湖南省常德芷兰实验学校2024年高三下第三次周考综合试题

湖南省常德芷兰实验学校2024年高三下第三次周考综合试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．已知函数()e
ln mx f x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1
,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1
,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．[1,)+∞
D ．(,e)-∞ 3．已知函数13
log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭
⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)
(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,1)(1,)⋃+∞
4．已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有111(1)
n n a a n n +=-++成立，若11a =，则10a 等于（ ） A ．10110 B ．9110 C ．11111 D ．12211
5．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)
(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞
6．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为（ ）
A ．33
B ．63
C ．36
D ．336
7．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若AF x AC yDE =+，则y x -的值为（ ）
A ．12-
B ．23-
C ．1
3- D ．1-
8．正方体1111ABCD A B C D -，()1
,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线
有几条（ ）
A ．36
B ．21
C ．12
D ．6
9．已知双曲线22
221x y C a b
-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( ) A ．2?
B ．10 3
C ．10?
D ．22 10．双曲线
的离心率为，则其渐近线方程为 A ． B ． C ． D ．
11．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭
，则a 的取值范围是（ ）
A ．10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()4,+∞
12．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ）
A ．100
B ．210
C ．380
D ．400
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．给出以下式子：
①tan25°+tan35°tan35°； ②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)； ③115115tan tan +︒-︒
_____.
14．抛物线2
4y x =上到其焦点的距离为1的点的个数为________． 15．已知双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一条渐近线为2y x =,则焦点到这条渐近线的距离为_____． 16．公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，4250S S -=，则63S S -的值为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数1()lnx f x x
+= （1）若1()f x ax x
<+恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若方程()f x m =有两个不同实根1x ，2x ，证明：122x x +>．
18．（12分）已知函数2
()ln f x x x =+.
（1）若函数()()()1ln g x f x a x =+-的图象与x 轴有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围；
（2）若()()2()211f x m x m x --<-对任意()1,x ∈+∞成立，求实数m 的取值范围. 19．（12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3718a a +=，636S =.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ；
（Ⅱ）设n T 为数列1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项的和，求证：1n T <. 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为25sin ρθ=.
(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
(2)若点P 坐标为(3,5)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．
21．（12分）已知函数()213f x t x x =++--的定义域为R .
（1）求实数t 的取值范围；
（2）设实数R 为t 的最小值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c m ++=，求222111123
a b c +++++的最小值. 22．（10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A B ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，且12AB AC A B ===.
（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；
（2）在棱11B C 上确定一点P ，使二面角1P AB A --25.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A
【解析】
将z 整理成a bi +的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.
【详解】
解：2
21()()2313z i i i i i =++=++=+，所以z 所对应的点为()1,3在第一象限. 故选:A.
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把2i 当成1进行计算.
2、A
【解析】
分析可得0m >,显然e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立,只需讨论1x >时的情况即
可,()0f x >⇔e ln mx m x >⇔ln e e ln mx x mx x >,然后构造函数()e (0)x g x x x =>,结合()g x 的单调性,不等式等价于
ln mx x >,进而求得m 的取值范围即可.
【详解】
由题意,若0m ≤,显然()f x 不是恒大于零,故0m >.
0m >,则e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立;
当1x >时,()0f x >等价于e ln mx m x >,
因为1x >,所以ln e e ln mx x mx x >.
设()e (0)x
g x x x =>,由()e (1)x g x x '+=,显然()g x 在(0,)+∞上单调递增, 因为0,ln 0mx x >>,所以ln e e ln mx x mx x >等价于()(ln )g mx g x >,即ln mx x >,则ln x m x >
. 设ln ()(0)x h x x x
=>,则21ln ()(0)x h x x x '-=>. 令()0h x '=,解得e x =,易得()h x 在(0,e)上单调递增,在(e,)+∞上单调递减, 从而max 1()(e)e h x h ==，故1e
m >. 故选:A.
【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.
3、B
【解析】
利用换元法设()t f x =，则等价为()0f t =有且只有一个实数根，分0,0,0a a a <=> 三种情况进行讨论，结合函
数的图象，求出a 的取值范围.
【详解】
解：设()t f x = ，则()0f t =有且只有一个实数根.
当0a < 时，当0x ≤ 时，()103x f x a ⎛⎫=⋅< ⎪⎝⎭ ，由()0f t =即13log 0t =，解得1t =，
结合图象可知，此时当1t =时，得()1f x = ，则13x =
是唯一解，满足题意； 当0a =时，此时当0x ≤时，()103x f x a ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭
，此时函数有无数个零点，不符合题意； 当0a > 时，当0x ≤ 时，()[)1,3x
f x a a ⎛⎫=⋅∈+∞ ⎪⎝⎭，此时()f x 最小值为a ，
结合图象可知，要使得关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，此时1a > .
