2024年拉萨市重点中学九年级数学第一学期开学监测试题【含答案】

2024年拉萨市重点中学九年级数学第一学期开学监测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）若0a <，则下列不等式不成立的是（）．A ．57a a +<+B ．57a a >C ．57a a -<-D ．57a a >2、（4分）把直线3y x =--向上平移m 个单位后，与直线24y x =+的交点在第二象限，则m 的取值范围是（）A ．17m <<B ．34m <<C ．1m >D ．4m <3、（4分）在一次数学测验中，一学习小组七人的成绩如表所示:成绩(分)788996100人数1231则这七人成绩的中位数是()A ．22B ．89C ．92D ．964、（4分）下列命题中，假命题的是（）A ．矩形的对角线相等B ．平行四边形的对角线互相平分C ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D ．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
5、（4分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是()
A ．四边形
B ．五边形
C ．六边形
D ．八边形
6、（4分）如图，ABCD 是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：
则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（）A ．仅甲正确B ．仅乙正确C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误7、（4分）下列各曲线中能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．8、（4分）如图，在三角形中，，平分交于点，且，，则点到的距离为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，DE AC ⊥于点E ，BF AC ⊥于点F ，12180∠+∠=，求证：AGF ABC ∠=∠．试将下面的证明过程补充完整(填空)：
证明：DE AC ⊥，(BF AC ⊥已知)
90(AFB AED ∴∠=∠=______)
//(BF DE ∴同位角相等，两直线平行)，
23180(∴∠+∠=两直线平行，同旁内角互补)，
学校_
__
__
_____
___
__
_班级__
___
__
__
___姓名_
__
__
_____
__考场_
_____
___
___准考证号…
…
…
……
…
…
…
……
密…
…
…
…
封…
……
…
线
…
…
…
…内
…
…
…
…不
…
…
…
…
要
……
……
答
…
…
…
…
题
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
又12180(∠+∠=已知)，1∴∠=______，(同角的补角相等)//GF ∴______(内错角相等，两直线平行)，.(AGF ABC ∴∠=∠______)10、（4分）使函数0(21)3y x x =-+有意义的x 的取值范围是________.11、（4分）方程x 4﹣16＝0的根是_____．12、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，EF 是△BCD 的中位线，且EF ＝4，则AD ＝___．13、（4分）已知一次函数y 2x 6=-与y x 3=-+的图象交于点P ，则点P 的坐标为______．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，已知菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点C 作CE ∥BD ，过点D 作DE ∥AC ，CE 与DE 相交于点E ．(1)求证：四边形CODE 是矩形；
(2)若AB ＝5，AC ＝6，求四边形CODE 的周长．
15、（8分）如图，在四边形ABCD 中，CA 平分BCD ∠，AC AB ⊥，E 是BC 的中点，
AD AE ⊥，过E 作EG AB ⊥于G ，并延长EG 至点F ，使EF EB =．（1）求证：2AC CD BC =⋅；（2）若30B ∠=，求证：四边形AFEC 是菱形．16、（8分）计算能力是数学的基本能力，为了进一步了解学生的计算情况，初2020级数学老师们对某次考试中第19题计算题的得分情况进行了调查，现分别从A 、B 两班随机各抽取10名学生的成绩如下：A 班10名学生的成绩绘成了条形统计图，如下图，B 班10名学生的成绩（单位：分）分别为：9，8，9，10，9，7，9，8，10，8经过老师对所抽取学生成绩的整理与分析，得到了如下表数据：A 班B 班
平均数8.3a
中位数b 9
众数8或10c
极差43
方差 1.810.81根据以上信息，解答下列问题．（1）补全条形统计图；（2）直接写出表中a ，b ，c 的值：a ＝，b ＝，c ＝；（3）根据以上数据，你认为A 、B 两个班哪个班计算题掌握得更好？请说明理由（写出其中两条即可）：．（4）若9分及9分以上为优秀，若A 班共55人，则A 班计算题优秀的大约有多少人？17、（10分）为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h ，精确到1h ，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出扇形统计图中百分数a 的值为_____，所抽查的学生人数为______．（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全条形统计图．（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．（4）如果该校共有学生1800名，请你估计睡眠不足（少于8小时）的学生数．18、（10分）如图，ABC ∆的顶点坐标分别为()0,1A ()3,3B ，()1,3C .
