2021年高三数学2月联考试题 理

2021年高三数学2月联考试题理
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求。

1.设复数z的共轭复数为，若，则复数z=( )
(A) (B) (C) (D)
2.已知全集，，则（）
A． B． C． D．
3、已知与之间的一组数据：
0 1 2 3
3 5.5 7
已求得关于与的线性回归方程为＝2.1＋0.85，则的值为( )
（A）（B）（C）（D）
4、一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．20 B．24 C．16 D．
5.设函数，若，则（）
A． B． C． D．
6.若，，则的值为（）
A． B． C． D．
7.若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有位的数字和为偶数。

则这
样的三位数的个数是（）
A．540 B．480 C．360 D．200
8.有以下命题：①命题“”的否定是：“”；
②已知随机变量服从正态分布，则；
③函数的零点在区间内；其中正确的命题的个数为（）
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
9、在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是（）
A．2 B．-1 C．-2 D．-4
10. 已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）
A． B． C．D．
11. 椭圆，作直线交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线的斜率为，直线OM的
斜率为，.则椭圆的离心率为（）
A . B. C. D.
12. 设函数是函数的导函数，，且，则
的解集为( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13.已知，则二项式的展开式中的系数为．
14.点M（x，y）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x﹣y+m≥0总成立，则m的取值范围是
15. .A，B，C，D四点在半径为的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=，AB=CD，则三棱锥D-ABC的体积是______.
16、对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出如下一种解法：
解：由的解集为，得的解集为，
即关于的不等式的解集为.
参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为____________．
三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在中，所对的边分别为函数在处取得最大值．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若且,求的面积．
18. 某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①
堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为．若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．
（Ⅰ）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；
（Ⅱ）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望．
19.如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．
（Ⅰ）若为直线上的中点，求证：平面
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20.如图，已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与圆相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
交于、两点，且求证：直
线过定点，并求出该定点的坐标．
21. 已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。

（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。

请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.
22．选修坐标系与参数方程
已知直线（为参数）经过椭圆（为参数）的左焦点
（1）求的值；
（2）设直线与椭圆交于、两点，求的最大值和最小值．
23．选修不等式讲
已知函数
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
五地八校联考高三数学（理）试卷参考答案
二、填空题
13. 14. 15. 20 16. 三、解答题
17. （1）()[])(sin )sin(cos 2sin )sin(cos 2A x x A x x A A x x x f --+-=+-=
)sin(cos )cos(sin )sin(cos 2A x x A x x A x x -
--+-=
因为函数在处取得最大值，所以，得 所以
因为，所以，则函数值域为 (2）因为 所以，则 所以
由余弦定理得 所以，又因为，，所以 则面积．
18. 解：（1）由已知条件得
即，则
答：的值为．
（2）解：可能的取值为0，1，2，3
的分布列为：
所以 答：数学期望为．
19. 解:（Ⅰ）取的中点连结，
取的中点，连结， ∵且，
∴是正三角形，∴．
∴四边形为矩形， ∴
又∵，
∴且，四边形是平行 四边形． ∴，而平面，平面，∴平面．
（Ⅱ）（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，∵，∴，
是平面与平面所成二面角的棱．
∵平面平面，，∴平面， 又∵平面， ,∴平面，∴， ∴是所求二面角的平面角． 设，则， ∴，
∴
（法2）∵，平面平面，
∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．
设，由已知，得． ∴，
设平面的法向量为， 则且，
解之得
取，得平面的一个法向量为
'cos cos ,n n θ=<>=
.
20. .解：（Ⅰ）将圆的一般方程化为标准方程 ，
圆的圆心为,半径. 由,得直线,即,
由直线与圆相切,得, 或(舍去).
当时, , 故椭圆的方程为
（Ⅱ）(解法一)由知,从而直线与坐标轴不垂直, 由可设直线的方程为，直线的方程为 将代入椭圆的方程并整理得: , 解得或,因此的坐标为,即 将上式中的换成,得. 直线的方程为
化简得直线的方程为， 因此直线过定点.
(解法二)若直线存在斜率，则可设直线的方程为：， 代入椭圆的方程并整理得: ,
由与椭圆相交于、两点，则是上述关于的方程两个不相等的实数解，从而
22222(6)4(13)3(1)12(31)0mk k m k m ∆=-+⨯-=+->
由得
A
B C D E P M F
G
2212121212(1)(1)(1)(1)()(1)0x x kx m kx m k x x k m x x m ++-+-=++-++-=，
22
222
3(1)6(1)(1)()(1)01313m mk
k k m m k k
-+⋅+-⋅-+-=++ 整理得： 由知.
此时, 因此直线过定点.
若直线不存在斜率，则可设直线的方程为：，
将代入椭圆的方程并整理得: ,
当时, ,直线与椭圆不相交于两点，这与直线与椭圆相交于、两点产生矛盾! 当时, 直线与椭圆相交于、两点，是关于的方程的两个不相等实数解，从而 但2
2
124(1)(1)03
AP AQ m y y m ⋅=+--=
>,这与产生矛盾! 因此直线过定点.
注：对直线不存在斜率的情形，可不做证明.
21解：(1)的定义域为。

2'
11(1)(1)
()a x ax a x x a f x x a x x x
--+--+-=-+==
（i ）若即,则故在单调增加。

(ii)若,而,故,则当时，; 当及时，
故在单调减少，在单调增加。

(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加. (II)考虑函数
则21()(1)(1)11)a g x x a x a x x
-'=--+
≥--=- 由于1<a<5,故，即g(x)在(0, +∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有 22. （1）将椭圆的参数方程化为普通方程，得：
所以，则点的坐标为 是经过点的直线，故
（2）将的参数方程代入椭圆的普通方程，并整理，得 设点在直线参数方程中对应的参数分别为 则α
αα22221sin 39
sin 4cos 39+=
+==⋅t t FB FA 当，取最大值3 当时，取最小值．
23. （1）由题意得，
则
当时，，即 当时，， ∴，即 当时，，∴，即
综上所述，函数的定义域为 (2）由题意得恒成立 即
∴恒成立 令
则()⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
>-≤≤----<--=21,33212,12,53x x x x x x x g
所以，故qI30760 7828 砨=40052 9C74 鱴- E31122 7992 禒35310 89EE 觮=;22192 56B0 嚰32993 80E1 胡~。