]j 1j 2 j kj 1j 2j kx kx k有非零解B 的列向量 β ββ线性相关 .）j 1 j 2 j k64. 已知 A 是 n 阶矩阵 , 且矩阵 A 中各行元素对应成比例 .α , α, , α 是 A x = 0 的基础解系 , 而 β 不是 A x = 0 的解. 证 1 2 t明任何一个 n 维向量都可由 α , α, , α β 线性表出 . 1 2 t ,(第 4 章答案提示：因为矩阵 A 中各行元素对应成比例 , 故r ( A ) = 1, 因此 t = n1.因为 α α , , α 1 是 A x = 0 的基础解 1 ,2 n 系,故 α , α, , α 1线性无关 . 若1 2 nk α + k α + + k α 1 s ,1 12 2 用A 左乘 n 1 n , n 0 得 ,并把 αi =(i = 1, 2,1.）代入上式, As A β= 0. 由于 A β≠ 0, 故 s = 0, 于是k α+ k α + + k n 1αn 1 0.1122从而 k 1 = 0, k 2 = 0, ,k n 1 0, s 0, 即有 α, α, , α , 1 2 n 1线性无关，故知任一 n 维向量 γ必可由 α , α , , α, β线性表12t出. k 1 = 0, k 2 = 0, , k n 1 0, s 0, )65. 已知向量组 α , α, , α 线性无关 , 若12tβ= k α + k2 α + + k t α，1 12t其中至少有 k ≠ 0 , 证明用 β 替换 α 后所得向量组iiα , α, , α ， β, α , α12i - 1i + 1 ,t线性无关 .(第 4章答案提示：如果α+ α + + h i 1 α + h βh i1α + h t αh 1 1h 2 2i - 1i + 1t = 0.将已知条件 β=k α + k α ++ k α 代入 , 并整理有1 12 2tt( h 1 + h k 1 )α1 + (h 2 + h k 2 )α2 + + ( h i1h k i 1 )α+h k i αii - 1( h i 1 h k i 1 ) αi + 1 + ( h t h k t ) α = 0.t由于已知向量组 α , α, , α线性无关 , 故必有1 2 t( h 1 + h k 1 ) = 0 , (h 2 + h k 2 ) = 0, , ( h i 1 h k i 1 )0 ，h k i= 0， ( h i1h k i 1 ) 0,,( h t h k t ) 0.由于 k i≠ 0 ,h k i0 知 h0 ,进而必有h1= 0 , h2 = 0, , h t0.α ,α,, α，β,α, ,αt线性无关.)所以向量组12i - 1i + 1。

线性代数知识点归纳,超详细

线性代数复习要点第一部分行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义1.行列式的计算：①(定义法)②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④若都是方阵（不必同阶）,则⑤关于副对角线：⑥范德蒙德行列式：证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。

⑦型公式：⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；3. 证明的方法：①、；②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；④、利用秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系：第二部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵方程的求解1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.a. 分块对角阵相乘：,b. 用对角矩阵○左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；c. 用对角矩阵○右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.④方阵的幂的性质：，⑤矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余子式.,, .分块对角阵的伴随矩阵：，矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：（无条件恒成立）r(A)与r(A*)的关系若r（A）=n，则不等于0，A*=可逆，推出r（A*）=n。