综上所述：0a < 或1a >.
故选:A.
【点睛】
本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键.
4、B
【解析】
观察已知条件，对111(1)n n a a n n +=-
++进行化简，运用累加法和裂项法求出结果. 【详解】 已知111(1)n n a a n n +=-++，则1111111()11()(1)11n n a a n n n n n n +--+=--+=--+++=，所以有21111()12
a a ---=， 32111()23
a a ---=， 43111()34
a a ---=，
109111()910a a ---=，两边同时相加得10119(1)10a a ---=，又因为11a =，所以101919(11)1010
a --==+. 故选：B
【点睛】 本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如1n(n 1)
+时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解.
5、A
【解析】
由0ax b ->的解集，可知0a >及
1b a =，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集.
【详解】
由0ax b ->的解集为1,，可知0a >且1b a
=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，
因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()
(),13,-∞-+∞，
故选：A.
【点睛】
本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.
6、C
【解析】
将正四面体的展开图还原为空间几何体，,,A D F 三点重合，记作D ，取DC 中点H ，连接,,EG EH GH ，EGH ∠即为EG 与直线BC 所成的角，表示出三角形EGH 的三条边长，用余弦定理即可求得cos EGH ∠.
【详解】
将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中,,A D F 三点重合，记作D ：
则G 为BD 中点，取DC 中点H ，连接,,EG EH GH ，设正四面体的棱长均为a ，
由中位线定理可得//GH BC 且1122
GH BC a ==， 所以EGH ∠即为EG 与直线BC 所成的角，
2
2132EG EH a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ， 由余弦定理可得222
cos 2EG GH EH EGH EG GH
+-∠=⋅ 2223133444312a a a a a +-==⨯⋅ 所以直线EG 与直线BC 3 故选：C.
【点睛】
本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题. 7、D
【解析】
使用不同方法用表示出AF ，结合平面向量的基本定理列出方程解出．
【详解】 解：13
AF AD DF AB AD =+=+，
又11()()()()22AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=++- 1231y x x y ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩解得5949x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，所以1y x -=- 故选：D
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
8、B
【解析】
先找到与平面11A C B 平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.
【详解】
考虑与平面11A C B 平行的平面148PP P ，平面10116P
P P ，平面9523712P P P P P P ， 共有22623321C C C ++=，
故选：B.
【点睛】
本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.
9、B
【解析】
由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即
13b a =，所以21()b e a =+=103，选B. 10、A
【解析】
分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为
，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程
求渐近线方程：
. 11、C
【解析】
根据题意，由函数的图象变换分析可得函数()y f x =为偶函数，又由函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，分析可得()()()1222log 2log 2log 2f a f f a f a ⎛⎫<-⇒<⇒< ⎪⎝⎭
，解可得a 的取值范围，即可得答案. 【详解】
将函数()1y f x =-的图象向左平移1个单位长度可得函数()y f x =的图象，
由于函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则函数()y f x =的图象关于y 轴对称，
即函数()y f x =为偶函数，由()12
log 2f a f ⎛
⎫<- ⎪⎝⎭，得()()2
log 2f a f <， 函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则2log 2a <，得22log 2-<<a ，解得144
a <<. 因此，实数a 的取值范围是1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数()y f x =的奇偶性，属于中等题.
12、B
【解析】
设{}n a 公差为d ，由已知可得3a ，进而求出{}n a 的通项公式，即可求解.
【详解】
设{}n a 公差为d ，27a =，415a =，
2433211,42
a a a d a a +∴===-=, 1010(339)41,2102
n a n S ⨯+∴=-∴==. 故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、①②③
【解析】
由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.
【详解】
①∵tan60°＝tan （25°+35°）253512535tan tan tan tan ︒+︒==-︒︒
，
tan25°+tan35°tan35°； )
12535tan tan =-︒︒tan35°，
=
②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），
＝2sin60°=
③115451511514545tan tan tan tan tan tan +︒︒+︒==-︒-︒︒
tan （45°+15°）＝tan60°= 故答案为：①②③
【点睛】
本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题.
14、1
【解析】
设抛物线上任意一点的坐标为()00,x y ，根据抛物线的定义求得0x ，并求出对应的0y ，即可得出结果.
【详解】
设抛物线上任意一点的坐标为()00,x y ，
抛物线24y x =的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得011x +=，解得00x =，此时00y =.