（1）画出ABC ∆关于点O 的中心对称图形111A B C ∆；
（2）画出ABC ∆绕原点O 逆时针旋转90︒的222A B C ∆，直接写出点2C 的坐标
（3）若ABC ∆内一点()P m n ,绕原点O 逆时针旋转90︒的上对应点为Q ，请写出Q 的坐标.(用含m ，n 的式子表示).
B 卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图是中国在奥运会中获奖牌扇形统计图，由图可知，金牌数占奖牌总数的百分率是_____，图中表示金牌百分率的扇形的圆心角度数约是____________.（精确到1°）20、（4分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为_____.21、（4分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若∠AOD ＝60°，AD ＝2，则AC 的长为_____．22、（4分）化简的结果为______．23、（4分）如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…依此类
推，若正方形①的边长为64m ，则正方形⑨的边长为________cm ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，已知反比例函数y 1＝的图象与一次函数：y 2＝ax+b 的图象相交于点A （1，4）、B （m ，﹣2）（1）求出反比例函数和一次函数的关系式；（2）观察图象，直按写出使得y 1＜y 2成立的自变量x 的取值范围；（3）如果点C 是x 轴上的点，且△ABC 的面积面积为6，求点C 的坐标．25、（10分）如图，在4×3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.(1)分别求出线段AB ，CD 的长度；(2)在图中画线段EF ，使得EF 以AB ，CD ，EF 三条线段能否构成直角三角形，并说明理由.26、（12分）求证：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（要求：画出图形，写出已知、求证和证明过程）
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D 【解析】试题分析：A 、a ＜0，则a 是负数，a+5＜a+7可以看作5＜7两边同时加上a ，故A 选项正确；B 、5a ＞7a 可以看作5＜7两边同时乘以一个负数a ，不等号方向改变，故B 选项正确；C 、5﹣a ＜7﹣a 是不等号两边同时加上﹣a ，不等号不变，故C 选项正确；D 、a ＜0，5a ＞7a 可以看作15＞17两边同时乘以一个负数a ，不等号方向改变，故D 选项错误．故选D ．考点：不等式的性质．2、A 【解析】根据平移特征：3y x =--向上平移m 个单位后可得：3y x m =--+，再根据与直线的交点，组成方程组，解关于x ，y 的方程，得到x,y 关于m 的代数式，二象项的点横坐标小于1.纵坐标大于1,组成不等式组，即可得到答案.【详解】解：直线3y x =-向上平移m 个单位后可得：3y x m =--+，联立两直线解析式得：324y x m y x =--+⎧⎨=+⎩，解得：1(7)
32(7)4
3x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，
即交点坐标为1((7)3m -，2
(7)4)3m -+，
交点在第二象限，
∴1(7)032(7)403m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩，解得：17m <<．故选：A ．本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于1、纵坐标大于1．3、D 【解析】根据中位数的定义求解即可.【详解】∵从小到大排列后，成绩排在第四位的是96分，∴中位数是96.故选D.此题主要考查了中位数的意义，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．4、D 【解析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的对角线进行判断即可．【详解】A 、矩形的对角线相等，是真命题；B 、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；C 、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；
D 、对角线平分、相等且互相垂直的四边形是正方形，是假命题；
故选：D ．
本题考查了从对角线来判断特殊四边形的方法：对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形为菱形；对角线互相平分且相等的四边形为矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．也考查了真命题与假命题的概念．
5、C
【解析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．【详解】解：设所求多边形边数为n ，由题意得（n ﹣2）•180°＝310°×2解得n ＝1．则这个多边形是六边形．故选C ．本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于310°，n 边形的内角和为（n ﹣2）•180°．6、C 【解析】试题解析：根据甲的作法作出图形，如下图所示.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，.DAC ACB ∴∠=∠∵EF 是AC 的垂直平分线，.AO CO EF AC ∴=⊥，在AOE △和COF 中，EAO BCA
AO CO AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AOE △≌COF ，.