《线性代数》复习要点

行列式根据行列式定义确定乘积项的符号（排列的逆序数及奇偶性），余子式和代数余子式，行列式基本性质的运用行列式的计算：四阶行列式2题（1题不含字母、1题含字母）矩阵矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置），矩阵求逆，矩阵的秩和标准形（A 的秩为r ，则A 的标准形为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000r E .如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123456789的标准形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001 ），初等变换和初等矩阵矩阵计算题3题：矩阵运算、求逆矩阵、解矩阵方程（如，已知A 和一个含X 、A 、和1-A 或*A 或T A 的一个等式，求X ）矩阵证明题（例如，设A E A 562-=，证明E A 3+可逆，并求1)3(-+E A .）线性方程组判定线性方程组有无解，齐次线性方程组的基础解系，解（齐次或非齐次）线性方程组（并写出通解），非齐次线性方程组b Ax =和齐次线性方程组0=Ax 解之间的关系.向量向量组的线性组合和线性表示，线性相关和线性无关的性质和证明，向量组的等价，向量组的秩和极大（最大）线性无关组（其余向量用无关组表示）. 向量空间及其基和维数（例1，{}R x x x x x x x x x V ∈=543215432,,,,|),,,,0(的维数是4，)0,0,0,1,0(2=ε，)0,0,1,0,0(3=ε，)0,1,0,0,0(4=ε，)1,0,0,0,0(5=ε组成一个基；例2，{}R z y x y x z y x V ∈=,,|),,,,(的维数是3，)0,1,0,0,1(1=α，)1,0,0,1,0(2=α，)0,0,1,0,0(3=α组成一个基，任意向量都可表示成基的线性组合：321),,,,(αααz y x y x z y x ++=；）向量的内积、长度、正交等概念，向量组的正交化方法计算题：求向量组的极大线性无关组并将其余向量用极大无关组表示证明题：向量组的等价、线性无关等矩阵的对角化和二次型矩阵的相似：存在可逆阵P 使得B AP P =-1矩阵的相似对角化：B AP P =-1，B （为对角阵）其主对角线上元素是A 的全部特征向量，矩阵P 的列向量是一组线性无关的特征向量矩阵的合同：存在可逆阵C 使得B AC C T =二次型及其矩阵，二次型的秩和标准形（不唯一），化标准形的方法（正交变换法、配方法）正定二次型，正定矩阵及其判定二次型的惯性定理和规范形计算题：已知矩阵，求其特征值；已知矩阵的特征值（直接告知，或间接给出，如与对角阵相似，则对角阵主对角线上元素就是全部特征值），求其特征向-1为对角形量；求P使BAPP=。

线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和nnn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ〔奇偶〕排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

〔转置行列式〕TD D =②行列式中*两行〔列〕互换，行列式变号。

推论：假设行列式中*两行〔列〕对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的*一行〔列〕，等于k 乘以此行列式。

推论：假设行列式中两行〔列〕成比例，则行列式值为零；推论：行列式中*一行〔列〕元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行〔列〕可加性⑤将行列式*一行〔列〕的k 倍加到另一行〔列〕上，值不变行列式依行〔列〕展开：余子式、代数余子式ij M ijji ij M A +-=)1( 定理：行列式中*一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式时，有唯一解：0≠D )21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组：当系数行列式时，则只有零解01≠=D 逆否：假设方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:jiij a a =③反对称行列式:奇数阶的反对称行列式值为零ji ij a a -=④三线性行列式: 方法：用把化为零，。

化为三角形行列式333122211312110a a a a a a a 221a k 21a ⑤上〔下〕三角形行列式:行列式运算常用方法〔主要〕行列式定义法〔二三阶或零元素多的〕化零法〔比例〕化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念：〔零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)n m A * 矩阵的运算：加法〔同型矩阵〕---------交换、结合律数乘---------分配、结合律n m ij ka kA *)(= 乘法注意什么时候有意义nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑== 一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0转置A A TT =)(TTTBA B A +=+)((反序定理)T T kA kA =)(T T T A B AB =)(方幂：2121k k k kA AA += 几种特殊的矩阵：对角矩阵：假设AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数〔假设……〕单位矩阵、上〔下〕三角形矩阵〔假设……〕对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，假设存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)B A =-1 初等变换1、交换两行〔列〕2.、非零k 乘*一行〔列〕3、将*行〔列〕的K 倍加到另一行〔列〕初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的〔对换阵倍乘阵倍加阵〕等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵假设A 可逆，则满秩假设A 是非奇异矩阵，则r 〔AB 〕=r 〔B 〕初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵，行列式n ij n ij a k ka )()(=nijn nij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④假设A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