因此，抛物线24y x =上到其焦点的距离为1的点的个数为1.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.
15、2.
【解析】 由双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一条渐近线为2y x =，解得b ．求出双曲线的右焦点(),0c ，利用点到直线的距离公式求解即可．
【详解】
双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一条渐近线为2y x = 21b ∴= 解得：2b =
c ∴==∴
双曲线的右焦点为)
∴
2=
本题正确结果：2
【点睛】 本题考查了双曲线和的标准方程及其性质，涉及到点到直线距离公式的考查，属于基础题．
16、56
【解析】
根据已知条件求等比数列的首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可得到答案.
【详解】
22a =，4250S S -=， ∴1142112,1,(1)(1)5,2,11a q a a q a q q q q =⎧=⎧⎪⇒--⎨⎨==⎩⎪--⎩
∴3456345622256S S a a a -=++=++=.
故答案为：56.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1(
,)2e +∞（2）详见解析 【解析】
（1）将原不等式转化为2
ln x a x >，构造函数2ln ()x g x x =，求得()g x 的最大值即可； （2）首先通过求导判断()f x 的单调区间，考查两根的取值范围，再构造函数()()(2)h x f x f x =--，将问题转化为证明()0h x <，探究()h x 在区间内的最大值即可得证．
【详解】
解：（1）由1()f x ax x <+，即ln x ax x
<， 即2ln x a x
>， 令2
ln (),(0)x g x x x =>，则只需max ()a g x >，
312ln ()x g x x
'-=，令()0g x '=，得x =
()g x ∴在上单调递增，在)+∞上单调递减，
max 1()2g x g e ∴==
， a ∴的取值范围是1(,)2e
+∞； （2）证明：不妨设'122ln ,()x x x f x x
<=-， ∴当(0,1)x ∈时，'()0,()f x f x >单调递增，
当(1,)x ∈+∞时，'()0,()f x f x <单调递减，
1(1)1,0f f e ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，当x →+∞时，()0f x →， 1210m 1,1x x e
∴<<<<<， 要证122x x +>，即证212x x >-，
由211,21,()x x f x >->在(1,)+∞上单调递增，
只需证明()()212f x f x <-，
由()()12f x f x =，只需证明()()112f x f x <-，
令()()(2)h x f x f x =--，(0,1)x ∈，
只需证明()0h x <， 易知22
ln ln(2)(1)0,()()(2)(2)x x h h x f x f x x x '''-==+-=---，
由(0,1)x ∈，故22ln 0,(2)x x x -><-，
22ln ln(2)ln[(2)]()0(2)(2)
x x x x h x x x '-----∴>=>--， 从而()h x 在(0,1)上单调递增，
由(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()0h x <，
故122x x +>，证毕．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性，最值等，关键是要对问题进行转化，比如把恒成立问题转化为最值问题，把根的个数问题转化为图像的交点个数，进而转化为证明不等式的问题，属难题．
18、（1）{}
02a a a e >=-或（2）[]1,0-
【解析】
（1）求出()g x 及其导函数()g x '，利用()g x '研究()g x 的单调性和最值，根据零点存在定理和零点定义可得a 的范围．
（2）令()()()22()()21121ln h x f x m x m x mx m x x =-+--=-++，题意说明()1,x ∈+∞时，()0h x <恒成立.同样求出导函数()h x '，由()h x '
研究()h x 的单调性，通过分类讨论可得()h x 的单调性得出结论．
【详解】
解（1）函数()()22()()1ln ln 1ln ln g x f x a x x x a x a x x =+-=++-=+ 所以22'()2a x a g x x x x
+=+= 讨论：
①当0a =时，()2()0g x x x =>无零点；
②当0a >时，'()0g x >，所以()g x 在()0,∞+上单调递增. 取1a
x e -=，则2111211()0a a a g e e e ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
又()11g =，所以()110a g e g -⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭
，此时函数()g x 有且只有一个零点；
③当0a <时，令'()0g x =，解得x =x =
当0x <<时，)'(0g x <，所以()g x 在⎛ ⎝
上单调递减；
当x >'()0g x >所以()g x 在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增.
据题意，得02a g a ==，所以0a =（舍）或2a e =- 综上，所求实数a 的取值范围为{}
02a a a e >=-或.
（2）令()()()22()()21121ln h x f x m x m x mx m x x =-+--=-++，根据题意知，当()1,x ∈+∞时，()0h x <恒成立.