AE CF ∴=又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形.
EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形.故甲的作法正确.根据乙的作法作出图形，如下图所示.∵AD ∥BC ，∴∠1=∠2，∠6=∠7.∵BF 平分ABC ∠，AE 平分BAD ∠，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∴∠1=∠3，∠5=∠7，AB AF AB BE ∴==，，.AF BE ∴=∵AF ∥BE ，且AF BE =，∴四边形ABEF 是平行四边形.∵AB AF =，∴平行四边形ABEF 是菱形.故乙的作法正确.故选C.点睛：菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四条边相等的平行四边形是菱形.
7、B
【解析】
因为对于函数中自变量x 的取值,y 有唯一一个值与之对应,故选B.
8、C
【解析】
如图，在△ABC 中，∠C=90∘，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且BD=1CD ，BC=9cm ，则
点D 到AB 的距离.【详解】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵BD ：DC=1：1，BC=6，∴DC=×6=1，∵AD 平分∠BAC ，∠C=90∘，∴DE=DC=1．故选：C ．本题考查角平分线的性质和点到直线的距离，解题的关键是掌握角平分线的性质.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、垂直的定义；3∠；BC ；两直线平行，同位角相等【解析】根据垂线的定义结合平行线的判定定理可得出//BF DE ，由平行线的性质可得出23180∠+∠=︒，结合12180∠+∠=︒可得出13∠=∠，从而得出//GF BC 。

根据平行线的性质即可得出AGF ABC ∠=∠，此题得解.【详解】证明：,DE AC BF AC ⊥⊥，∴90AFB AED ∠=∠=︒（垂直的定义），∴//BF DE （同位角相等，两直线平行），∴23180∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），
又12180∠+∠=︒，
∴13∠=∠（同角的补角相等），
∴//GF BC （内错角相等，两直线平行），
∴AGF ABC ∠=∠（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：垂直的定义；3∠；BC ；两直线平行，同位角相等.
本题考查了平行线的判定与性质以及垂线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题的关键.10、3x >-且12x ≠【解析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案．【详解】解：由题意，得30210x x +⎧⎨-≠⎩＞，解得x ＞-3且12x ≠．故答案为：x ＞-3且12x ≠．本题考查函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不能为零得出不等式是解题关键．11、±1【解析】根据平方根的定义,很容易求解,或者把方程左边因式分解,通过降次的方法也可以求解.【详解】∵x 4﹣16＝0，∴(x 1+4)(x +1)(x ﹣1)＝0，∴x ＝±1，∴方程x 4﹣16＝0的根是x=±1，故答案为±1．
该题为高次方程，因此解决该题的关键，是需要把方程左边因式分解，从而达到降次的目的，把高次方程转化为低次方程，从而求解.
12、1．
【解析】
利用三角形中位线定理求出BC ，再利用平行四边形的对边相等即可解决问题.