线性代数知识点归纳

线性代数知识点归纳线性代数是一门研究向量、向量空间、线性变换以及有限维线性方程组的数学分支。

它广泛应用于各个领域，如物理、计算机科学、工程学等。

线性代数的核心概念和工具包括行列式、矩阵、向量组以及线性方程组等。

下面将详细介绍线性代数的相关知识点。

一、行列式1.1 行列式的概念：行列式是一个函数，它从n×n阶方阵到实数（或复数）的映射。

行列式记作|A|，其中A是一个n×n的方阵。

1.2 逆序数：在n×n阶方阵A中，将行列式中元素a_ij与a_ji互换，所得到的新的行列式称为原行列式的逆序数。

1.3 余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij删去，剩下的(n-1)×(n-1)阶方阵的行列式称为原行列式的余子式，记作M_ij。

1.4 代数余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij替换为它的相反数，然后计算得到的新的行列式，称为原行列式的代数余子式，记作A_ij。

1.5 行列式的性质：行列式具有以下性质：（1）交换行列式中任意两个元素的位置，行列式的值变号。

（2）行列式中某一行（列）的元素乘以常数k，行列式的值也乘以k。

（3）行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相加，行列式的值不变。

（4）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相减，行列式的值变号。

1.6 行列式的计算方法：行列式的计算方法有：降阶法、按行（列）展开法、克拉默法则等。

二、矩阵2.1 矩阵的概念：矩阵是一个由数组元素构成的矩形阵列，矩阵中的元素称为矩阵的项。

矩阵记作A，其中A是一个m×n的矩阵，A_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

2.2 矩阵的线性运算：矩阵的线性运算包括加法、减法、数乘等。

2.3 矩阵的乘法：两个矩阵A和B的乘法，记作A×B，要求A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵。

矩阵的乘法满足交换律、结合律和分配律。

《线性代数》复习索引资料

《线性代数》复习索引资料求解⾏列式的两⼤⽅法 t 为p 1p 2....p n 的逆序数⾏标排列成标准次序列标是⾏标元素的所有全排的⼀种情况 n 阶就有n!个全排《线性代数》复习索引◇制作⼩新蜡笔721【使⽤前说明：本复习索引是我利⽤闲暇时间制作的只是提纲挈领的点了⼀下，仅仅是起⼀个引导作⽤。

其诸位在复习前⼀定先通看课本，做到对于书上的基本定理和相关题型做到熟练掌握才可。

囿于个⼈制作时间紧张，掌握理解能⼒有限，此复习索引仅做参考】第⼀章⾏列式1、三阶⾏列式的运算⽅法2、逆序数的求解：按⾃然顺序数开始查看。

例如32514 从1起，1的前⾯有三个数⽐1⼤（325）故逆序数为3，咱查看2的前⾯，以此类推把所有的数字相加求和，即为此排列的逆序数。

3、关于n 阶⾏列式的计算通式说明 ∑（-1）t a 1p1a 2p2...a npn4、转置⾏列式即为原来的⾏变成新的列，原来的列变为新的⾏。

5、⼀利⽤性质⾏列式与它的转置⾏列式相等互换⾏列式的两⾏（列）⾏列式变号⾏列式有两⾏（列）完全相同其为0 ⾏列式的某⼀⾏（列）所有的元素都乘以同⼀数k 是⽤主对⾓线副对⾓线K乘以此⾏（列）所有元素⾏列式中若有两⾏列对应成⽐例，等于0⾏列式的某⼀⾏列的元素是两数之和，则课拆成两个⾏列式，其中之前的和可以拆成两组把⾏列式的某⼀⾏列的各元素乘以同⼀个数然后加到另⼀⾏对应的元素上去，值不变（骅⼩结反复利⽤以上⾏列式的性质，把给定的⾏列式转化为三⾓⾏列式，使得算题⽅便）⼆降阶处理（必须理解什么是余⼦式？什么是代余⼦式？）思想把⾼阶的⾏列式⽤余⼦式的划去上下左右的⽅式，以达到降阶简化处理。

