广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习立体几何试题精选29

立体几何29
26.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

（1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1；
（2） 求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

解法一：（1）在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点F 1， 连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD ， 所以CD =//
A 1F 1，A 1F 1CD 为平行四边形，所以CF 1//A 1D ， 又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点，所以EE 1//A 1D ，
所以CF 1//EE 1，又因为1EE ⊄平面FCC 1，1CF ⊂平面FCC 1， 所以直线EE 1//平面FCC 1.
E
A
B C
F
E 1
A 1
B 1
C 1
D 1
D
F 1
O P
E
A
B
C
F
E 1
A 1
B 1
C 1
D 1
D
解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F 是棱AB 的中点, 所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为ABCD 为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF 的中点M, 连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,
以DM 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴建立空间直角坐标系, ,则D （0,0,0）,A
）,F
）,C （0,2,0）,
C 1（0,2,2）,E
（
2
,
12
-
,0）,E 1
（
,-1,1）,所以
131
(
,1)22
EE =-,(3,1,0)CF =-
,1(0,0,2)CC =1(,2)FC =设平面CC 1F 的法向量为(,,n x y z =则100n CF n CC ⎧⋅=⎪⎨
⋅
=⎪⎩所以0
0y z -==⎪⎩取(1,3,0)n =,
则131
11002
n EE ⋅=
⨯-⨯=,所以1n EE ⊥,所以直线EE 1//平面FCC 1.
E A
y
27.如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆
是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，
PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．
（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；
（II ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并
求点M 到OA ，OB 的距离．
证明：（I ）如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -， 则
()0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),
O A B C -(0,0,6),(0,4,3),P E -()4,0,3F ，由题意得，()0,4,0,G 因
(8,0,0),(0,4,3)OB OE ==-，因此平面BOE 的法向量为
(0,3,4)n =，(4,4,3FG =--得0n FG ⋅=，又直线FG 不在平
面BOE 内，因此有//FG 平面BOE
x
y
z
（II ）设点M 的坐标为()00,,0x y ，则00(4,,3)FM x y =--，因为FM ⊥平面BOE ，所以有
//FM n ，因此有0094,4x y ==-，即点M 的坐标为94,,04⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，在平面直角坐标系xoy 中，
AOB ∆的内部区域满足不等式组008x y x y >⎧⎪
<⎨⎪-<⎩
，经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以
在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，由点M 的坐标得点M 到OA ，OB 的距离为
94,4
． 28
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、
F 分别是1A B 、1
AC 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。

求证：（1）EF∥平面ABC ；
（2）平面1A FD
⊥平面11BB C C
.
29．
如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； （III ）求二面角A-CD-E 的余弦值。

本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解
决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。

满分12分. 方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE ，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF 与DE 所成的
角。

设P 为AD 的中点，连结EP ，PC 。

因为FE //=AP ，所以FA //=EP ，同理AB //=PC 。

又FA⊥平面ABCD ，所以EP⊥平面ABCD 。

而PC ，
AD 都在平面ABCD 内,故EP⊥PC，EP⊥AD。

由AB⊥AD，可得PC⊥AD 设FA=a ，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=
a 2，故
∠CED=60°。

所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°
方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，
点A 为坐标原点。

设，1=AB 依题意得()，，，001B ()，，，011C ()，，，020D ()，，，110E ()，，，100F .21121M ⎪⎭⎫ ⎝
⎛，，
（I ）()，，，解：101-= ()，
，，110-=
.2
1
221
00=∙++=
=
于是
所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为0
60.
（II ）证明：，，，由⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21121
()，，，101CE -= ()0AM CE 020AD =∙=，可得，，，
.AMD CE A AD AM .AD CE AM
CE .0平面，故又，因此，⊥=⊥⊥=∙
.CDE AMD CDE CE 平面，所以平面平面而⊥⊂。