【详解】
∵EF 是△DBC 的中位线，∴BC ＝2EF ＝1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ＝1，故答案为1．此题考查平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题关键在于利用中位线的性质计算出BC 的长度13、(3,0)【解析】解方程组263y x y x =-⎧⎨=-+⎩，可得交点坐标.【详解】解方程组263y x y x =-⎧⎨=-+⎩，得30x y =⎧⎨=⎩，所以，P (3,0)故答案为(3,0)本题考核知识点：求函数图象的交点.解题关键点：解方程组求交点坐标.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、(1)证明见解析；（2）14.【解析】
试题分析：（1）先证明四边形CODE 是平行四边形，再利用菱形的性质得到直角，证明四边形CODE 是矩形．（2）由勾股定理可知OD 长，OC 是AC 一半，所以可知矩形的周长.试题解析：
（1）∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，
∴四边形CODE 是平行四边形，
∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠DOC ＝90°，∴□CODE 是矩形；（2）在菱形ABCD 中，OC ＝12AC ＝12×6＝3，CD ＝AB ＝5，在Rt △COD 中，OD 4==，∴四边形CODE 的周长即矩形CODE 的周长为：2（OD ＋OC ）＝2×（4＋3）＝14.15、（1）见详解；（2）见详解【解析】（1）欲证明AC 2＝CD •BC ，只需推知△ACD ∽△BCA 即可；（2）利用“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AKEC 的四条边都相等，则四边形AKEC 是菱形．【详解】证明：（1）∵AC 平分∠BCD ，∴∠DCA ＝∠ACB ．又∵AC ⊥AB ，AD ⊥AE ，∴∠DAC +∠CAE ＝90°，∠CAE +∠EAB ＝90°，∴∠DAC ＝∠EAB ．又∵E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ，∴∠EAB ＝∠ABC ，∴∠DAC ＝∠ABC ，∴△ACD ∽△BCA ，∴AC CD
BC AC =，
∴AC 2＝CD •BC ；
（2）证明：∵EF ⊥AB ，AC ⊥AB ，
∴EF ∥AC ，
又∵∠B ＝30°，
∴AC ＝12BC ＝EB ＝EC ．
又EF ＝EB ，
∴EF ＝AC ，即AF ＝FE ＝EC ＝CA ，∴四边形AFEC 是菱形．本题考查了四边形综合题，需要熟练掌握相似三角形的判定与性质，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”以及菱形的判定才能解答该题．16、（1）见解析；（2）8.7，8，9；（3）B 班计算题掌握的更好，理由见详解；（4）A 班计算题优秀的大约有22人．【解析】（1）先根据A 班的总人数求出成绩为10分的人数，然后即可补全条形统计图；（2）利用平均数的公式121()n x x x x n =+++和中位数，众数的概念求解即可；（3）通过对比两班的平均数，中位数，众数，极差和方差即可得出答案；（4）用总人数55乘以优秀人数所占的百分比即可得出答案．【详解】（1）成绩为10分的人数＝10﹣1﹣2﹣3﹣1＝3，补全条形统计图如图所示，
（2）a＝1
10（9+8+9+10+9+7+9+8+10+8）＝8.7；
中位数是将A班的10个成绩按照从小到大的顺序排列之后处于中间位置的数，此时第5个
数和第6个数都是8，所以
888
2
b+
==；
众数为B班成绩中出现次数最多的数，可以看出9出现了4次，次数最多，所以c＝9；（3）B班学生计算题掌握得更好，理由：
B班的平均分高于A班，B班的中位数高于A班；
（4）55×13
10
+
＝22人，
答：A班计算题优秀的大约有22人．
本题主要考查数据的分析与整理，掌握平均数，中位数，众数的求法是解题的关键．
17、（1）45%，60人；（2）18人，条形统计图见解析；（3）众数7，平均数7.2；（4）1170人．
【解析】
（1）用1减去每天的平均睡眠时间为6小时，8小时，9小时所占的百分比即可求出a的值，用每天的平均睡眠时间为6小时的人数除以其所占的百分比即可得到总人数；
（2）用总人数乘以每天的平均睡眠时间为8小时所占的百分比即可求出睡眠时间为8小时的人数，用总人数乘以a的值即可求出睡眠时间为7小时的人数，然后即可补全条形统计图；（3）根据众数和平均数的定义计算即可；
（4）先计算出睡眠时间少于8小时的人所占的百分比，然后用总人数1800乘以这个百分比即可得出答案．
【详解】
（1）120%30%5%45%
a=---=，
所抽查的学生人数为1220%60
÷=（人）；
（2）平均睡眠时间为8小时的人数为6030%18
⨯=（人），
平均睡眠时间为7小时的人数为6045%27
⨯=（人），
条形统计图如下：
（3）由扇形统计图可知，睡眠时间为7小时的人数最多，所以这部分学生的平均睡眠时间的众数为7，平均数为1262771881937.260⨯+⨯+⨯+⨯=；（4）12271800117060+⨯=（人）本题主要考查条形统计图和扇形统计图，掌握条形统计图和扇形统计图以及众数，平均数的求法是解题的关键．18、（1）见解析；（2）2C ()3,1-，见解析；（3）Q (),n m -.【解析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2，从而得到点C 2的坐标；（3）利用（2）中对应点的规律写出Q 的坐标．【详解】解：(1)如图，111A B C ∆为所作；(2)如图，222A B C ∆为所作，点2C 的坐标为()3,1-；