6、对于求解关于“齐次线性⽅程组有⾮零解”的问题利⽤定理5| 如果其次线性⽅程有⾮零解，则它的系数⾏列式必为零。

第⼆章矩阵及⾏列式1、⼏个基本的矩阵表⽰和意义（必须知道）O ——零矩阵元素都是零的矩阵E ——单位矩阵主对⾓线上的元素都是1对⾓型矩阵——主对⾓线上的元素都是不同的常数数量矩阵（纯矩阵）——主对⾓线上的矩阵都是同⼀常数2、矩阵与矩阵相乘前提条件：必须满⾜A的列等于B的⾏数才可以进⾏两矩阵相乘的运算。

线性代数期末复习知识点参考

行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1 已知，那么（）A.-24B.-12C.-6D.12 答案 B解析2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3. 行列式按行（列）展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____; 213122322333a A a A a A ++=___0___.4. 行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- （3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-（4）三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素a 33=1，按该行展开,D=a 33A 33,不用忘记a 33。

线性代数考试复习提纲、知识点、例题

线性代数考试复习提纲、知识点、例题一、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数xx 乘积之和，即1122...i i i i ni ni D a A a A a A =+++ 1,2,...,i n = 例1、计算行列式二、解矩阵方程矩阵方程的标准形式：若系数矩阵可逆，则切记不能写成或求逆矩阵的方法：1、待定系数法2、伴随矩阵法其中叫做的伴随矩阵，它是的每一行的元素的代数xx 排在相同序数的列上的矩阵。

112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3、初等变换法例2、解矩阵方程例3、解矩阵方程，其中三、解齐次或非齐次线性方程组设，元齐次线性方程组有非零解元齐次线性方程组只有零解。

当时，元齐次线性方程组只有零解。

当时，元齐次线性方程组有非零解。

当时，齐次线性方程组一定有非零解。

定义：设齐次线性方程组的解满足：（1）线性无关，（2）的每一个解都可以由线性表示。

则叫做的基础解系。

定理1、设，齐次线性方程组，若，则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于。

齐次线性方程组的通解设，元非齐次线性方程组有解。

唯一解。

无数解。

无解。

非齐次线性方程组的通解，例4、求齐次线性方程组的通解例5、求非齐次线性方程组的通解。

四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论例6、当为何值时，齐次线性方程组有非零解，并求解。

例7、已知线性方程组，问当为何值时，它有唯一解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。

五、向量组的线性相关性线性相关中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。

《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识

《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 3 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 3 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 4 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 4 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 5 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 5 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 5 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 7 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 8 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 8 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 8 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 8 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 9 -17、充分性与必要性的证明题 ................................................................................................................................... - 10 -18、伴随矩阵 ............................................................................................................................................................... - 10 -19、矩阵的标准形： ................................................................................................................................................... - 11 -20、矩阵的秩： ........................................................................................................................................................... - 11 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ............................................................................................................................... - 11 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 11 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 11 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 13 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 13 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 13 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 14 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 14 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 14 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 14 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 14 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 14 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 14 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。

《线性代数》复习笔记习题答案

题 3：计算 D 5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
1 3 1 2
1 3 1 2
1 3 1 2
解： D c1 c2 1 5 3 4 r2 r1 0 8 4 6 r2 r3 0 2 1 1
0 2 1 1 r4 5r1 0 2 1 1
0 8 4 6
5 1 3 3
0 16 2 7
0 16 2 7
2
3
1
2
22
3
2
2
4
6
1 1 1 12 12 12 2 2 2
矩阵的数乘每个元素均要乘以 k
111 1 1 1 111 2 A 2 1 2 3 12 22 32 2 4 6
111 1 1 1 111
行列式的数乘某行或者某列乘以 k
1 3
题
2.
A
2 1
1 1
0 3
，
B
10
0 3
0 2 1 2
1 1 3 1
01 1 1 11 3 1
00 10
1 3
3 3
1 1
1 4
93
AB BA ( A B)2 A2 2 AB B2 A2 B2 A B A B
2.转置矩阵、伴随矩阵、单位矩阵、逆矩阵
1）转置矩阵 A 。（行变列，列变行。）
解：按第一行展开
123
D 2 1 1 1 (1)11 1 1 2 (1)12 2 1 3 (1)13 2 1 1 6 15 8
32
12
13
132
123
若按第二列展开： D 2
1
1
2 A12
A22
3A32
2