又()()()()1211'221x mx h x mx m x x
--=-++
= 讨论： ①若102m <<，则当1,2x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，'()0h x >恒成立，所以()h x 在1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上是增函数. 又函数()()221G x mx m x =-+在21,2m m +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，()ln H x x =在()0,∞+上单调递增，所以存在()0,x ∈+∞使()0h x >，不符合题意. ②若12
m ≥，则当()1,x ∈+∞时，'()0h x >恒成立，所以()h x 在()1,+∞上是增函数，据①求解知， 12
m ≥不符合题意. ③若0m ≤，则当()1,x ∈+∞时，恒有'()0h x <，故()h x 在()1,+∞上是减函数，
于是“()0h x <对任意()1,x ∈+∞成立”的充分条件是“(1)0h ≤”，即()210m m -+≤，
解得1m ≥-，故10m -≤≤
综上，所求实数m 的取值范围是[]1,0-.
【点睛】
本题考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题，考查用导数研究函数的单调性．解题关键是通过分类讨论研究函数的单调性．本题难度较大，考查掌握转化与化归思想，考查学生分析问题解决问题的能力．
19、（Ⅰ）21n a n =-，2n S n = （Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据等差数列公式直接计算得到答案. （Ⅱ）211111n S n n n n n ==-+++，根据裂项求和法计算得到111n T n =-+得到证明. 【详解】
（Ⅰ）等差数列{}n a 的公差为d ，由3718a a +=，636S =得59a =，1612a a +=，
即149a d +=，12512a d +=，解得11a =，2d =.
∴21n a n =-，2135(21)n S n n =+++
+-=. （Ⅱ）2n S n =，∴211111(1)1
n S n n n n n n n ===-++++， ∴11111111122311
n T n n n =-
+-+⋅⋅⋅+-=-<++，即1n T <. 【点睛】 本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
20、（1）
（2）32 【解析】
试题分析：（1）由加减消元得直线l 的普通方程,由222sin ,y x y ρθρ==+得圆C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2,再根据韦达定理可得结果 试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l 的普通方程为x+y ﹣3﹣=0
又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+（y ﹣）2=5；
（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，
得（3﹣t ）2+（t ）2=5，即t 2﹣3t+4=0
设t 1，t 2是上述方程的两实数根，
所以t 1+t 2=3
又直线l 过点P ，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3
．
21、（1）4t ≥；（2）
922
【解析】 （1）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；
(2)首先确定m 的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.
【详解】
（1）因为函数定义域为R ，即2130t x x ++--=恒成立，所以213t x x ≥-++-恒成立
5,1,21313,13,5, 3.x x x x x x x x +≤-⎧⎪-++-=--<<⎨⎪--≥⎩
由单调性可知当1x =-时，213x x -++-有最大值为4，即4t ≥；
（2）由（1）知4m =，22216a b c ++=， 由柯西不等式知()()22222221111231119123a b c a b c ⎛⎫++⨯+++++≥++=
⎪+++⎝⎭ 所以222111912322a b c ++≥+++，即222111123
a b c +++++的最小值为922. 当且仅当2193a =，2163b =，2133
c =时，等号成立 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22、（1）3
π （2）()1,3,2P 【解析】
试题分析：（1）因为AB ⊥AC ，A 1B ⊥平面ABC ，所以以A 为坐标原点，分别以AC 、AB 所在直线分别为x 轴和y 轴，以过A ，且平行于BA 1的直线为z 轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A 1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA 1与BC 上的两个向量，由向量的夹角求棱AA 1与BC 所成的角的大小；
（2）设棱B 1C 1上的一点P ，由向量共线得到P 点的坐标，然后求出两个平面PAB 与平面ABA 1的一个法向量，把二面角P-AB-A 1
，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P 点的坐标． 试题解析：
解（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，
则()()()()112,0,0,0,2,0,0,2,2,0,4,2C B A B ，
()()1110,2,2,2,2,0AA BC B C ===-. 1111cos ,288
AA BC
AA BC AA BC ⋅-===-⋅⋅， 故1AA 与棱BC 所成的角是
3
π. （2）P 为棱11B C 中点， 设()1112,2,0B P B C λλλ==-，则()2,42,2P λλ-. 设平面PAB 的法向量为()1,,n x y z =，()2,42,2AP λλ=-，
则1132002000x y z z x n AP y y n AB λ⎧++==-⋅=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⋅=⎪⎩
⎩⎩， 故()11,0,n λ=-
而平面1ABA 的法向量是()21,0,0n =，则1212212125cos ,51n n n n n n λ⋅=
==⋅+， 解得12
λ=，即P 为棱11B C 中点，其坐标为()1,3,2P . 点睛：本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.。