(3)若ABC ∆内一点(),P m n 绕原点O 逆时针旋转90︒的对应点为Q ，则Q 的坐标为(),n m -．故答案为：（1）见解析；（2）2C ()3,1-，见解析；（3）Q (),n m -.本题考查作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、51%；184°.【解析】先利用1-28%-21%得出金牌数占奖牌总数的百分比，然后用360°去乘这个百分比即可．【详解】解：1-28%-21%=51%360°×51%=183.6°≈184°故答案为：51%；184°考查扇形统计图的制作方法，明确扇形统计图的特点，是解决问题的关键．20、（-2，-2）【解析】先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标．【详解】“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），
故答案是：（﹣2，﹣2）．
考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置．21、1
【解析】
利用直角三角形30度角的性质，可得AC=2AD=1．
【详解】解：在矩形ABCD 中，OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC ，∵∠AOD=60°，∴∠OCD=12∠AOD=12×60°=30°，又∵∠ADC=90°，∴AC=2AD=2×2=1．故答案为1．本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键22、【解析】=.【详解】=故答案为：a =是解题的关键．23、4【解析】第一个正方形的边长为64cm ，则第二个正方形的边长为64×2cm ，第三个正方形的边长
为64×（2）2cm ，依此类推，通过找规律求解．
【详解】
根据题意：第一个正方形的边长为64cm ；
第二个正方形的边长为：64×2=cm ；
第三个正方形的边长为：64×（22）2cm ，…此后，每一个正方形的边长是上一个正方形的边长的2，所以第9个正方形的边长为64×（2）9-1=4cm ，故答案为4本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）反比例函数的解析式为y 1＝，一次函数的解析式为y 1＝1x+1；（1）﹣1＜x ＜0或x ＞1；（3）C 的坐标（1，0）或（﹣3，0）．【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，可得答案；（3）根据面积的和差，可得答案．【详解】（1）∵函数y 1＝的图象过点A （1，4），即4＝，∴k ＝4，即y 1＝，又∵点B （m ，﹣1）在y 1＝上，
∴m ＝﹣1，
∴B （﹣1，﹣1），
又∵一次函数y 1＝ax+b 过A 、B 两点，
即，解之得．∴y 1＝1x+1．反比例函数的解析式为y 1＝，一次函数的解析式为y 1＝1x+1；（1）要使y 1＜y 1，即函数y 1的图象总在函数y 1的图象下方，∴﹣1＜x ＜0或x ＞1；（3）如图，直线AB 与x 轴交点E 的坐标（﹣1，0），∴S △ABC ＝S △AEC +S △BEC ＝EC ×4+EC ×1＝2．∴EC ＝1，-1+1=1，-1-1=-3，∴C 的坐标（1，0）或（﹣3，0）．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，函数与不等式的关系．
25、()1AB =CD =．（2）以AB 、CD 、EF 三条线段可以组成直角三角形
【解析】
（1）利用勾股定理求出AB 、CD 的长即可；
（2）根据勾股定理的逆定理，即可作出判断．
【详解】
（1）AB ；CD ．
（2）如图，EF ∵CD 2+EF
2=8+5=13，AB 2=13，∴CD 2+EF 2=AB 2，∴以AB 、CD 、EF 三条线段可以组成直角三角形．本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，充分利用网格是解题的关键．26、见解析．【解析】先根据题意画出图形，写出已知，求证，然后通过平行线的性质得出∠1=∠2，再利用SAS 证明△ABC ≌△CDA ，则有∠3=∠4，进一步得出AD ∥BC ，最后利用两组对边分别平行的四边形为平行四边形即可证明．【详解】已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=CD ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：连接AC ，如图所示：
∵AB ∥CD ，∴∠1=∠2，在△ABC 和△CDA 中，12AB CD AC CA
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴∠3=∠4，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
本题主要考查平行四边形的判定，全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质，掌握全
等三角形和平行线的判定及性质是解题的关键．。