线性代数复习要点

线性代数复习要点
如何复习？简单点说就是看课本，其实课本上的例题就是最好的教程和复习资料。

希望同学们考试前一定研究一遍例题，学会总结与归纳方法。

如果非要说重点那下面提到的地方希望多注意一下。

（重在理解）
第一章行列式
1、低阶行列式的求解方法
2、行列式的六大性质及推论P13 例4、P31 9(4)、P32 12(5)
3、按行（列）展开法则
4、看一下P15例6，想一想是不是也有分块思想P31 9(3)
5、范德蒙德行列式了解一下推导过程
第二章矩阵
1、掌握矩阵的运算（矩阵乘法不满足消去律）P38
2、逆矩阵性质及求法P46 P48例
3、P752
4、25
3、矩阵的初等变换
第三章向量空间（★★★所有定理理解）
1、施密特正交化P88
2、求极大线性无关组P94 例3
3、向量空间的理解P104 26
第四章线性方程组
1、求解方法P136例9、P137 6(2)
2、P129 2
第五章相似矩阵与二次型
1、特征值与特征向量的性质
2、矩阵的对角化，P148推论1、2
3、P146性质二
4、将二次型写成矩阵
5、正交变换法和配方法求标准二次型P160例2
6、判定二次型的有定性P165例3。

线性代数各章复习重点汇总

线性代数各章复习重点汇总线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间、线性变换、线性方程组等概念和性质。

下面是线性代数各章的复习重点汇总。

1.线性方程组：-线性方程组的基本概念和性质，包括齐次线性方程组、非齐次线性方程组等。

-线性方程组的解的存在性与唯一性，以及求解线性方程组的方法（高斯消元法、矩阵求逆法、克拉默法则等）。

-线性方程组的等价关系与等价变换。

2.矩阵与行列式：-矩阵的基本概念和性质，如矩阵的加法、减法、乘法等运算。

-方阵的特殊性质，如对称矩阵、反对称矩阵、单位矩阵等。

-行列式的定义和性质，包括行列式的展开定理、行列式的性质推导等。

3.向量空间：-向量空间的定义和性质，如线性相关性、线性无关性、基、维数等。

-子空间的概念和性质，包括子空间的交、和、直和等操作。

-线性组合、张成空间、极大线性无关组等概念。

4.线性变换与矩阵：-线性变换的定义和性质，包括线性变换的特征值、特征向量等。

-线性变换的矩阵表示，以及矩阵与线性变换之间的转换关系。

-线性变换的合成、逆变换等操作，以及线性变换的标准形式（例如，矩阵的对角化）。

5.特征值与特征向量：-特征值与特征向量的定义和性质，包括特征值的重数、特征向量的线性无关性等。

-特征值与特征向量的计算方法，如特征方程的求解、特征值的代入等。

-特征值与特征向量的应用，如对角化矩阵、相似矩阵等。

6.正交性与标准正交基：-向量的正交性和标准正交性的概念和性质，包括向量的点积、向量的夹角等。

-标准正交基的定义和求解方法，如施密特正交化过程等。

-正交矩阵的定义和性质，以及正交矩阵与标准正交基之间的关系。

以上是线性代数各章的复习重点汇总，希望能够帮助你理清知识重点，并提高复习效率。

祝你取得好成绩！。